《分解因式法》設計

《分解因式法》教學設計（1）一.本周教學內(nèi)容：二次三項式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的應用

［學習目標］1.熟練掌握二次三項式的意義；了解二次三項式的因式分解與解一元二次方程的關系；運用一元二次方程的求根公式在實數(shù)范圍內(nèi)將二次三項式分解因式。2.學會用列一元二次方程的方法解實際應用題。3.通過二次三項式的因式分解的學習，提高分析問題，解決問題的能力；進一步了解認識問題和解決問題的一般規(guī)律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。4.通過一元二次方程的應用的學習，提高化實際問題為數(shù)學問題的能力和分析問題，解決問題的能力，培養(yǎng)用數(shù)學的意識；深刻體會轉化，方程，數(shù)形結合等初等數(shù)學的思想方法。

二.重點、難點：1.教學重點：①應用公式法將二次三項式因式分解；會用列一元二次方程的方法解決實際應用的問題。②在列一元二次方程的方法解應用題時，分析題意找出表示全部含義的相等關系，是能否列出方程的前提和保證。

2.教學難點：①一元二次方程的根與二次三項式因式分解的關系；一個二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件。②在列一元二次方程的方法解應用題時，分析題意找等量關系是難點；注意求解后，檢驗根是否符合實際意義。

【典型例題】例1.分解因式① ②③ ④⑤分析：前四個均為二次三項式或二元二次三項式的因式分解，直接用公式進行分解。其中為方程的兩根。，其中為關于x的方程的兩根。第五個用平方差公式，再用公式法分解二次三項式。解：①令∴②解法1：令，則∴解法2：解法3：③令，解這個關于x的方程得：∴④∵∴不能因式分解，在實數(shù)范圍。⑤∵令，無實根?！嘣趯崝?shù)范圍內(nèi)不能分解因式?！吡睢唷帱c撥：②中三種方法各有千秋，公式法，配方法，十字相乘法，注意結果寫成冪的形式。③二元時選其中一元為主元，另一元為已知數(shù)，即可。注意最終結果的簡潔形式，④⑤中都要考慮二次三項式可在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解的條件是：，⑤要綜合應用，并注意因式分解必須徹底。

例2.分解因式：分析：形如的多項式，叫關于x，y的二元二次多項式，它的因式分解有三種方法：①雙十字相乘法，②待定系數(shù)法，③公式法。解：解法1：∵∴解法2：設比較對應項系數(shù)∴解法3：整理為關于x的二次三項式令，則∴∴

例3.黃崗百貨商店服裝柜銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為迎接“六·一”，商場決定降價，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么每天平均可多售8件，要想每天平均在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？分析：經(jīng)濟類問題應用。要切實理解減少庫存是本題需要。解：設每件童裝應降價x元，根據(jù)題意，解得：因要減少庫存，∴，答：每件童裝應降價20元。

例4.某中學的校辦工廠的年產(chǎn)值1998年是50萬元，年年增加，到2000年達萬元。問（1）平均每年的年產(chǎn)值增長率是多少？（2）三年總產(chǎn)值多少？分析：儲蓄中復利計本利和與生產(chǎn)值增長率問題。假設年利率為x，本金a，則n年后本利和為，增長率亦如此。解：（1）設每年平均增長率x，則1999年產(chǎn)值萬元，2000年產(chǎn)值萬元，由題意：解得：（不合題意，舍去）答：平均每年增長率為10%。（2）答：1998至2000年這三年總產(chǎn)值為萬元。點撥：注意舍去不合題意的根，別忽略（2）的計算與做答。

例5.兩個連續(xù)偶數(shù)積為288，求這兩個數(shù)。分析：兩個連續(xù)偶數(shù)差2，可設x，。解：設這兩個偶數(shù)分別為x，x＋2，根據(jù)題意，解得：答：這兩個連續(xù)偶數(shù)是16，18或－18，－16。點撥：如果兩個連續(xù)奇數(shù)也可這樣設，但更好的設法是：，就有∴更簡單。

例6.一個矩形的硬紙片，它的長比寬的2倍少4厘米，在它的四個角上各剪去一個邊長為2厘米的正方形，然后折成一個無底的小盒子，如果這個小盒的體積為484立方厘米，求原來矩形紙片的長和寬。分析：設原矩形寬為x厘米，那么長厘米，在四個角各剪去一個邊長為2厘米的正方形折成無蓋小盒，則小盒底面寬為厘米，長為厘米，高為2厘米。解：設原矩形紙片的寬為x厘米，則長為厘米，根據(jù)題意列方程，得：∴（負值舍去）∴答：原矩形紙片的長為26厘米，寬為15厘米。點撥：列一元二次方程可解決體面積有關的應用題，注意舍根。

例7.一個直角三角形，斜邊，兩條直角邊長相差，求這個直角三角形的兩條直角邊的長。分析：在Rt△中，三邊a，b，c滿足，這是構造方程的相等關系。解：設一條直角邊長為xcm，則另一條邊長為。根據(jù)題意列方程解得（不合題意，舍去）。答：兩條直角邊長分別是8cm和4點撥：很多幾何題求邊時，用方程思想解決，而相等關系多由勾股定理提供，掌握本題很重要，體現(xiàn)了“幾何問題代數(shù)化”。

例8.用100cm的金屬絲，作成矩形的框子，使面積分別為（1）500cm2；（2）625cm2；（3）800cm分析：可列方程組解決面積問題。解：設矩形長為x（cm），寬為y（cm），則（1）由為方程的兩根。答：面積為500cm2時，長約是36.2cm，寬約是（2）易知x，y是方程的兩根，答：面積為625cm2時，長是25cm，寬也是25cm（3）x，y為方程的兩根，無實根。答：面積800cm2，周長100點撥：解題后，思考三小題：用100cm長的鐵絲圍成500cm2的矩形做成了；再圍大點，面積625cm2，圍成了正方形；再大點，面積

［總結擴展］（1）用公式法將二次三項式因式分解的步驟是先求出方程的兩個根，再將形式。（2）二次三項式因式分解的條件是：當，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可以分解；時，二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)不可以分解。（3）聯(lián)系所學知識總結出遇見二次三項式因式分解的步驟：①首先考慮能否提取公因式；②其次考慮能否選用十字相乘法；③最后考慮公式法。（4）通過二次三項式因式分解的學習，提高分析問題、解決問題的能力；通過結論探索、發(fā)現(xiàn)、推導、產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學生的探索精神，激發(fā)學生的求知欲望，對學生進行辯證唯物主義思想教育，滲透認識事物的一般規(guī)律。（5）注意：①在進行類似分解因式時，千萬不要漏掉字母y；②因式分解一定進行到不能再分解為止；③分解時注意二次三項式因式分解的條件。（6）“一元二次方程的應用”是“一元一次方程的應用”的繼續(xù)和發(fā)展。由于用一元一次方程（或一次方程組）解的應用題，一般都可以用算術方法解，而用一元二次方程來解的應用題，一般說是不能用算術法來解的。所以，通過學習大家要認識到用代數(shù)方法解應用題的優(yōu)越性和必要性。（7）列方程解應用題的方法來說，列出一元二次方程解應用題與列出一元一次方程解應用題類似，都是根據(jù)問題中的相等關系列出方程，解方程，判斷根是否適合題意，作出正確的答案。列出一元二次方程，其應用相當廣泛，如在幾何、物理及其他學科中都有大量問題存在。（8）善于將實際問題轉化為數(shù)學問題，嚴格審題，弄清各數(shù)據(jù)相互關系，正確布列方程。由此培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，滲透轉化與方程的思想方法。（9）進一步體會數(shù)字在實踐中的應用，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）一、選擇題1.下列多項式不能在實數(shù)范圍內(nèi)分解的是A. B.C. D.2.多項式實數(shù)范圍內(nèi)分解如下A.B.C.D.3.兩個連續(xù)正整數(shù)的和的平方比它們的平方和大112，則這兩個正整數(shù)是A.5，6 B.7，8 C.8，9 D.6，74.某印刷廠一月印50萬冊，二，三月共印132萬冊，問二、三月平均每月增長的百分數(shù)是A.20% B. C.10% D.15%5.某工廠計劃在長24米，寬20米的空地中間劃出一塊A.14米 B.C.14米或8米 D

二、填空題6.因式分解①＝②＝③＝④＝⑤＝7.一個兩位數(shù)等于它個位數(shù)的平方，且個位數(shù)比十位數(shù)大3，則這個兩位數(shù)是_________。8.某藥品經(jīng)兩次降價，從原來每箱60元降為每箱元，平均每次降價率為_________。9.有兩個數(shù)不等，和17，積比小點數(shù)的平方大30，用方程求這兩數(shù)，設_________，根據(jù)題意，列方程得_________。10.一矩形面積132cm2，周長46cm，則矩形長是_________，寬是11.連續(xù)兩個正奇數(shù)的平方和等于202，這兩個奇數(shù)中較小的是_________。

三、解答題：12.已知二次三項式是一個完全平方式，求m的值。13.面積為150m2的矩形雞場，長邊靠墻（墻長18m14.一批上衣原來每件500元，第一次降價，銷售甚慢，第二次大幅降價的百分率是第一次的2倍，結果以每件240元價格迅速售出，求每次降價的百分率。15.在長為a的線段AB上有一點C，且AC是AB、BC的比例中項，求線段AC的長。

【試題答案】一、選擇題1.C 2.B 3.B 4.A 5.B

二、填空題6.①②③④⑤7.25或368.10%9.小數(shù)為x，10.12cm，11.9

三、解答題：12.解：∵原二次三項式是完全平方式∴13.解：設籬笆長為xcm，根據(jù)題意，解得：檢驗：，雞場長超過墻長是不可能的，舍去。又答：雞場長為15m，寬為1014.設第一次降價的百分率為x，則第二次降價的百分率為2x，依題意即∴（不合題意，舍去）又答：第一次降價20%，第二次降價40%。15.解：由題意，（舍負）∴答：線段AC長為a。

【勵志故事】駱駝的無奈在動物園里的小駱駝問媽媽：“媽媽媽媽，為什么我們的睫毛那么的長？”駱駝媽媽說：“當風沙來的時候，長長的睫毛可以讓我們在風暴中都能看得到方向。”小駱駝又問：“媽媽媽媽，為