第1章概率論基礎(chǔ)

隨機(jī)信號(hào)分析

RandomSignalAnalysis鄭植通信學(xué)院辦公室：科B-224Tel-mail:zz@隨機(jī)信號(hào)分析2課程簡(jiǎn)介課程名稱：隨機(jī)信號(hào)分析課程性質(zhì)：專業(yè)基礎(chǔ)課課時(shí)：48學(xué)時(shí)先修課程：概率論、信號(hào)與系統(tǒng)等后續(xù)課程：通信原理、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)成績(jī)考核：平時(shí)＋期中考試＋期末考試注：平時(shí)包括作業(yè)、隨堂測(cè)練隨機(jī)信號(hào)分析3課程簡(jiǎn)介教材：《隨機(jī)信號(hào)分析》第4版李曉峰等編著電子工業(yè)出版社隨機(jī)信號(hào)分析4課程簡(jiǎn)介參考資料《隨機(jī)信號(hào)分析》趙淑清等編著哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社《隨機(jī)過程及應(yīng)用》朱慶棠編著電子科技大學(xué)出版社

隨機(jī)信號(hào)分析5課程簡(jiǎn)介內(nèi)容安排：概率論基礎(chǔ)第一章概率論基礎(chǔ)隨機(jī)信號(hào)的基礎(chǔ)理論：第二章隨機(jī)信號(hào)第三章平穩(wěn)性與功率譜密度第四章各態(tài)歷經(jīng)性與隨機(jī)實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)的應(yīng)用第五章隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)第六章帶通隨機(jī)信號(hào)

隨機(jī)信號(hào)分析6學(xué)習(xí)方式課堂教學(xué)課堂討論師生互動(dòng)課后作業(yè)隨機(jī)信號(hào)分析75個(gè)希望：課前預(yù)習(xí)，提出問題；認(rèn)真聽課，做好筆記；課后復(fù)習(xí)，獨(dú)立完成作業(yè)；整理疑問，積極討論；總結(jié)提高，不斷進(jìn)步！隨機(jī)信號(hào)分析8第一章概率論基礎(chǔ)復(fù)習(xí)、總結(jié)概率論的基本知識(shí)補(bǔ)充一些新的知識(shí)點(diǎn)：利用沖激函數(shù)表示離散與混合型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量的條件數(shù)學(xué)期望特征函數(shù)瑞利與萊斯分布隨機(jī)變量的基本實(shí)驗(yàn)方法（自學(xué)）隨機(jī)信號(hào)分析9第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機(jī)變量1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量1.3隨機(jī)變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學(xué)期望1.5特征函數(shù)1.6典型分布1.7隨機(jī)變量的仿真與實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)分析101.1概率公理與隨機(jī)變量隨機(jī)現(xiàn)象 在一定條件下，對(duì)某種現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)際觀察時(shí)，所得結(jié)果不能預(yù)先完全地確定，而只能是多種可能結(jié)果中的一種，這種現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。定義：隨機(jī)試驗(yàn)（RandomExperiment）對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象做出的觀察與科學(xué)實(shí)驗(yàn)。隨機(jī)信號(hào)分析111.1概率公理與隨機(jī)變量定義隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本點(diǎn)ξi

一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)所有可能的“基本結(jié)果”又稱為樣本點(diǎn)，記為ξi（i=1,2,……）定義隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間Ω(SampleSpace)

隨機(jī)試驗(yàn)所有的基本可能結(jié)果構(gòu)成的集合稱樣本空間，常表示為：

Ω={隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的全部基本實(shí)驗(yàn)結(jié)果}={ξ:ξ為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的基本實(shí)驗(yàn)結(jié)果}隨機(jī)信號(hào)分析121.1概率公理與隨機(jī)變量定義事件

事件（Event）是試驗(yàn)中“人們感興趣的結(jié)果”構(gòu)成的集合，是Ω的子集。各種不同的事件的總體構(gòu)成一個(gè)事件集合，稱為事件域。

e.g.不可能事件，空集φ，不包含任何樣本點(diǎn)隨機(jī)信號(hào)分析131.1概率公理與隨機(jī)變量定義概率 事件是隨機(jī)的。賦予事件一個(gè)出現(xiàn)可能性的度量值，稱為概率（Probability）?！翱赡苄缘亩攘恐怠笔恰昂暧^”意義下（即大數(shù)量的情形下）的比例值，由相對(duì)頻率（Relativefrequency）來計(jì)算:隨機(jī)信號(hào)分析141.1概率公理與隨機(jī)變量概率公理：任何事件A的概率滿足：非負(fù)性：任取事件A

，歸一性：可加性：若事件A、B互斥，即則隨機(jī)信號(hào)分析151.1概率公理與隨機(jī)變量事件概率的基本性質(zhì)：

隨機(jī)信號(hào)分析161.1概率公理與隨機(jī)變量條件事件：條件概率（Conditionalprobability），隨機(jī)信號(hào)分析171.1概率公理與隨機(jī)變量事件A與B獨(dú)立（Independent）等價(jià)地定義為：多個(gè)事件彼此獨(dú)立，隨機(jī)信號(hào)分析181.1概率公理與隨機(jī)變量事件的最基本運(yùn)算：（參見教材）隨機(jī)信號(hào)分析19例1.1擲硬幣實(shí)驗(yàn)：一次投擲與相繼兩次投擲硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面結(jié)果的試驗(yàn)。分析：投擲硬幣實(shí)驗(yàn)1為一次投擲觀察硬幣正、反面出現(xiàn)，其樣本空間其中，H表示正面出現(xiàn)，T表示反面出現(xiàn)隨機(jī)信號(hào)分析20例1.1事件域：顯然，隨機(jī)信號(hào)分析21例1.1續(xù)投擲硬幣實(shí)驗(yàn)2為連續(xù)二次投擲觀察硬幣正、反面出現(xiàn)，其樣本空間有四種可能結(jié)果其中，s0

＝（正，正），s1

＝（正，反），s2

＝（反，正）和s3

＝（反，反），這里的s0

＝（正，正）＝（前一次投擲出現(xiàn)正，后一次投擲出現(xiàn)正），……

顯然，P0=1/4，P1=1/4，P2=1/4，P3=1/4隨機(jī)信號(hào)分析22例1.2一列N個(gè)格子，將一只小球隨機(jī)放入其中任一格子。求：（1）小球放入第k號(hào)格子的概率?（2）前k個(gè)格子中有小球的概率？解：因?yàn)槭堑雀诺?，顯然，又各個(gè)格子是互斥的，于是隨機(jī)信號(hào)分析231.1概率公理與隨機(jī)變量幾個(gè)基本公式鏈?zhǔn)椒▌t：隨機(jī)信號(hào)分析241.1概率公理與隨機(jī)變量全概率公式(TotalProbability)完備事件組或分割（Partition）： 事件組 ，滿足：

1）

2）全概率公式：任取事件B隨機(jī)信號(hào)分析251.1概率公理與隨機(jī)變量貝葉斯（Bayes）公式：任取事件B

先驗(yàn)概率：轉(zhuǎn)移概率：后驗(yàn)概率：隨機(jī)信號(hào)分析26例1.3在二元傳輸或檢測(cè)中，先驗(yàn)概率分別為，若傳輸可靠性為80%，問收到“1”時(shí)，真正發(fā)送的消息是什么？解：根據(jù)貝葉斯公式0X10Y1隨機(jī)信號(hào)分析271.1.2隨機(jī)變量舉例1正弦信號(hào)發(fā)生器：正弦信號(hào)發(fā)生器或各種正弦振蕩電路產(chǎn)生的波形是如下的函數(shù)形式其中A是振幅，Ω是角頻率，Θ是初相。隨機(jī)信號(hào)分析28舉例1續(xù)s0s1…Si

樣本空間為Ω＝{s0,s1,s2…}隨機(jī)信號(hào)分析29舉例2投擲骰子樣本空間Ω

＝{ξ1，ξ2，…，ξ6}事件樣本點(diǎn)值域空間出現(xiàn)“1”點(diǎn)面ξ11出現(xiàn)“2”點(diǎn)面ξ22………………出現(xiàn)“6”點(diǎn)面ξ66隨機(jī)信號(hào)分析30舉例2續(xù)通過映射關(guān)系，一個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)值，樣本空間Ω映射成隨機(jī)變量X（r.v.X）。r.v.X={1,2,3,4,5,6}值域空間123456隨機(jī)信號(hào)分析311.1.2隨機(jī)變量定義：隨機(jī)變量在樣本空間Ω上定義一個(gè)單值實(shí)函數(shù)X(ξ)，則稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E中的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為r.v.X。并規(guī)定：用的概率來描述的概率特性，記為稱它為X的分布函數(shù)（Distributionfunction），或稱為累積分布函數(shù)（Cumulativedistributionfunction）。隨機(jī)信號(hào)分析32隨機(jī)變量映射1.1.2隨機(jī)變量Ωξ1·ξ2·ξi·X(·)X2XiX1樣本空間隨機(jī)變量X(ξ)隨機(jī)變量值域…隨機(jī)信號(hào)分析331.1.2隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類連續(xù)隨機(jī)變量（C.r.v.）離散隨機(jī)變量（D.r.v.）混合隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)分析341.1.2隨機(jī)變量r.v.的研究只能從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度進(jìn)行隨機(jī)信號(hào)分析35舉例3例：

顯然

注意：D.r.v的概率分布函數(shù)是階躍的，階躍的高度等于r.v.在該點(diǎn)的概率。隨機(jī)信號(hào)分析36舉例3續(xù)概率分布函數(shù)F(x)pk…xkx3x2x1xp1P1＋P21隨機(jī)信號(hào)分析37隨機(jī)變量概率分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：極限特性性質(zhì)2：右連續(xù)性

隨機(jī)信號(hào)分析38隨機(jī)變量概率分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3：區(qū)間概率特性性質(zhì)4：?jiǎn)握{(diào)非減性隨機(jī)信號(hào)分析391.1.2隨機(jī)變量定義：概率密度函數(shù)（Probabilitydensityfunction） 隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)（或）定義為：注：若FX(x)連續(xù)，則fX(x)存在；若FX(x)有間斷點(diǎn)，則引入δ(x)，故fX(x)總是存在。隨機(jī)信號(hào)分析40舉例3續(xù)例：顯然所以隨機(jī)信號(hào)分析41舉例3續(xù)概率密度函數(shù)x1x2x3xkpk…f(x)xp1p2p3隨機(jī)信號(hào)分析42舉例3續(xù)對(duì)于分布律為的離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)形如：密度函數(shù)為式中，取值位置對(duì)應(yīng)自變量的偏移量，取值概率對(duì)應(yīng)前面的幅值。隨機(jī)信號(hào)分析43隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：區(qū)間概率特性性質(zhì)2：非負(fù)性

隨機(jī)信號(hào)分析44隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)3：歸一性性質(zhì)4：與FX(x)的關(guān)系隨機(jī)信號(hào)分析451.1概率公理與隨機(jī)變量隨機(jī)變量不同于普通變量表現(xiàn)在兩點(diǎn)上：變量可以有多個(gè)取值，并且永遠(yuǎn)不能預(yù)知它到底會(huì)取哪個(gè)值；變量取值是有規(guī)律的，這種規(guī)律用概率特性來明確表述；因此，凡是討論隨機(jī)變量就必然要聯(lián)系到它的取值范圍與概率特性。隨機(jī)信號(hào)分析461.1概率公理與隨機(jī)變量在描述隨機(jī)變量的概率特性時(shí)：分布函數(shù)指明直到x處的累積概率；密度函數(shù)適用于連續(xù)取值部分。離散變量X，常采用分布律；隨機(jī)信號(hào)分析47第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機(jī)變量1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量1.3隨機(jī)變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學(xué)期望1.5特征函數(shù)1.6典型分布1.7隨機(jī)變量的仿真與實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)分析481.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量定義在某些情況下，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的基本可能實(shí)驗(yàn)結(jié)果ξ經(jīng)過兩個(gè)或兩個(gè)以上的實(shí)函數(shù)映射，得到兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量，比如，這些隨機(jī)變量組成的向量稱為n維隨機(jī)變量（或向量）：隨機(jī)信號(hào)分析49n維隨機(jī)變量（或向量）1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量Ωξ1·ξ2·ξi·X1(·)X2(·)…Xi(·)X1(ξ)多維映射X2(ξ)Xi(ξ)…

…隨機(jī)信號(hào)分析501.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù) 二維隨機(jī)變量Z的概率分布函數(shù)是其分量隨機(jī)變量X與Y

的聯(lián)合概率分布函數(shù)。其定義為： 這里，X或Y的概率分布函數(shù)或稱為的邊緣概率分布函數(shù)。

隨機(jī)信號(hào)分析51二維隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)yx{X≤x,Y≤y}隨機(jī)信號(hào)分析52聯(lián)合概率分布函數(shù)FXY(x,y)的性質(zhì)性質(zhì)1：區(qū)間概率特性性質(zhì)2：極限取值特性

隨機(jī)信號(hào)分析53聯(lián)合概率分布函數(shù)FXY(x,y)的性質(zhì)性質(zhì)3：?jiǎn)握{(diào)遞增性性質(zhì)4：邊緣概率分布隨機(jī)信號(hào)分析54二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)fXY(x,y)定義：二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 二維隨機(jī)變量Z的概率密度函數(shù)，就是其分量隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度函數(shù)或簡(jiǎn)稱二維概率密度函數(shù)。 這里，X或Y的概率密度函數(shù)或稱為的邊緣概率密度函數(shù)(marginalprobabilitydensityfunction)。隨機(jī)信號(hào)分析55二維隨機(jī)變量概率密度函數(shù)fXY(x,y)性質(zhì)性質(zhì)1：區(qū)間概率特性性質(zhì)2：非負(fù)性隨機(jī)信號(hào)分析56二維隨機(jī)變量概率密度函數(shù)fXY(x,y)性質(zhì)性質(zhì)3：歸一性性質(zhì)4：邊緣概率特性隨機(jī)信號(hào)分析57二維隨機(jī)變量概率密度函數(shù)fXY(x,y)性質(zhì)D.r.v聯(lián)合分布律來描述，密度函數(shù)由多維沖激函數(shù)組成，形如聯(lián)合分布函數(shù)由多維階躍函數(shù)組成，形如隨機(jī)信號(hào)分析58多維隨機(jī)變量類似的，對(duì)于多維隨機(jī)變量n維聯(lián)合概率分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為：隨機(jī)信號(hào)分析591.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量給出觀察系統(tǒng)工作情況的樣本空間Ω和隨機(jī)向量(X1,X2)的聯(lián)合樣本空間SJ，并指出Ω和SJ中事件的對(duì)應(yīng)關(guān)系；計(jì)算(X1,X2)的概率密度函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析601.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量Ω隨機(jī)信號(hào)分析611.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)分析621.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)分析631.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量x2F(x1,x2)x1(1,0)(0,0)(0,1)(1,1)0.00020.010.021隨機(jī)信號(hào)分析641.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)分析651.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)分析66例1.8二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的二維概率密度函數(shù)為:

求f(x)

與f(y)。隨機(jī)信號(hào)分析67例1.8續(xù)解：指數(shù)部分可寫成隨機(jī)信號(hào)分析681.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量它們是一維正態(tài)分布隨機(jī)信號(hào)分析691.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量條件事件形如：隨機(jī)信號(hào)分析701.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量條件隨機(jī)變量的概率分布與密度函數(shù)：對(duì)于點(diǎn)事件隨機(jī)信號(hào)分析711.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量全概率公式：

貝葉斯公式：鏈?zhǔn)焦?隨機(jī)信號(hào)分析72隨機(jī)變量的獨(dú)立性Independence

及其判決條件定義：兩個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的充要條件

隨機(jī)信號(hào)分析73隨機(jī)變量的獨(dú)立性及其判決條件k個(gè)隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的判別條件隨機(jī)信號(hào)分析741.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量例1.8二維正態(tài)分布Normal/Gaussian求（1）f(y|x);

（2）X與Y之間的獨(dú)立性。隨機(jī)信號(hào)分析751.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量解：（1）

條件分布是一維正態(tài)分布（2）X與Y獨(dú)立的充要條件是：隨機(jī)信號(hào)分析761.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量例1.9二維均勻分布求：隨機(jī)信號(hào)分析771.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量解：根據(jù)例1.6的結(jié)果，由定義有，任意給定，條件事件服從均勻分布，比如即條件事件服從均勻分布.隨機(jī)信號(hào)分析781.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量顯然，X與Y不獨(dú)立隨機(jī)信號(hào)分析79第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機(jī)變量1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量1.3隨機(jī)變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學(xué)期望1.5特征函數(shù)1.6典型分布1.7隨機(jī)變量的仿真與實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)分析801.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)信號(hào)分析81一元函數(shù)變換若Y=g(X)，且存在反函數(shù)X=h(Y)，且h’(Y)存在，則：其中，a=min{g(-∞,+∞)},b=max{g(-∞,+∞)}隨機(jī)信號(hào)分析82一元函數(shù)變換證明：假如Y=g(X)單調(diào)遞增xyyh(y)隨機(jī)信號(hào)分析83一元函數(shù)變換假如Y=g(X)單調(diào)遞減綜上，xyyh(y)隨機(jī)信號(hào)分析84舉例例：r.v.X與Y滿足線性關(guān)系式：Y=aX+b，其中X~N(mX,σX2)是高斯隨機(jī)變量，a,b為常數(shù)。試求r.v.Y的概率密度函數(shù)。解答： 由題可知隨機(jī)信號(hào)分析85舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析86結(jié)論：若隨機(jī)變量Y=aX+b，（a≠0），則X和Y的概率密度函數(shù)滿足以下關(guān)系：隨機(jī)信號(hào)分析87舉例例：（非單調(diào)函數(shù)）r.v.X的p.d.f為fX(x)，求隨機(jī)變量Y=X2的p.d.f

fY(x)。解答：xy隨機(jī)信號(hào)分析88舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析891.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換?隨機(jī)信號(hào)分析901.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)信號(hào)分析91二元變換例1.12已知r.v.X,Y的分布函數(shù)Fx(x)，F(xiàn)Y(y)和Fx,y(x,y)，求U=min(X,Y)與V=max(X,Y)的分布函數(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析92二元變換隨機(jī)信號(hào)分析93二維變換證明：略隨機(jī)信號(hào)分析94隨機(jī)信號(hào)分析95舉例例：已知r.v.(X1,X2)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為fX(x1，x2)，求Y＝X1＋X2的p.d.f。解答：

思路：Step1：如何建立已知fX(x1，x2)和fY(y)之間的關(guān)系？Step2：一維變換？二維變換？Step3：構(gòu)造二維變換，Y1=Y,Y2=?√變換！隨機(jī)信號(hào)分析96舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析97舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析98舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析991.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換（1）標(biāo)稱20kΩ的電阻的，該概率是0.5。（2）兩個(gè)標(biāo)稱10kΩ的電阻串聯(lián)，可認(rèn)為，該概率是0.75。隨機(jī)信號(hào)分析1001.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)信號(hào)分析1011.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)信號(hào)分析1021.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換隨機(jī)信號(hào)分析1031.3隨機(jī)變量的函數(shù)變換r≥0(Rayleigh)隨機(jī)信號(hào)分析104第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機(jī)變量1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量1.3隨機(jī)變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學(xué)期望1.5特征函數(shù)1.6典型分布1.7隨機(jī)變量的仿真與實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)分析1051.4.1數(shù)學(xué)期望（或統(tǒng)計(jì)平均）定義1.1：隨機(jī)變量X的統(tǒng)計(jì)平均E[X]，數(shù)學(xué)期望（Expectation），或統(tǒng)計(jì)（集）平均（Ensembleaverage），或均值（Mean），也簡(jiǎn)記作mXC.R.VD.R.V

一般地隨機(jī)信號(hào)分析1061.4.1數(shù)學(xué)期望（或統(tǒng)計(jì)平均）隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)平均E[X]隨機(jī)信號(hào)分析1071.4.1數(shù)學(xué)期望（或統(tǒng)計(jì)平均）隨機(jī)信號(hào)分析1081.4.2矩與聯(lián)合矩（JointMoment）原點(diǎn)矩 隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩通常記為，其定義為C.r.vD.r.v

隨機(jī)信號(hào)分析1091.4.2矩與聯(lián)合矩中心矩 隨機(jī)變量X的k階中心矩通常記為，其定義為 當(dāng)k＝2時(shí)，

μ2稱為方差(Variance)，σ稱為標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)隨機(jī)信號(hào)分析1101.4.2矩與聯(lián)合矩聯(lián)合（混合）原點(diǎn)矩 隨機(jī)變量的（k+r）階聯(lián)合原點(diǎn)矩通常記為，定義為： 當(dāng)k=r=1時(shí)， 稱為的相關(guān)矩(correlation)。隨機(jī)信號(hào)分析1111.4.2矩與聯(lián)合矩聯(lián)合中心矩(momentofinertia)

隨機(jī)變量的（k+r）階聯(lián)合中心矩通常記為，定義為 當(dāng)k=r=1時(shí)， 稱為的互協(xié)方差(Covariance)。隨機(jī)信號(hào)分析1121.4.2矩與聯(lián)合矩相關(guān)系數(shù)(CorrelationCoefficient)|ρ|＝1，線性相關(guān)ρ=0，不相關(guān)0<ρ≤1，正相關(guān)－1≤ρ<0

，負(fù)相關(guān)隨機(jī)信號(hào)分析113舉例3.9例3.9

隨機(jī)變量和線性相關(guān)，并有關(guān)系 。試證明，和的相關(guān)系數(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析114舉例3.9續(xù)證明：隨機(jī)信號(hào)分析115舉例例：若X與Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，討論X與Y的相關(guān)性。解答：隨機(jī)信號(hào)分析116舉例續(xù)所以X與Y不相關(guān)(uncorrelated)。隨機(jī)信號(hào)分析117舉例例：若X與Y不相關(guān)，討論X與Y的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性。解答：例如： 顯然，X與Y不獨(dú)立。隨機(jī)信號(hào)分析118舉例續(xù)隨機(jī)信號(hào)分析119正交性(orthogonality)隨機(jī)變量和滿足下述條件時(shí)，稱兩個(gè)隨機(jī)變量和正交，即隨機(jī)信號(hào)分析120舉例討論正交性與不相關(guān)之間的關(guān)系。解：隨機(jī)信號(hào)分析121獨(dú)立性、正交和不相關(guān)之間的關(guān)系一般地，統(tǒng)計(jì)獨(dú)立互不相關(guān)相互正交任一隨機(jī)變量均值為0(a)正態(tài)分布除外隨機(jī)信號(hào)分析122獨(dú)立性、正交和不相關(guān)之間的關(guān)系高斯（正態(tài)）隨機(jī)變量互不相關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立隨機(jī)信號(hào)分析123獨(dú)立性、正交和不相關(guān)之間的關(guān)系高斯（正態(tài)）隨機(jī)變量，且有一個(gè)均值為零互不相關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立相互正交隨機(jī)信號(hào)分析1241.4.4條件數(shù)學(xué)期望(Conditionalexpectation)隨機(jī)信號(hào)分析1251.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1261.4.4條件數(shù)學(xué)期望在一定條件下的數(shù)學(xué)期望，稱為條件數(shù)學(xué)期望（或條件均值）。以二維為例，定義如下：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，是y的函數(shù)，即隨機(jī)信號(hào)分析1271.4.4條件數(shù)學(xué)期望如果該函數(shù)的自變量為Y，則是一個(gè)新的隨機(jī)變量。對(duì)它求平均有:

稱為全期望公式。隨機(jī)信號(hào)分析1281.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1291.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1301.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1311.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1321.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1331.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1341.4.4條件數(shù)學(xué)期望隨機(jī)信號(hào)分析1351.4.5重要不等式隨機(jī)信號(hào)分析1361.4.5重要不等式隨機(jī)信號(hào)分析137第一章概率論基礎(chǔ)1.1概率公理與隨機(jī)變量1.2多維隨機(jī)變量與條件隨機(jī)變量1.3隨機(jī)變量的函數(shù)1.4數(shù)字特征與條件數(shù)學(xué)期望1.5特征函數(shù)1.6典型分布1.7隨機(jī)變量的仿真與實(shí)驗(yàn)隨機(jī)信號(hào)分析1381.5特征函數(shù)(CharacteristicFunction)

特征函數(shù)、矩發(fā)生函數(shù)和概率發(fā)生函數(shù)在分析隨機(jī)變量和向量的各種問題中有著非常重要的意義，特別是在分析獨(dú)立隨機(jī)變量、向量和的概率與矩特性時(shí)，應(yīng)用它們是十分方便的。在分析特征函數(shù)、矩發(fā)生函數(shù)和概率發(fā)生函數(shù)時(shí)，我們特別強(qiáng)調(diào)了變換分析技術(shù)。由此建立了傅立葉變換、Z變換等分析隨機(jī)信號(hào)與系統(tǒng)的概率、矩特性的關(guān)系式，從而形成隨機(jī)信號(hào)概率與矩特性的變換分析理論與技術(shù)。隨機(jī)信號(hào)分析139一、特征函數(shù)及概率密度函數(shù)的傅立葉變換定義1.2

隨機(jī)變量，其特征函數(shù)定義為

式中，v為確定的實(shí)變量。1.5特征函數(shù)隨機(jī)信號(hào)分析1401.5特征函數(shù)

若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則其特征函數(shù)為: c.r.v. d.r.v.隨機(jī)信號(hào)分析141

定理1.4

隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)與其特征函數(shù)之間是一對(duì)傅立葉變換，

或 式中，表示傅立葉變換對(duì)。

隨機(jī)信號(hào)分析142隨機(jī)變量概率密度函數(shù)與特征函數(shù)關(guān)系傅立葉變換將ω?fù)Q為-v將x

換為-x

傅立葉反變換隨機(jī)信號(hào)分析143舉例例:

隨機(jī)變量的特征函數(shù)為,求其概率密度函數(shù)。。解法1：隨機(jī)信號(hào)分析144舉例-續(xù)解法2：qp01隨機(jī)信號(hào)分析145例1.20求二項(xiàng)分布Binomial的特征函數(shù)。解：首先令

，其中是獨(dú)立同分布的，服從0－1分布，且所以：其中q=1-p。故隨機(jī)信號(hào)分析146例1.21例:

隨機(jī)變量X為參數(shù)是λ的指數(shù)分布Exponential，求其特征函數(shù)。解：

隨機(jī)信號(hào)分析147舉例例:

若r.v.X1,X2