第11章-量子力學基礎

第十一章量子力學基礎引言19世紀末，經(jīng)典物理對物理現(xiàn)象本質(zhì)的認識似乎已經(jīng)完成。其三大支柱為：牛頓力學、麥克斯韋電磁理論、熱學及經(jīng)典統(tǒng)計力學。但在喜悅的氣氛中，還有兩朵小小的令人不安的烏云：

跳出傳統(tǒng)的物理學框架！尋找以太的零結果熱輻射的紫外災難尋找以太的零結果相對論（高速）熱輻射的紫外災難量子論（微觀）量子概念是1900年普朗克首先提出的。后經(jīng)愛因斯坦、玻爾、德布羅意、玻恩、海森伯、薛定諤、狄拉克等物理大師的創(chuàng)新努力，20世紀30年代，建立了一套完整的量子力學理論。“量子”的含義量子物理學：作用或者改變以不連續(xù)的方式，一份一份地進行

經(jīng)典物理學：作用或者改變以連續(xù)的方式（無限小）進行

→問題的處理方式是微分和積分。

→問題處理方式不是微積分，而是按個數(shù)處理。一、熱輻射:1、熱輻射:物體由于熱運動而向外輻射電磁波的現(xiàn)象。③當電磁波輻射到物體表面時，表面對于輻射能一部分吸收，一部分反射。2、熱輻射的實驗結論：①任何物體在任何溫度下都輻射電磁波；②輻射電磁波的能量及能量按波長的分布均與溫度有關；隨著溫度的升高，熱輻射峰值由紅外→可見→紫外。實驗表明：好的輻射體同時也是好的吸收體?！?1-1黑體輻射普朗克量子假說3、描述熱輻射的物理量：單色輻出度：物體在單位時間內(nèi)由單位面積上輻射的單位波長間隔內(nèi)的輻射能。(又稱單色發(fā)射本領)單色吸收比：頻率范圍中所吸收的能量與入射能量之比?！Q為黑體（BlackBody）4、基爾霍夫熱輻射定律：

在相同溫度下，任何物體的單色輻出度與單色吸收比總是成正比，比例系數(shù)是一個只取決于溫度和波長的函數(shù)。對黑體單色輻出度的研究是熱輻射研究的中心課題。與物體特性無關，是波長和溫度的普適函數(shù)。注意：黑體并不“黑”。二、黑體輻射:用不透明的材料做一個空腔，開個小孔，小孔表面就是一個黑體的表面。實驗表明∶黑體輻射的電磁波與組成黑體的材料無關，只與溫度和波長有關。輻射總能量隨溫度增高而迅速增大。1700k1500k1300k黑體單色輻出度與波長的關系：瑞利和金斯經(jīng)典電動力學和統(tǒng)計物理學此公式在長波部分與實驗相符很好，但當時引起發(fā)散——“紫外災難”。

三、經(jīng)典物理遇到的困難：實驗瑞利-金斯短波長波0普朗克根據(jù)實驗數(shù)據(jù)和數(shù)學插值法找到了一個經(jīng)驗公式：四、普朗克能量子假說：實驗T=1646k瑞利-金斯普朗克理論值

為解釋他提出的經(jīng)驗公式，普朗克提出了：電磁輻射的能量不能取連續(xù)變化的值，每次輻射的能量正比于頻率E

∝υ。普朗克能量子假說∶3、諧振子輻射或吸收電磁波的能量也是不連續(xù)的，只能一份一份地進行，每份能量是hv。2、諧振子的能量是不連續(xù)的，只能取某一最小值ε0=hv的整數(shù)倍1、黑體中的分子、原子視為帶電諧振子，它輻射或吸收電磁波核心思想：電磁波和物質(zhì)相互作用是以不連續(xù)的方式、一份一份地進行的，每份能量和其它份能量都是獨立的，具有粒子的屬性，可稱為“能量子”。課前作業(yè)33：2、什么叫光電效應的截止頻率和遏止電壓？為什么經(jīng)典電磁理論無法解釋光電效應？光電效應發(fā)生的圖景該是什么樣子？3、什么叫X射線散射的康普頓效應？為什么會有這種效應？如果用可見光做康普頓效應，會有什么不同？1、普朗克早年幸福美滿，后半生慘痛坎坷。了解普朗克的生平，他的經(jīng)歷會給你哪些感悟？5、α粒子的大角度散射實驗證實了原子的核式結構，但按經(jīng)典電磁理論，這樣的核式結構原子是不穩(wěn)定的，它會很快塌縮到原子核上，原子的發(fā)射光譜也不是線狀光譜，而是連續(xù)光譜。面對這樣的矛盾，你該如何抉擇？4、氫原子的發(fā)射光譜是線狀光譜。里德伯將氫原子發(fā)射光譜的巴爾末公式修改為波數(shù)的形式，這種修改只是改變了公式的表面形式，內(nèi)容不變，但卻有非常重要的意義，為什么？普朗克：德國物理學家。大學聽過亥姆霍茲的講課：“他上課從來不好好準備，講課時斷時續(xù)，經(jīng)常出現(xiàn)計算錯誤，讓學生們覺得上課很無聊?！边@從一個側(cè)面反映了一個優(yōu)秀科學家的工作方式和他對這種工作方式的認同（認為學生們也應該熟悉、適應這種方式）：天馬行空，不求嚴謹，活潑敏銳，疏忽細節(jié)。絕對的嚴謹意味著束縛在現(xiàn)有的知識體系中，是不能產(chǎn)生創(chuàng)造性思想的。普朗克花了很多年的時間想將量子論納入經(jīng)典物理的體系，以致他對后來量子力學的發(fā)展沒有做出一點貢獻。——思想方式對一個人成功的重要性?？茖W的真理并不會因為他的想法而改變。就像他年輕時所說：“要接受一個新的科學真理，并不需要說服他的反對者，而是等到反對者都相繼死去，新的一代從一開始便清楚地明白這一真理”?！∥嵘?，從善如流。普朗克經(jīng)歷兩次世界大戰(zhàn)，都在戰(zhàn)爭漩渦的中心，這使他經(jīng)受了巨大的苦難。1942年他寫道：“我突然萌發(fā)了這樣的念頭，要度過危機，一直活到重新崛起的轉(zhuǎn)折點那天”。二戰(zhàn)后一直堅持巡回演講，鼓舞德國人民重新站起來，充滿信心的生活。德國曾發(fā)行印有普朗克頭像的馬克硬幣。無論生死榮辱，幸福悲哀，普朗克都能平靜面對，不失謙遜，也不失對未來的希望，永遠對生活充滿信心，在生命的最后歲月依然為在悲觀失望中的人們中間傳播文明和希望堅持工作。普朗克的經(jīng)歷告訴我們：無論地位和財富如何，在社會大動蕩面前，每個人的命運都是微不足道的。不要怨恨命運的不公，我們能夠做的就是珍惜人生，力所能及地幫助身邊能夠幫助到的人們，并永遠對生活充滿信心和希望?！?1-2光電效應愛因斯坦光子理論一、光電效應：金屬表面被照射后釋放電子的現(xiàn)象。逸出的電子叫光電子。實驗裝置：A─陽極K─陰極G─電流計U─電壓表UG光電效應的實驗規(guī)律：對于某種金屬，只有當入射光的頻率ν大于一定的頻率ν0時，才會產(chǎn)生光電效應。頻率ν0

稱為該金屬的截止頻率。截止頻率與材料有關，與光強無關

。1、截止頻率：金屬截止頻率4.5455.508.06511.53銫鈉鋅銥鉑19.29當ν>ν0

時，光電流隨加速電壓的增大而增大，最后趨于飽和。2、飽和電流:伏安特性曲線飽和光電流Is

與入射光強成正比。當反向電壓大到一定數(shù)值Ua時，光電流減少至零，該電壓叫做遏止電壓。實驗表明：遏止電壓與光強無關，只與頻率有關。3、遏止電壓4、瞬時性：光電流是瞬時產(chǎn)生的。當入射光頻率時，照射到光電陰極上時，無論光強怎樣微弱，電流幾乎同時發(fā)生。當入射光頻率時，根據(jù)功能原理：→光電子的最大初動能和光的頻率成正比，與光強無關。到此二、經(jīng)典理論存在的困難1、經(jīng)典物理解釋：光電子的初動能應與入射光強成正比；實驗結果：最大初動能（或者遏止電壓）與光強無關。2、經(jīng)典物理解釋：只要光強足夠大，電子就可獲得足夠的能量而逸出金屬表面，不存在截止頻率；實驗結果：存在截止頻率。3、經(jīng)典物理解釋：當光強很弱時，電子需要經(jīng)一定的時間積累能量。因此，光照射后應隔一定的時間才有光電子逸出；實驗結果：光電子的逸出幾乎是瞬時的。實驗暗示電子吸收光的能量是斷續(xù)發(fā)生的，沒有累積效應。三、光電效應的量子解釋：光就是由這些光子組成的粒子流。每個光子的能量正比于光的頻率：電子一次只吸收一個光子，獲得光子的能量后，克服正離子引力而做功─逸出功A(束縛能)

，剩下的能量轉(zhuǎn)化為電子逸出表面時的動能：光電效應的實質(zhì)：光在空間的傳播是間斷的、一份一份進行的，每份之間有一定的空間距離，每份可以看做是一個獨立、完整的個體，稱為光量子（光子）。具體解釋：①截止頻率滿足：④光的能量集中在每一個光子上，光子與電子相互作用時，把能量一次全部傳遞給電子，不需要時間積累。當ν<ν0時，能量hν<hν0=A，電子不能從表面逸出，不產(chǎn)生光電效應。不同金屬，逸出功A不同，故ν0也不同。②光強越大，含光子數(shù)越多，從金屬表面逸出的光電子越多，飽和光電流Is越大。③電子一次只吸收與它碰撞的一個光子的能量，所以光電子的最大初動能只與hν和逸出功A有關，與光強無關。§11-3康普頓效應一、康普頓效應：1、康普頓散射實驗裝置：X射線源探測器光闌散射體2、實驗結果∶散射體入射光散射光1)φ=0時，僅有λ0的成分，波長無改變。2)φ≠0時，除λ0外，還有λ>λ0的波長存在。3)△λ與φ角有關。式中K=0.0241埃，是一個由實驗測得的常量。二、經(jīng)典理論的困難：當電磁波入射物質(zhì)時，物質(zhì)中的帶電粒子受電磁場的作用做受迫振動，受迫振動的頻率與入射波的頻率相同。三、光子理論解釋:物理模型：光子和電子的碰撞過程。這些振動的帶電粒子向各個方向發(fā)出電磁波，形成散射波，所以散射波的波長只能與入射光的波長相同。相當于X光子和整個原子發(fā)生碰撞，由于光子質(zhì)量遠小于原子質(zhì)量，碰撞前后光子能量幾乎不變，波長不變。①若光子和束縛很緊的原子內(nèi)層電子相碰撞時：②若光子和原子外層電子相碰撞時：相對入射X射線光子的能量而言，固體表面電子束縛較弱，可視為近自由電子。電子電子

電子熱運動能量，可近似為靜止電子。

物理模型：X射線光子和靜止的自由電子的碰撞。碰撞過程遵循能量守恒定律和動量守恒定律。電子反沖速度很大，需用相對論力學來處理。理論值0.02426埃實驗值0.0241埃。光子假設的正確性，狹義相對論力學的正確性。微觀粒子也遵守能量守恒和動量守恒定律。僅與有關而與物質(zhì)無關，是光子與近自由電子間的相互作用。討論若可見光入射，則電子不能再看作是靜止的自由電子，觀察不到康普頓效應。物理意義光電效應與康普頓效應的異同：入射光的能量X射線可見光電子模型束縛電子自由電子守恒情況能量守恒動量不守恒能量守恒動量守恒光電效應康普頓效應單個電子與單個光子相互作用過程。相同點碰撞模型可以完全吸收光子不能完全吸收光子§11-4玻爾的氫原子理論一、氫原子光譜的規(guī)律微觀世界的實物粒子的性質(zhì)如何？氫原子光譜—線狀光譜：光譜發(fā)射光譜吸收光譜連續(xù)光譜

線狀光譜B=364.56nm為經(jīng)驗常數(shù)。巴耳末公式（可見光）：R為里德伯常量物理學家里德伯將巴爾末公式修改為：廣義巴耳末公式：修改的意義：簡化了公式→①只有從簡化的公式中才能夠看出隱藏其中的本質(zhì)規(guī)律；②簡單的東西才有可能是最基本的東西，才有可能進行有益的推廣。k=1萊曼系，紫外區(qū)，k=3，帕邢系，紅外區(qū)…基本規(guī)律的簡潔和優(yōu)美非常重要，繁瑣復雜是一門學科不成熟的標志，像醫(yī)學（中、西醫(yī)），生物學、經(jīng)濟學等。任何事物的頂層設計都應當是簡潔的，“大象無形”。——戰(zhàn)略上簡單，戰(zhàn)術上復雜。但不是極端簡潔，顯得粗俗鄙陋，“簡潔而不失設計”。二、經(jīng)典的原子核式模型：α粒子的大角度散射2）電子繞原子核旋轉(zhuǎn)。1）原子的中心是原子核，集中了原子中全部的正電荷和幾乎全部的質(zhì)量。3）原子核的體積比原子的體積小得多。原子半徑~10-10m，原子核半徑10-14~10-15m。按經(jīng)典電磁理論：2、盧瑟福模型的缺陷:原子不穩(wěn)定原子發(fā)射連續(xù)光譜。實驗規(guī)律：原子的發(fā)射光譜通常不是連續(xù)的，而是分立的。電子運動頻率電子輻射頻率電子能量連續(xù)減少連續(xù)變化連續(xù)變化連續(xù)光譜課前作業(yè)34：2、粒子和波是完全不同的事物，它們之間的區(qū)別主要在哪里？光既是粒子又是波，這是一幅怎樣的圖景?。抗庠谀男┓矫姹憩F(xiàn)出粒子性，又在哪些方面表現(xiàn)出波動性？3、徳布羅意認為所有的物質(zhì)都具有波粒二象性，稱為物質(zhì)波。物質(zhì)波的波速是多少？它會大于光速嗎？怎么理解物質(zhì)波的波速、頻率和波長的意義？它們現(xiàn)在能不能直接測量？物質(zhì)波的傳播需要媒質(zhì)嗎？物質(zhì)波和傳統(tǒng)意義上的波動是一回事嗎？1、玻爾在解決氫原子光譜問題時，為什么支持原子的核式模型，而否定經(jīng)典電磁理論？玻爾為什么只能尋求一種不完美的解決方案來解釋氫原子光譜？普朗克提出并由愛因斯坦所發(fā)展的量子概念盧瑟福的原子模型原子的玻爾模型三、玻爾的氫原子理論:原子的核式模型+經(jīng)典電磁理論→和實驗產(chǎn)生矛盾。經(jīng)典理論的連續(xù)性概念和氫原子光譜的分立性相矛盾。巨大困難：微觀世界多體問題（原子核、電子和光子）的求解，需要掌握微觀世界的基本規(guī)律才可以。如果要解釋氫原子光譜，只能尋求一種不完美的解決方案：——量子思想+經(jīng)典電磁理論要學會忍受缺陷、忍受不完美。孫悟空：“天地尚不完美，何況佛經(jīng)呢？”氫原子光譜的分立性→氫原子內(nèi)部狀態(tài)是分立的、不連續(xù)的?！拥哪芰亢蜖顟B(tài)不連續(xù)，而每一個允許存在的狀態(tài)都是穩(wěn)定的，不發(fā)射電磁波。當原子從一個狀態(tài)躍遷到另一個狀態(tài)時，會發(fā)射電磁波，發(fā)射電磁波的能量等于兩個狀態(tài)的能量差。①定態(tài)假設：原子處于一系列不連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)─定態(tài)，各定態(tài)的位置和能量只能取某些分立的值。定態(tài)時，電子加速運動，但不輻射能量。1、玻爾的氫原子理論的基本內(nèi)容：定態(tài)的能量是確定的值，稱為能級或者能態(tài)。定態(tài)能量和狀態(tài)參數(shù)（半徑、速度等）可以根據(jù)氫原子光譜、上式和經(jīng)典電磁理論計算。②躍遷假設:電子由一定態(tài)向另一定態(tài)躍遷時，發(fā)射（或吸收）單色光，且有：→氫原子發(fā)射電磁波的頻率是不連續(xù)的，分立的。③軌道角動量量子化:電子繞核運轉(zhuǎn)的軌道角動量L只能取的整數(shù)倍的值。計算發(fā)現(xiàn)：處于定態(tài)的電子的軌道角動量滿足量子化條件：2、氫原子光譜的計算：軌道角動量量子化條件+躍遷發(fā)射電磁波的公式+經(jīng)典電磁理論→氫原子光譜。討論∶①電子軌道半徑是不連續(xù)的，即是量子化的。②對氫原子，Z=1，則稱為玻爾半徑。氫原子其它半徑為：氫原子的能級公式：n=1稱為基態(tài)。n=2,3...稱第一激發(fā)態(tài)，第二激發(fā)態(tài)等。注意∶①En為負值②當n→∞時，En→0（rn→∞)—自由靜止的電子態(tài)。③電離能：電子從n態(tài)脫離原子核所需要的能量?！鱁n=E∞

-En=

︱En︳

——相對自由、靜止的電子態(tài)。和實驗值非常接近萊曼系巴耳末系帕邢系布喇開系En=E1

/n2E4=-0.85eVE3=-1.51eVE2=-3.4eVE1=-13.6eV氫原子能級圖能級躍遷示意圖：3、玻爾氫原子理論的成功和缺陷：理論保留的經(jīng)典概念和公式，像軌道、庫侖定律、向心力等，在微觀世界已經(jīng)不適用了→玻爾理論不能解釋多電子原子的性質(zhì)和原子是如何結合成分子、構成液體、固體的。a）第一次對實物粒子引入了量子化的概念；b）

提出“定態(tài)”，“能級”，“量子躍遷”等概念。玻爾的氫原子理論作為量子物理和經(jīng)典物理結合的半成品，在量子力學的發(fā)展史上是不可或缺的。解決問題時如果力不能及，要允許瑕疵，因為事物不可能永遠恰到好處。人也不可能都生逢其時，可以一展抱負。待人處事上，要學會包容別人的缺點。[例1]氫原子n=2

軌道上的電離能為多少?基態(tài)氫原子吸收能量為15eV的光子后電離出來的電子的初動能多大?解∶n=2軌道電離能氫原子基態(tài)電離能為13.6eV，故氫原子吸收15eV的光子，電子電離后以15﹣13.6=1.4eV的動能自由運動。[例2]氣體放電管中，用攜帶能量為12.2eV的電子轟擊處于基態(tài)的氫原子，試計算此時氫原子可能輻射的譜線的波長。解∶由氫原子能級公式：氫原子最多吸收12.09eV能量，被激發(fā)到n=3能態(tài)。電子從n=3的激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)時可發(fā)出三條不同的譜線3→2，2→1，3→1。巴耳末系萊曼系第11章作業(yè)1：15-2，15-3，15-11，15-12，15-13，15-18。玻爾：丹麥物理學家。哥本哈根精神：平等自由地討論，同時又相互緊密合作。“不怕承認自己知識的不足，承認自己是傻瓜”。玻爾大學軼事——一個天才拒絕直線思維的故事：物理考題:用一個氣壓計確定摩天大樓的高度。11種答案：繩子吊，下落時間，單擺周期差，影子比例，氣壓差等。創(chuàng)造性思維要經(jīng)常保持一種不墨守成規(guī)（叛逆）的心態(tài)。11-5實物粒子的波粒二象性一、光的波粒二象性：

波動性：在空間彌散，分支之間相干疊加，振幅2代表強度。粒子性：在空間集中于一點，個數(shù)代表強度?！獙酥静▌有再|(zhì)的頻率和波長，通過一個普適常量—普郎克常數(shù)，與標志粒子性質(zhì)的能量和動量聯(lián)系起來。說明：兩種相反屬性集中在一種物質(zhì)（光）的身上，令人疑惑不解。光在傳播過程中主要表現(xiàn)出波動性，光在和其它物質(zhì)相互作用時主要表現(xiàn)出粒子性。徳布羅意深信自然界在本質(zhì)屬性上是對稱的→波-粒對稱性應該是全體物質(zhì)都滿足的對稱性。據(jù)說徳布羅意是在失戀時到大海邊閑坐時發(fā)現(xiàn)的：海浪連綿起伏，無邊無際，感觸到整個世界都以波動的形式存在著。光的這種存在形態(tài)是不是具有普遍性？如果自然界的所有物質(zhì)都是既以波的形態(tài)存在，又以粒子的形態(tài)存在，則具有波-粒對稱性。啟發(fā)：不論面對多大的悲傷都不要在意，更不能一蹶不振，因為前方可能有更美好的事物在等待著你去發(fā)現(xiàn)、去邂逅！任何失敗和挫折都沒什么大不了的。人生短暫，若白駒過隙，沒有時間感傷，抓住有限的時間做有意義的事情。二、德布羅意假設：質(zhì)量為m的粒子，以速度v勻速運動時，可以看做是一個平面波，其頻率ν，波長λ為：這種波稱為德布羅意波或物質(zhì)波。三、電子衍射實驗—物質(zhì)波的驗證實驗電子束透過多晶金箔的衍射K四、應用：物質(zhì)波的一個最重要的應用就是電子顯微鏡的發(fā)明。顯微鏡的分辨本領與波長成反比，電子顯微鏡的分辨本領比光學顯微鏡高。1）石頭，質(zhì)量為100克，速度為100厘米/秒厘米2）電子，質(zhì)量約為10-27克，速度為6×107厘米/秒厘米所有的物質(zhì)都具有波粒二象性，但為什么現(xiàn)實生活中我們感覺不到宏觀物體的物質(zhì)波呢？物質(zhì)波的本質(zhì)——和經(jīng)典的波動是一回事嗎？物質(zhì)的速度v≤c理解：1）物質(zhì)波的速度不代表能量傳遞的速度。物質(zhì)波的速度不是物理可測量量，它是一種虛擬的速度，當前沒有實際意義。2）物質(zhì)波波長是可測量量，物質(zhì)波干涉條紋間距∝波長。波速v=λυ，所以目前物質(zhì)波的頻率也沒有直接的測量意義。3）由于物質(zhì)波波速≠物質(zhì)實際速度，所以物質(zhì)本身并不是物質(zhì)波傳播的載體，物質(zhì)波沒有傳播它的載體（介質(zhì)）。物質(zhì)波從本質(zhì)上說不同于通常意義上的波，只是在波的傳播和疊加上遵循通常波的傳播和疊加原理。課前作業(yè)35：2、因為物質(zhì)波并非經(jīng)典意義上的波動，如果想用波函數(shù)來描寫微觀粒子的狀態(tài)，傳統(tǒng)的波函數(shù)的形式是否應該做出改變？波函數(shù)的具體取值是否仍然很重要？3、對微觀粒子波粒二象性的描述中，波動性和粒子性相較經(jīng)典物理的概念有哪些不同？波動性和粒子性對微觀粒子來說哪個更根本？描寫微觀粒子的波函數(shù)有什么物理意義？1、由于波粒二象性，描寫微觀粒子狀態(tài)的物理量是否應該做出變革，不能沿用經(jīng)典力學中的概念，像位置、速度、加速度、動量、能量等？如果是這樣，微觀粒子的運動狀態(tài)該用什么來描寫？4、歷史上為解釋粒子的波動性，曾出現(xiàn)過“隱變量理論”，該理論認為粒子的隨機行為可以歸結為有一些物理量暫時不能被測量到，所以看起來粒子的行為具有隨機性，這些不能被測量到的物理量統(tǒng)稱為隱變量。你認為隱變量理論和波粒二象性理論之間最大的矛盾在哪里？隱變量理論會正確嗎？5、描寫微觀粒子的波函數(shù)必須要滿足哪些條件？為什么要滿足這些條件？6、經(jīng)典的波函數(shù)是對一個經(jīng)典的波動的完備描述，即可以從波函數(shù)中提取任何有關該波動的物理信息。那么微觀粒子的波函數(shù)也是對微觀粒子狀態(tài)的完備描述嗎？7、什么叫不確定度？為什么測量微觀粒子的任一個物理量時都可能會出現(xiàn)不確定度不為零的情況？§11-6波函數(shù)一、波函數(shù)：經(jīng)典力學：位置、速度、加速度、動量、能量等。問題：微觀粒子的運動狀態(tài)用什么來描寫？1、自由粒子的波函數(shù):在經(jīng)典物理中，沿x方向傳播的平面波的波函數(shù)為：描寫物質(zhì)的方法：這樣一種數(shù)學描寫方式適合物質(zhì)波嗎？理解：1）物質(zhì)波描寫的是一個粒子，沒有位移y這個物理量，具體的y值不重要；2）相位仍然很重要，它表征了兩個物質(zhì)波相干的重要條件，但同y值一樣，相位也是不可測量量；3）振幅同樣重要，它代表最后的測量量：振幅2=強度。(注∶歐拉公式∶)→物質(zhì)波的波函數(shù)不改變振幅和相位的具體數(shù)學形式，弱化波函數(shù)的具體取值?！镔|(zhì)波波函數(shù)應該將振幅和相位以不同的數(shù)學形式分開來表述，再乘在一起。這是一個頻率和波長確定的自由粒子的平面波。推廣到三維空間：進一步：波函數(shù)的振幅由：得：→波函數(shù)的具體取值沒有意義，有意義的是振幅的模方：代表一個物理測量量。二、波函數(shù)的意義：經(jīng)典物理機械波中，波函數(shù)表示t時刻x處質(zhì)點的位移。電磁波中，波函數(shù)表示t時刻x處的B或E的值。微觀粒子的波函數(shù)表示什么意義呢?由于波函數(shù)描寫的是粒子，相關的測量量只包括粒子是否會在某時某處（x,t）出現(xiàn)，以及出現(xiàn)的多少（個數(shù)）。首先對物質(zhì)的存在形態(tài)（波粒二象性）做一個深刻地認識。歷史上的不同觀點：②粒子性是基本的，多個粒子形成粒子流，各粒子間相互作用顯示波動性。①波動性是基本的，粒子性是由于不同頻率的波疊加而形成的波包。但是兩種觀點都是錯誤的：①波包在傳播過程中不穩(wěn)定，能量會彌散開；②的想法則被實驗所否定。用一束極弱的電子束做雙縫干涉實驗，弱到每次只有一個電子通過雙縫，這樣就排除了粒子間相互作用的可能性。實驗結果：一次電子只落在一個位置，在底片上形成一個斑點。曝光時間短的話，電子落到哪個位置是隨機的。但隨著曝光時間的增加，電子落在底片上的位置明顯顯示出一種統(tǒng)計規(guī)律，最終形成一個雙縫干涉條紋的形狀。電子落在明條紋處的幾率最大，落在暗條紋處的幾率最小?！鷨蝹€粒子也具有波動性，不過這種波動性代表的是一種幾率波，波的強度代表粒子出現(xiàn)在某處的幾率?！镔|(zhì)波沒有傳播媒質(zhì)，因為它只是一種代表幾率的幾率波。幾率由波的強度，即波函數(shù)的模方表示。注意：粒子出現(xiàn)在某處的幾率還和該處空間體積的大小有關，體積很小時，幾率∝體積的大小。波函數(shù)的模方應該代表粒子出現(xiàn)在某處的幾率密度。波函數(shù)的物理意義：表示t時刻，粒子在空間x處的單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。某一時刻，粒子在空間某處的體積元dV中出現(xiàn)的概率：經(jīng)典波物質(zhì)波衍射條紋明暗波的強度粒子到達的統(tǒng)計概率數(shù)學形式波函數(shù)振幅平方波函數(shù)模的平方粒子出現(xiàn)在某處的不確定性究竟是物質(zhì)的存在本質(zhì)決定的，還是因為我們對物質(zhì)缺乏了解造成的？隱變量理論：有一些物理量不能被測量到，所以看起來粒子的行為具有隨機性。隱變量理論的本質(zhì)：否定粒子具有波動性，無法解釋粒子傳播過程中的空間相關性和干涉條紋的概率分布?！镔|(zhì)的存在本質(zhì)就具有隨機性，“上帝擲骰子”?？偨Y——波粒二象性中，波動性和粒子性都是根本屬性，兩者同等重要，沒有誰更本質(zhì)之說。波動性仍然滿足經(jīng)典波的傳播和疊加的原理（惠更斯-菲涅爾原理），但它在測量時體現(xiàn)的是一種幾率波。粒子性仍然具有經(jīng)典粒子的會聚特性、但它的行為是隨機不定的，沒有軌道的概念。互補原理：物質(zhì)有不同的側(cè)面，它們是相互對立的，但又必須共同存在，才能對一個事物做出完備的描述，追究既互斥又互補的兩個方面哪一個更根本是沒有意義的。三、波函數(shù)滿足的條件：1）歸一化條件：在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的總概率為100%波函數(shù)應是單值、有限、連續(xù)的函數(shù)。2）標準條件：經(jīng)典波函數(shù)是對一個經(jīng)典波動的完備描述。特性：物質(zhì)波波函數(shù)是對一個粒子狀態(tài)的完備描述，從波函數(shù)中可以提取出有關這個粒子的任何物理信息。當波函數(shù)確定后，粒子的任何一個物理量的取值以及它取各種可能值的幾率都完全確定。

[例1]一粒子被限制在兩個不可穿透的壁（間距為l）之間,描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ=cx(l–x)

,其中c是待定常數(shù)，求在0～l/3區(qū)間該粒子出現(xiàn)的概率.解:由歸一化條件:即:則在0～l/3

區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：四、不確定關系：Δx：粒子在位置x上的不確定度物質(zhì)波是概率波→一個確定狀態(tài)下粒子出現(xiàn)的位置是不確定的，可以引入不確定度的概念：Δx越大，說明粒子在位置x方向上的不確定性越大。粒子在其它物理量的測量上也有不確定性嗎？粒子以波的形態(tài)存在，波滿足線性疊加原理?！Ｗ铀幍臓顟B(tài)可以是很多不同性質(zhì)的波的疊加態(tài)。設是在x方向動量為確定值px的粒子態(tài)的波函數(shù)則Ψ(x,t)代表不同動量態(tài)的混合態(tài)，其動量值是不確定的。一個物理量的不確定度取決于粒子所處的狀態(tài)（波函數(shù)）。對任何粒子態(tài)，粒子的位置和同一方向上的動量的不確定度滿足：Δpx：粒子在動量px上的不確定度物理意義微觀粒子同一方向上的坐標與動量不能同時準確測量，它們的精度存在一個不可逾越的限制。假如粒子的位置完全確定Δx→0，那么粒子動量Δpx→∞。對單縫處的粒子態(tài)而言，粒子在x方向位置Δx≈a越小，粒子在x方向動量Δpx越大，條紋越寬。（2）粒子的能量和存在時間也有關系：時間不確定度Δt即粒子的壽命，能量ΔE稱作能級寬度。

（3）對宏觀粒子，因很小，所以可視為位置和動量能同時準確測量。[例1]足球質(zhì)量m=45g，速度v=40m/s，如果動量的不確定度為1%，則位置的不確定度估算為多少？[例2]電子質(zhì)量me=9.110-31kg，原子中電子的x10–10m，求其速度的不確定度？

Δvx與電子在軌道上的速度(約106m/s)相差不多，所以不能同時確定電子的位置和速度。課前作業(yè)36：2、量子力學中的算符是用來做什么的？人們?yōu)槭裁磳λ械奈锢砹慷家胨惴母拍?？量子力學中，算符比物理量本身更重要，但算符并不直接對應物理測量量，怎么尋找它們之間滿足的方程？1、經(jīng)典物理中，基本物理規(guī)律是通過確定條件下各個物理量之間滿足的方程給出的。在量子物理中，也是相同的情況嗎？如果不是，量子物理的基本方程是關于什么的方程？3、什么是求解薛定諤方程的定態(tài)問題？為什么在定態(tài)問題中，粒子的波函數(shù)可以分解成？4、求解薛定諤方程時，邊界上波函數(shù)連續(xù)的條件非常重要，說說它在求解無限深勢阱中的波函數(shù)時起到的具體作用。5、如何理解在隧道效應中粒子有一定的幾率穿透比它能量高的勢壘到達另一側(cè)？因為從經(jīng)典力學來看，這是完全不可能的。6、現(xiàn)在你理解“量子力學”這個名稱的緣起和含義了嗎？量子力學的核心思想是什么？7、氫原子的角動量的空間取向真的是量子化的嗎？如何把Z軸選在角動量的方向上，則此時角動量在Z軸的投影值是嗎？§11-7薛定諤方程一、建立薛定諤方程的準備：經(jīng)典力學：已知質(zhì)點的受力情況+初始條件牛頓運動方程量子力學：已知微觀粒子能量+初始條件關于？的方程微觀粒子任意時刻的量子狀態(tài)質(zhì)點任意時刻的物理量：等。到此關于物理量之間關系的方程關于波函數(shù)滿足的方程相互作用（力）改變的是粒子的波函數(shù)，然后觀測者再從改變了的波函數(shù)上提取粒子的各種物理信息。難點：構造一個全新的力學體系！量子力學中，物理量算符的重要性>物理量本身的重要性。量子力學的基本方程是關于物理量算符之間滿足的方程。

如何從一個波函數(shù)上提取粒子的物理信息？引入算符的概念：一個物理量對應一個確定的算符，把該物理量的算符作用到波函數(shù)上，就可以提取出關于該物理量的全部信息。量子力學的基本方程是關于算符作用于波函數(shù)上的方程。物理量算符之間滿足經(jīng)典物理學中相應的物理量之間的關系?！锢砉讲蛔?，只是把各個物理量變?yōu)橄鄳乃惴?，再作用到波函?shù)上去。任務：1）尋找各物理量的算符；2）尋找各算符滿足的方程。難點：算符和算符滿足的方程不直接對應實驗測量結果。二、物理量算符的尋找：能量為E，動量為P，沿x方向運動的自由粒子的波函數(shù)：對t求一階偏導：對x求一階偏導:動能算符（v<<c）為：猜測:為動量算符。猜測:為能量算符。推廣到三維空間：動能算符為：動量算符為：其中：一維自由粒子滿足的經(jīng)典力學方程為：三、薛定諤方程：設粒子在某力場中的勢能函數(shù)為U(x,t)，則：即：對以位置為自變量的波函數(shù)而言，勢能算符就是勢能本身。用算符替換相應的物理量，并作用到波函數(shù)上，得到：一維非自由粒子滿足的經(jīng)典力學方程：注意：非保守力場也可以引入勢能概念（含時勢能）。推廣到三維空間：一維含時薛定諤方程定態(tài)問題：保守力系統(tǒng)，勢能函數(shù)與t無關，即U=U(x)

。四、定態(tài)薛定諤方程：定態(tài)問題中，粒子能量不隨時間變化。根據(jù)壽命和能量的不確定關系，粒子可以長久穩(wěn)定地處于同一個能級。定態(tài)問題中，粒子狀態(tài)是穩(wěn)定的，粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率不隨時間變化。把t和x分離開來，波函數(shù)可寫成：一維定態(tài)薛定諤方程解得：E為粒子的能量。1）薛定諤方程是猜想建立的，不是推導出來的。2）微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述及波函數(shù)滿足薛定諤方程，應看成量子力學的基本原理。3）薛定諤方程建立過程中假設了：物理量算符之間滿足的規(guī)律和經(jīng)典力學中相應物理量之間滿足的規(guī)律完全相同。4）薛定諤方程是低速條件下的經(jīng)典力學的推廣，對高速粒子不成立。注意：§11-8薛定諤方程的簡單應用給出勢能U(x)，求解定態(tài)薛定諤方程+標準條件、歸一化條件。一、一維無限深勢阱：實例：金屬中的自由電子。一維定態(tài)薛定諤方程：分段求解：x≤0

和x≥a，。0

≤

x≤a令，則有:其通解為：A、B、k可由邊界上連續(xù)的條件和波函數(shù)歸一化條件確定。根據(jù)邊界條件，在x=0，x=a處ψ=0，可得：∴波函數(shù)：(n=1,2,3...)——無限深勢阱中，粒子能量是量子化的。n是定態(tài)標志由歸一化條件：一維勢阱中粒子的波函數(shù)：得：粒子出現(xiàn)的的概率密度：——概率密度分布不均勻。二、一維勢壘、隧道效應:這種勢能稱為一維方勢壘。在區(qū)域Ⅰ中沿x軸運動的粒子，當能量E<U0時，按經(jīng)典理論，粒子不可能進入?yún)^(qū)域Ⅱ，達到區(qū)域Ⅲ。ⅠⅢⅡ定態(tài)薛定諤方程:（Ⅱ區(qū)）（Ⅰ、Ⅲ區(qū)）邊界上連續(xù)→區(qū)域Ⅱ、Ⅲ中Ψ(x)不為零。其解：（Ⅱ區(qū)-衰減波）（Ⅰ區(qū)-行波）（Ⅲ區(qū)-行波）E<U0時粒子可以穿過勢壘到達區(qū)域Ⅲ，稱為隧道效應。分析：說明經(jīng)典力學的概念和規(guī)律在微觀領域已經(jīng)失效了。微觀粒子以波的形式存在，用波函數(shù)描寫其運動方式，并用特定的算符從波函數(shù)中提取物理量的值。由此得到的物理量的值不一定滿足經(jīng)典物理學的規(guī)律。穿透幾率：勢壘越寬，勢壘越高，穿透幾率越小。（Ⅱ區(qū)）譬如，動能不一定永遠取正值。把針尖和物質(zhì)表面作為兩個電極，當物質(zhì)表面與針尖的距離非常小（<1nm）時，在外電場作用下電子即會穿過兩極間的絕緣層流向另一極，產(chǎn)生隧道電流。掃描隧道顯微鏡(STM)

利用STM把一氧化碳分子豎立在鉑表面上可以利用探針和材料平面間的作用調(diào)度材料平面上的原子。

量子力學名稱的緣起和含義：1）電磁波以量子（一份一份）的形態(tài)產(chǎn)生，傳播和吸收；2）實物粒子以波動的形態(tài)存在，其滿足的力學規(guī)律完全不同于經(jīng)典力學的情況。量子力學的本質(zhì)和核心思想：所有物質(zhì)既是波，又是粒子，存在形態(tài)都是波粒二象性的。時間、空間融合在一起狹義相對論粒子性和波動性融合在一起量子力學當粒子處于束縛態(tài)時，粒子的存在形態(tài)（能量、位置等）是不連續(xù)的，量子化了。§11-9氫原子一、氫原子的量子力學處理方法:電子的勢能為：電子的三維定態(tài)薛定諤方程：二、重要結果：1、能量量子化1）當E>0時，對E的任何值，方程都有解。—氫原子電離，電子為自由電子2）當E<0時，氫原子能量只能取分立值：n=1,2,3…稱為主量子數(shù)，決定電子的能量。能量確定后，電子的角動量L可以有n

個不同的值。2、角動量量子化：具有確定能量的電子的角動量可取若干個值，角動量大?。鹤⒁猓航莿恿看笮∨c玻爾理論不同。l為角量子數(shù)3、角動量的“空間取向量子化”：具有確定角動量的電子，角動量L在任意一軸上（如：沿磁場方向）投影LZ也是量子化的。到此ml稱為磁量子數(shù)，角動量L在某方向的投影可以有（2l+1）個可能的取值。說明電子軌道在空間有5種取向，因此角動量在Z方向的投影有5種可能的分量。但Z軸是任意選取的，若把Z軸選在角動量的方向上，則實際是：量子力學中，角動量沒有方向的概念，角動量的方向是不可測量量。角動量“空間取向量子化”只是一種不準確的、簡化的說法。對應每一組量子數(shù)（n,l,ml），有相應的波函數(shù)nlm

。4、波函數(shù)：電子的概率分布a0：玻爾半徑。處于確定狀態(tài)上的電子，其位置并不是確定的。徑向概率分布：電子在r~r+dr球殼中出現(xiàn)的概率電子出現(xiàn)概率大處，霧點密度大；反之，霧點密度小。電子在核外不是按一定的軌道運動的，量子力學不能斷言電子一定出現(xiàn)在核外某確切位置，而只給出電子在核外各處出現(xiàn)的概率，其形象描述—“電子云”。課前作業(yè)37：2、描寫原子中電子的狀態(tài)需要哪幾個量子數(shù)？電子填充原子的殼層結構時，遵循哪些原則？1、怎么理解電子具有自旋？§11-10電子的自旋原子的殼層結構一、施特恩---格拉赫實驗:電子繞核旋轉(zhuǎn)等效于一圓形電流，具有垂直軌道方向的磁矩，稱為軌道磁矩。它與電子的軌道角動量之間的關系：角動量的大小和方向是量子化的→軌道磁矩的大小和方向也是量子化的。1、軌道磁矩：2、施特恩---格拉赫實驗裝置及現(xiàn)象：具有磁矩的原子在非勻強磁場中運動時，將受到磁場力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)的大小和方向與磁矩在磁場方向的投影有關。實驗原理：實驗結果（以銀原子為例）：2）加非均勻外磁場時，在屏上銀原子的痕跡分裂為上下對稱的兩條。1）無外磁場時，銀原子不受磁力作用，得到一條正對狹縫的原子痕跡。3、實驗現(xiàn)象解釋的困難：但對基態(tài)銀原子(最外層僅有一個電子，l=0