知識(shí)講解-空間向量在立體幾何中的應(yīng)用提高

...wd......wd......wd...空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考綱要求】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.4.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.5.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理.6.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、空間向量1.空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩趴臻g的一個(gè)平移就是一個(gè)向量。⑵向量一般用有向線段表示，同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量。相等向量只考慮其定義要素：方向，大小。⑶空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來(lái)表示。2.共線向量〔1〕定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．當(dāng)我們說(shuō)向量、共線〔或//〕時(shí)，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．〔2〕共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、〔≠〕，//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ。3.向量的數(shù)量積〔1〕定義：向量，那么叫做的數(shù)量積，記作，即?！?〕空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：①；②；③．〔3〕空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：①；②〔交換律〕；③〔分配律〕。4.空間向量基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使。假設(shè)三向量不共面，我們把叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。5.空間直角坐標(biāo)系：〔2〕在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檎较蚪ㄔO(shè)三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標(biāo)軸．我們稱(chēng)建設(shè)了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫原點(diǎn)，向量都叫坐標(biāo)向量．通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面；6.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，對(duì)空間任一點(diǎn)，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)．7.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：〔1〕假設(shè)，，那么．一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)?！?〕假設(shè)，，那么，，，，，；，．夾角公式：．〔3〕兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，，那么或。要點(diǎn)二、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)證明．對(duì)于垂直問(wèn)題，一般是利用進(jìn)展證明；對(duì)于平行問(wèn)題，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)展證明．2.利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時(shí)也很方便．其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角或其補(bǔ)角，而求兩個(gè)向量的夾角那么可以利用向量的夾角公式。要點(diǎn)詮釋?zhuān)浩矫娴姆ㄏ蛄康那蠓ǎ涸O(shè)n=(x,y,z)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解，即得到平面的一個(gè)法向量〔如圖〕。線線角的求法：設(shè)直線AB、CD對(duì)應(yīng)的方向向量分別為a、b，那么直線AB與CD所成的角為?！沧⒁猓壕€線角的范圍[00,900]〕線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線的方向向量，那么直線與平面所成的角為〔如圖〕。二面角的求法：設(shè)n1，n2分別是二面角的兩個(gè)面，的法向量，那么就是二面角的平面角或其補(bǔ)角的大小〔如圖〕3.用向量法求距離的公式設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，那么點(diǎn)B到平面的距離為〔如圖〕。要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩劈c(diǎn)A到平面的距離：，其中，是平面的法向量。⑵直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。⑶兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量?！镜湫屠}】類(lèi)型一、空間向量的運(yùn)算【例1】=〔2，2，1〕，=〔4，5，3〕，求平面ABC的單位法向量?！敬鸢浮繂挝环ㄏ蛄?±〔，－，〕.【解析】，∴單位法向量=±〔，－，〕.【總結(jié)升華】一般情況下求法向量用待定系數(shù)法。由于法向量沒(méi)規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，可把的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo)。平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以此題的單位法向量應(yīng)有兩解。舉一反三：【變式】假設(shè)＝(1,5,－1)，＝(－2,3,5)〔1〕假設(shè)，求實(shí)數(shù)k的值；〔2〕假設(shè)，求實(shí)數(shù)k的值；〔3〕假設(shè)取得最小值，求實(shí)數(shù)k的值。【答案】(1)，即由，解得；(2)，，即，解得；(3)當(dāng)時(shí)，取得最小值。類(lèi)型二：向量法證明平行或垂直【例2】如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，,,,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)〔Ⅰ〕證明：直線；〔Ⅱ〕求異面直線AB與MD所成角的大?。弧并蟆城簏c(diǎn)B到平面OCD的距離?！窘馕觥孔饔邳c(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建設(shè)坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,那么即取,解得(2)設(shè)與所成的角為,,與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,那么為在向量上的投影的絕對(duì)值,由,得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為【總結(jié)升華】1.用向量證明線面平行的方法有：(1)證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量線性表示．2.用向量法證垂直問(wèn)題：(1)證明線線垂直，只需證明兩直線的方向向量數(shù)量積為0；(2)證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明面面垂直，只需證明兩平面的法向量的數(shù)量積為0，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．舉一反三：【變式】如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥【解析】如圖建設(shè)空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，令A(yù)B＝AA1＝4，那么A(0，0，0)，E(0，4，2)，F(xiàn)(2，2，0)，B(4，0，0)，B1(4，0，4)．(1)取AB中點(diǎn)為N，那么N(2，0，0)，C(0，4，0)，D(2，0，2)，∴eq\o(DE,\s\up12(→))＝(－2，4，0)，eq\o(NC,\s\up12(→))＝(－2，4，0)，∴eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(NC,\s\up12(→)).∴DE∥NC，又NC在平面ABC內(nèi)，DE不在平面ABC內(nèi)，故DE∥平面ABC.(2)eq\o(B1F,\s\up12(→))＝(－2，2，－4)，eq\o(EF,\s\up12(→))＝(2，－2，－2)，eq\o(AF,\s\up12(→))＝(2，2，0)，eq\o(B1F,\s\up12(→))·eq\o(EF,\s\up12(→))＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，那么eq\o(B1F,\s\up12(→))⊥eq\o(EF,\s\up12(→))，∴B1F⊥EF，∵eq\o(B1F,\s\up12(→))·eq\o(AF,\s\up12(→))＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴eq\o(B1F,\s\up12(→))⊥eq\o(AF,\s\up12(→))，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥類(lèi)型三：異面直線所成的角【例3】正方體ABCD-EFGH的棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,求直線PQ與AD所成的角【答案】90°【解析】建設(shè)空間直角坐標(biāo)系如圖，那么，,∴,，∴∴QP與AD所成的角為90°?！究偨Y(jié)升華】建設(shè)坐標(biāo)系后，求出可由求解。舉一反三：【變式】如圖，在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，側(cè)棱長(zhǎng)為〔1〕與能否垂直請(qǐng)證明你的判斷；〔2〕當(dāng)在上變化時(shí)，求異面直線與所成角的取值范圍?！敬鸢浮俊吡庑沃校?，設(shè)，分別以所在直線為軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，那么〔1〕∵，∴，∴與不能垂直?！?〕∵，∴，∵∴，，∵，∴設(shè)，又，∴∵，∴∴直線與所成角的取值范圍是。類(lèi)型四：直線與平面所成的角【例4】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。試確定，使直線與平面所成角的正切值為；【解析】建設(shè)如以下列圖的空間直角坐標(biāo)系，那么A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).所以又由的一個(gè)法向量.設(shè)與所成的角為，那么依題意有，解得.故當(dāng)時(shí)，直線。舉一反三：【變式】如圖，三棱錐P-ABC中，∠ABC=，PA=1，AB=，AC=2，PA⊥面ABC．(1)求直線AB和直線PC所成角的余弦值；(2)求PC和面ABC所成角的正弦值；【答案】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB、AP所在直線為y軸、z軸,以過(guò)A點(diǎn)且平行于BC直線為x軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系.在直角△ABC中,∵AB=，AC=2，∴BC=1A(0,0,0)，B(0,,0)，C(1,,0)，P(0,0,1).(0,,0)，(1,,),cos<,>===∴直線AB與直線PC所成的角余弦為.(2)取平面ABC的一個(gè)法向量=(0，0，1)，設(shè)PC和面ABC所成的角為，那么sin=|cos<，>|==.∴PC和面ABC所成的角的正弦值為．類(lèi)型五：二面角【例5】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2eq\r(2)，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝eq\r(5).(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角A－A1C1－B1(3)設(shè)N為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN⊥平面A1B1C1，求線段【解析】如以下列圖，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，依題意得A(2eq\r(2)，0，0)，B(0，0，0)，C(eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))，A1(2eq\r(2)，2eq\r(2)，0)，B1(0，2eq\r(2)，0)，C1(eq\r(2)，eq\r(2)，eq\r(5))．(1)易得eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))＝(－2eq\r(2)，0，0)，于是cos〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up12(→))·\o(A1B1,\s\up12(→)),|\o(AC,\s\up12(→))||\o(A1B1,\s\up12(→))|)＝eq\f(4,3×2\r(2))＝eq\f(\r(2),3)，所以異面直線AC與A1B1所成角的余弦值為eq\f(\r(2),3).(2)易知eq\o(AA1,\s\up12(→))＝(0，2eq\r(2)，0)，eq\o(A1C1,\s\up12(→))＝(－eq\r(2)，－eq\r(2)，eq\r(5))．設(shè)平面AA1C1的一個(gè)法向量m＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C1,\s\up12(→))＝0，,m·\o(AA1,\s\up12(→))＝0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x－\r(2)y＋\r(5)z＝0，,2\r(2)y＝0.))不妨令x＝eq\r(5)，可得m＝(eq\r(5)，0，eq\r(2))．設(shè)平面A1B1C1的一個(gè)法向量n＝(x，y，z)，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(A1C1,\s\up12(→))＝0，,n·\o(A1B1,\s\up12(→))＝0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x－\r(2)y＋\r(5)z＝0，,－2\r(2)x＝0.))不妨令y＝eq\r(5)，可得n＝(0，eq\r(5)，eq\r(2))．那么cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(2,\r(7)·\r(7))＝eq\f(2,7)，從而sin〈m，n〉＝eq\f(3\r(5),7)，所以二面角A－A1C1－B1的正弦值為eq\f(3\r(5),7).(3)由N為棱B1C1的中點(diǎn)，得N(eq\f(\r(2),2)，eq\f(3\r(2),2)，eq\f(\r(5),2))．設(shè)M(a，b，0)，那么eq\o(MN,\s\up12(→))＝(eq\f(\r(2),2)－a，eq\f(3\r(2),2)－b，eq\f(\r(5),2))．因?yàn)镸N⊥平面A1B1C1，由(2)知平面A1B1C1的一個(gè)法向量為n＝(0，eq\r(5)，eq\r(2))，所以eq\o(MN,\s\up12(→))∥n，所以eq\f(\r(2),2)－a＝0，eq\f(\f(3\r(2),2)－b,\r(5))＝eq\f(\f(\r(5),2),\r(2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(\r(2),2)，,b＝\f(\r(2),4))).故M(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),4)，0)．因此eq\o(BM,\s\up12(→))＝(eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),4)，0)，所以線段BM的長(zhǎng)|eq\o(BM,\s\up12(→))|＝eq\f(\r(10),4).【總結(jié)升華】求兩異面直線所成的角，用向量法就是求兩直線上的兩方向向量的夾角，但需注意二者范圍的區(qū)別．同樣地，利用向量法求二面角的大小，就是求兩個(gè)半平面的法向量的夾角(或夾角的補(bǔ)角)，在具體求解中應(yīng)適中選取或求解直線的方向向量及平面的法向量．在空間直角坐標(biāo)系中，常采用待定系數(shù)法求平面的法向量．舉一反三：【變式】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，，EF=2?！并瘛城笞C：AE∥平面DCF；〔Ⅱ〕當(dāng)AB的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角A—EF—C的大小為60°【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系．DDABEFCyzx設(shè)，那么，，，，．〔Ⅰ〕證明：，，，所以，，從而，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．故平面．〔Ⅱ〕解：因?yàn)?，，所以，，從而解得．所以，．設(shè)與平面垂直，那么，，解得．又因?yàn)槠矫妫?，所以，得到．所以?dāng)為時(shí)，二面角的大小為．類(lèi)型六：空間距離【例5】如圖，△BCD與△MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3).求點(diǎn)A到平面MBC的距離．【解析】取CD中點(diǎn)O，連接OB，OM，那么OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.取O為原點(diǎn)，直線OC、BO、OM為x軸、y軸、z軸，建設(shè)空間直角坐標(biāo)系如圖．OB＝OM＝eq\r(3)，那么各點(diǎn)坐標(biāo)分別為C(1，0，0)，M(0，0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))．(1)設(shè)是平面MBC的法向量，那么eq\o(BC,\s\up12(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up12(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3))．由⊥eq\o(BC,\s\up12(→))得·eq\o(BC,\s\up12(→))＝0即x＋eq\r(3)y＝0；由⊥eq\o(BM,\s\up12(→))得·eq\o(BM,\s\up12(→))＝0即eq\r(3)y＋eq\r(3)z＝0.?。?eq\r(3)，－1，1)，eq\o(BA,\s\up12(→))＝(0，0，2eq\r(3))，那么d＝＝eq\f(2\r(3),\r(5))＝eq\f(2\r(15),5).故點(diǎn)A到平面MBC的距離為eq\f(2\r(15),5).法二：(1)取CD中點(diǎn)O，連OB，OM，那么OB＝OM＝eq\r(3)，OB⊥CD，MO⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，那么MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，所以MO∥平面ABC，故M，O到平面ABC的距離相等．作OH⊥BC于H，連MH，那么MH⊥BC.求得OH＝OC·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，MH＝eq\r(〔\r(3)〕2＋〔\f(\r(3),2)〕2)＝eq\f(\r(15),2).設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為d，由VA－MBC＝VM－ABC得eq\f(1,3)·S△MBC·d＝eq\f(1,3)·S△ABC·OH.即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(15),2)d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)，解得d＝eq\f(2\r(15),5).【總結(jié)升華】利用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟如下：(1)求出該平面的一個(gè)法向量；(2)找出以該點(diǎn)及平面內(nèi)的某點(diǎn)為端點(diǎn)的線段對(duì)應(yīng)的向量；(3)利用公式d＝求距離．舉一反三：【變式】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，，,求點(diǎn)E到平面ACD的距離?！敬鸢浮恳設(shè)為原點(diǎn)，如圖建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，那么設(shè)平面ACD的法向量為那么，令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又點(diǎn)E到平面ACD的距離類(lèi)型七、利用空間向量解決立體幾何中的探索問(wèn)題【例6】在四棱錐中，//，，，平面，.〔Ⅰ〕設(shè)平面平面，求證：//；〔Ⅱ〕求證：平面；〔Ⅲ〕設(shè)點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【證明】〔Ⅰ〕因?yàn)?/，平面，平面，所以//平面.因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所?/.〔Ⅱ〕：因?yàn)槠矫?，，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸建設(shè)空間直角坐標(biāo)系，那么，，，.所以