初中數(shù)學北師大版九年級上冊第一章　特殊平行四邊形【省一等獎】

《第1章特殊平行四邊形》一、選擇題1．下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC2．下列說法中，錯誤的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．菱形的對角線互相垂直D．對角線互相垂直的四邊形是菱形3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，則∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°4．如圖，?ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=，則四邊形BCEF的周長為（）A． B．9.6 C． D．5．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60°，則花壇對角線AC的長等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米6．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm7．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD8．如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）A．7 B．9 C．10 D．119．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是（）A．2 B．3 C． D．1+10．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．3 C． D．二、填空題11．（5分）已知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是cm2．12．（5分）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=．13．（5分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于．14．（5分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為．三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分）15．如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E．（1）求證：CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度數(shù)．16．如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．17．已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）求CF的長；（3）如圖2，在AB上取一點H，且BH=CF，若以BC為x軸，AB為y軸建立直角坐標系，問在直線BD上是否存在點P，使得以B、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的P點坐標；若不存在，說明理由．

《第1章特殊平行四邊形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列給出的條件中，不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠C，∠B=∠D C．AB∥CD，AD∥BC D．AB=CD，AD=BC【考點】平行四邊形的判定．【分析】直接根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可．【解答】解：平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．∴C能判斷，平行四邊形判定定理1，兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；∴B能判斷；平行四邊形判定定理2，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；∴D能判定；平行四邊形判定定理3，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；平行四邊形判定定理4，一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形；故選A．【點評】此題是平行四邊形的判定，解本題的關(guān)鍵是掌握和靈活運用平行四邊形的5個判斷方法．2．下列說法中，錯誤的是（）A．平行四邊形的對角線互相平分B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形C．菱形的對角線互相垂直D．對角線互相垂直的四邊形是菱形【考點】菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)對各個選項進行分析從而得到最后答案．【解答】解：根據(jù)平行四邊形和菱形的性質(zhì)得到ABC均正確，而D不正確，因為對角線互相垂直的四邊形也可能是梯形，故選：D．【點評】主要考查了平行四邊形和特殊平行四邊形的特性，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．菱形的特性是：四邊相等，對角線互相垂直平分．3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，則∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】首先根據(jù)AD∥BC，求出∠FED的度數(shù)，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，則可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大?。窘獯稹拷猓骸逜D∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折疊的性質(zhì)知，∠FED=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．故選：A．【點評】本題考查了：1、折疊的性質(zhì)；2、矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平角的概念求解．4．如圖，?ABCD中，EF過對角線的交點O，AB=4，AD=3，OF=，則四邊形BCEF的周長為（）A． B．9.6 C． D．【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可知EF把平行四邊形分成兩個相等的部分，先求平行四邊形的周長，再求EF的長，即可求出四邊形BCEF的周長．【解答】解：根據(jù)平行四邊形的中心對稱性得：OF=OE=，∵?ABCD的周長=（4+3）×2=14∴四邊形BCEF的周長=×?ABCD的周長+=．【點評】主要考查了平行四邊形的基本性質(zhì)，并利用性質(zhì)解題．平行四邊形基本性質(zhì)：①平行四邊形兩組對邊分別平行；②平行四邊形的兩組對邊分別相等；③平行四邊形的兩組對角分別相等；④平行四邊形的對角線互相平分．平行四邊形是中心對稱圖形．5．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD=60°，則花壇對角線AC的長等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【考點】菱形的性質(zhì)．【專題】應(yīng)用題．【分析】由四邊形ABCD為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平分，根據(jù)∠BAD=60°得到三角形ABD為等邊三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的長，即可確定出AC的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=24÷4=6（米），∵∠BAD=60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD=AB=6（米），OD=OB=3（米），在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得：OA==3（米），則AC=2OA=6米，故選A．【點評】此題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．已知一矩形的兩邊長分別為10cm和15cm，其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【考點】矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件以及矩形性質(zhì)證△ABE為等腰三角形得到AB=AE，注意“長和寬分別為15cm和10cm”說明有2種情況，需要分類討論．【解答】解：如圖，∵矩形ABCD中，BE是角平分線．∴∠ABE=∠EBC．∵AD∥BC．∴∠AEB=∠EBC．∴∠AEB=∠ABE∴AB=AE．當AB=15cm時：則AE=15cm，不滿足題意．當AB=10cm時：AE=10cm，則DE=5cm．故選B．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)與等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意出現(xiàn)角平分線，出現(xiàn)平行線時，一般出現(xiàn)等腰三角形，需注意等腰三角形相等邊的不同．7．如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【考點】矩形的判定．【分析】由四邊形ABCD的對角線互相平分，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再添加AC=BD，可根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形證明四邊形ABCD是矩形．【解答】解：可添加AC=BD，∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC=BD，根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形，∴四邊形ABCD是矩形，故選：D．【點評】此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．8．如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（）A．7 B．9 C．10 D．11【考點】三角形中位線定理；勾股定理．【專題】計算題．【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)三角形的中位線定理得到HG=BC=EF，EH=FG=AD，求出EF、HG、EH、FG的長，代入即可求出四邊形EFGH的周長．【解答】解：∵BD⊥DC，BD=4，CD=3，由勾股定理得：BC==5，∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴HG=BC=EF，EH=FG=AD，∵AD=6，∴EF=HG=，EH=GF=3，∴四邊形EFGH的周長是EF+FG+HG+EH=2×（+3）=11．故選D．【點評】本題主要考查對勾股定理，三角形的中位線定理等知識點的理解和掌握，能根據(jù)三角形的中位線定理求出EF、HG、EH、FG的長是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點O，則四邊形AB′OD的周長是（）A．2 B．3 C． D．1+【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】當AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45度后，剛回落在正方形對角線AC上，可求三角形與邊長的差B′C，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理可求B′O，OD，從而可求四邊形AB′OD的周長．【解答】解：連接B′C，∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在對角線AC上，∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，∴B′C=﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，∴OD=1﹣OC=﹣1∴四邊形AB′OD的周長是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．故選A．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，特殊三角形邊長的求法．連接B′C構(gòu)造等腰Rt△OB′C是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形ABCD的面積為4，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．3 C． D．【考點】軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問題．【分析】由于點B與D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為P點．此時PD+PE=BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE=AB，由正方形ABCD的面積為4，可求出AB的長，從而得出結(jié)果．【解答】解：連接BD，與AC交于點F．∵點B與D關(guān)于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最?。哒叫蜛BCD的面積為4，∴AB=2．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值為2．故選：A．【點評】此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題．二、填空題11．已知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，則它的面積是3cm2【考點】菱形的性質(zhì)．【分析】由知菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，即可求得答案．【解答】解：∵菱形的兩條對角線長分別為2cm，3cm，∴它的面積是：×2×3=3（cm2）．故答案為：3．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)．注意菱形的面積等于對角線乘積的一半．12．如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=4．【考點】矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OA=OD=AC，然后判斷出△AOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三邊都相等解答即可．【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=AC=×8=4，∵∠AOD=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴AD=OA=4．故答案為：4．【點評】本題考查了矩形的對角線互相平分且相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，比較簡單，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于．【考點】菱形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理．【分析】由菱形的四邊相等求出邊長，再根據(jù)對角線互相垂直得出∠AOD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵AB+BC+CD+DA=28，∴AD=7，∵H為AD邊中點，∴OH=AD=；故答案為：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．14．如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為（）n﹣1．【考點】正方形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】首先求出AC、AE、HE的長度，然后猜測命題中隱含的數(shù)學規(guī)律，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，∴第n個正方形的邊長an=（）n﹣1．故答案為（）n﹣1．【點評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握正方形有關(guān)定理并能靈活運用．三、解答題（15題12分，16題12分，17題16分）15．（2023?株洲）如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點E．（1）求證：CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度數(shù)．【考點】平行四邊形的性質(zhì)．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）根據(jù)DE是∠ADC的角平分線得到∠1=∠2，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根據(jù)等角對等邊即可得證；（2）先根據(jù)BE=CE結(jié)合CD=CE得到△ABE是等腰三角形，求出∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)平行四邊形鄰角互補得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．【解答】（1）證明：如圖，在平行四邊形ABCD中，∵AD∥BC∴∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CD=CE；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD∥BC，又∵CD=CE，BE=CE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA．∵∠B=80°，∴∠BAE=50°，∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．【點評】（1）由角平分線得到相等的角，再利用平行四邊形的性質(zhì)和等角對等邊的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)“BE=CE”得出AB=BE是解決問題的關(guān)鍵．16．（2023?樂山）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點A落在平面上的F點處，DF交BC于點E．（1）求證：△DCE≌△BFE；（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的長．【考點】翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由AD∥BC，知∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，所以∠DBC=∠BDF，得BE=DE，即可用AAS證△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，知BC=2，在Rt△BCD中，CD=2，∠EDC=30°，知CE=，所以BE=BC﹣EC=．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，根據(jù)折疊的性質(zhì)∠ADB=∠BDF，∠F=∠A=∠C=90°，∴∠DBC=∠BDF，∴BE=DE，在△DCE和△BFE中，，∴△DCE≌△BFE；（2）在Rt△BCD中，∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，∴BC=2，在Rt△ECD中，∵CD=2，∠EDC=30°，∴DE=2EC，∴（2EC）2﹣EC2=CD2，∴CE=，∴BE=BC﹣EC=．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等角對等邊、平行線的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運用，熟練的運用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．17．（2023春?歷下區(qū)期末）已知，如圖1，BD是邊長為1的正方形ABCD的對角線，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使CF=CE，連接DF，交BE的延長線于點G．（1）求證：△BCE≌△DCF；