第9講曲線(xiàn)與方程

第9

曲線(xiàn)與程．考查方程的曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系．．利用直接法或定義法求軌跡方程．．結(jié)合平面向量知識(shí)能確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，并會(huì)研究軌跡的有關(guān)性質(zhì)．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】正確理解曲線(xiàn)與方程的概念，會(huì)用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題，用方程的觀(guān)點(diǎn)現(xiàn)幾何問(wèn)題的代數(shù)化解決，并能根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€(xiàn)的軌跡方程，常用方法有：接法、定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法等。．曲線(xiàn)與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程fxy＝0的數(shù)解建立了如下關(guān)系：曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解．以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)么個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)．．直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)(x，y)示曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)．寫(xiě)出適合條件p的M集合P{Mp)}用坐標(biāo)表示條件p(M，列出方程f(，)＝0.化方程fx，)＝0為簡(jiǎn)形式．說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上．．兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)由曲線(xiàn)方程的定義可知兩條曲交點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)該是兩個(gè)曲線(xiàn)方程的公共解兩曲線(xiàn)方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解；反過(guò)來(lái)，方程組有幾組解，兩條曲線(xiàn)就有幾個(gè)交點(diǎn)，方程組無(wú)解，兩條線(xiàn)就沒(méi)有交點(diǎn)．兩條曲線(xiàn)有交點(diǎn)的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解．可見(jiàn)，求曲線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題就是求由它們的方程所組成的方程組的實(shí)數(shù)解問(wèn)題．一個(gè)主題通過(guò)坐標(biāo)法，由已知條件求軌跡方程，通過(guò)對(duì)方程的研究，明確曲線(xiàn)的位置、形狀以及性質(zhì)是析幾何需要完成的兩大任務(wù)，是解析幾何的核心問(wèn)題，也是高考的熱點(diǎn)之一．四個(gè)步驟對(duì)于中點(diǎn)弦問(wèn)題，常有的解題方法是點(diǎn)差法，其解題步驟為：22設(shè)點(diǎn)：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)；代入：即代入圓錐曲線(xiàn)方程；作差：即兩式相減，再用平方差公式把上式展開(kāi)；整理：即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式，然后求解．五種方法求軌跡方程的常用方法直接法：直接利用條件建立x，之的關(guān)系F，)＝；待定系數(shù)法：已知所求曲線(xiàn)的類(lèi)型，求曲線(xiàn)方根據(jù)條件設(shè)出所求曲線(xiàn)的方程，再由條件確定其待定系數(shù)；定義法據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線(xiàn)曲的定義直接寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；代入轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)P)依賴(lài)于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x，y)變化而變化，并且Q(x，又在某已知曲0000線(xiàn)上，則可先用x，的數(shù)式表示，，將x，y代已知曲線(xiàn)得要求的軌跡方程；000參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Px，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通程．．(x，＝0是點(diǎn)(x，)在曲線(xiàn)f(x，y)上的．00．充分不必要條件．必要不充分條件．充要條件．既不充分也不必要條件解析利用曲線(xiàn)與方程定義的兩件來(lái)確定其關(guān)系，∵(x，)＝可知點(diǎn)P(x，y)在曲線(xiàn)fx，y)＝0上又Px，在曲線(xiàn)fx，y)＝0上，有(x，0000y)＝00∴(x，)＝是Px，)在曲線(xiàn)fx，)＝0上充要條件．000答案C．泉州質(zhì)檢方程＋xy＝的線(xiàn)是()．．一個(gè)點(diǎn)．一條直線(xiàn)．兩條直線(xiàn)．一個(gè)點(diǎn)和一條直線(xiàn)解析方程變?yōu)閤(x＋y－＝0∴x＝0或x＋y－＝故方程表示直線(xiàn)x＝直線(xiàn)＋－1＝0.答案C22222222222222222222合肥月考)知點(diǎn)P是直線(xiàn)2－＋＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)定點(diǎn)M(－1,2)Q是段PM延線(xiàn)上的一點(diǎn)，且PM＝MQ，則Q的軌跡方程(．．2＋＋1＝0．x－y－5＝0．x－y－1＝0．2－＋5＝0解析由題意知，M為中，設(shè)(，)，則為(－2，4－)，代入x－y＋3＝得x－＋5答案D．福模擬)若點(diǎn)P到直線(xiàn)x＝－1的離比它到點(diǎn)的距離小1則點(diǎn)P的跡()A圓C．曲線(xiàn)

B橢圓D．物解析依題意，點(diǎn)P到直線(xiàn)＝－2的離等于它到(2,0)的距離故點(diǎn)P的跡是拋物線(xiàn)．答案D．北京)曲線(xiàn)C是面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F－1,0)和的離的積等于常數(shù)a(＞的點(diǎn)的12軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線(xiàn)過(guò)標(biāo)點(diǎn)；曲線(xiàn)關(guān)坐原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；③若點(diǎn)P在曲線(xiàn)上則eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)的積不大于a122

2其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)M()到兩定點(diǎn)的離的積等于線(xiàn)C的程為x＋＋－1＋1＝a

2

，∵a1，故原點(diǎn)坐標(biāo)不滿(mǎn)足曲線(xiàn)C的程，故①錯(cuò)誤．以－x－分別代替曲線(xiàn)C的方程中的、y程不變線(xiàn)C關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)正Seq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)＝PF∠≤121212121＝，面不大于a，以③正確．2答案②③考一

直法軌方【例】已知O的程x＋－2＝0⊙O的程是＋－x＋10＝0如圖所示．由動(dòng)點(diǎn)向⊙O和所引的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P的跡方程．22222222222→→→→222222222222→→→→22[審題視由已知條件找出等量關(guān)系，直接寫(xiě)點(diǎn)標(biāo)滿(mǎn)足的等式化簡(jiǎn)即得軌跡方程．解設(shè)(xy)，由圓O的程為－4)＋y＝，已|＝|，|－|＝O－O，則－＝O|－6.∴x

＋y

－2＝(x－＋y－，∴x＝，動(dòng)點(diǎn)P的跡方程是＝.【反思與悟】直接求曲線(xiàn)方程的一般步驟：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐xy)列出幾何等量關(guān)系式；用坐標(biāo)條件變?yōu)榉匠蘤x，y＝；變方程為最簡(jiǎn)方程；檢驗(yàn)，就是要檢驗(yàn)點(diǎn)軌跡的純粹性與完備性．【變式】如所示，過(guò)點(diǎn)P作相垂直的直線(xiàn)ll.l交軸l交y軸，求線(xiàn)1段AB中M的跡方程解設(shè)M的標(biāo)為x，y，∵M(jìn)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)坐標(biāo)為2x,，B點(diǎn)坐標(biāo)為0,2．∴＝－2，－，PB＝－y－4)．由已知＝0∴－2(2x－2)4(2y－4)＝0，即x＋2－5＝∴線(xiàn)段AB點(diǎn)的跡方程為x＋y－＝考二

定法軌方【例2一動(dòng)圓與圓x＋＋x＋5＝0外，同時(shí)與圓＋－x－910內(nèi)，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線(xiàn)．[審題視由曲線(xiàn)定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而出軌跡方程．解如所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為M(，)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓分別為、O，圓的方程分122222222222＝22222222222＝8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x，y，其軌跡方程為x2別配方得：＋3)

＋y

＝，(－3)＋y＝，當(dāng)動(dòng)圓與圓O相切時(shí)，1有OM＝＋2.①1當(dāng)動(dòng)圓與圓O相切時(shí)，OM＝10②22將①②兩式相加，得＋OM＝OO，1212∴動(dòng)圓圓心Mx，y到O(－3,0)的離和是常數(shù)121所以點(diǎn)M的跡是焦點(diǎn)為－、O(3,0)，1長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12的圓．∴2＝6,2＝，∴＝，＝6∴＝－＝，x∴圓心軌跡方程為＋＝，軌跡為橢圓．【反思與悟】在利用圓錐曲線(xiàn)義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線(xiàn)的定義，則根據(jù)曲線(xiàn)的方程，寫(xiě)出所求的軌跡方程，若所求軌跡是某種圓錐曲線(xiàn)上的特定點(diǎn)的軌跡，則利用圓錐線(xiàn)的定義列出等式，化簡(jiǎn)求得方程，同時(shí)注意變量范圍．【變式】已圓：x＋3)＋y＝和：(x－＋y＝，動(dòng)圓同與圓C及圓C相11外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．解如所示，設(shè)動(dòng)圓M圓及分外切于點(diǎn)A和B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得1－＝MA，11－＝MB|.22因?yàn)镸A＝MB，所以－MC＝－AC＝－1221這表明動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)C、C的距離的差是常數(shù)2，且小于CC＝6.212根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，動(dòng)點(diǎn)M的跡為雙曲線(xiàn)的左(點(diǎn)M到C的距離大，到C的距離小，這里2＝1＝3，則

2

y－＝x．考三

參法相點(diǎn)求跡程2222222222y2212222222222y221【例3】已知拋物線(xiàn)y＝4px>0)，O為點(diǎn)，AB為物線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足⊥，如果OM⊥ABM點(diǎn)求點(diǎn)M軌跡方程．[審題視點(diǎn)]設(shè)點(diǎn)的坐x，y后，直接找，y的系式不好求，故尋求他變量建立，y之間的聯(lián)系．解設(shè)Mx，y，直線(xiàn)AB方為y＋bx由OM⊥AB得＝－y由y＝＝kx消y，得k＋(2－4)＋b＝0.以xx＝.12k消去x，得

pb－py＋＝所以yy＝.12k由OA⊥，得y＝x，12pb所以＝－，＝4kpk故y＝＋b(x－4p)x把k＝－代，得＋－＝0(≠0)．即M的跡方程為x＋y－px＝≠0)．【反思與悟】在一很難找到形成曲線(xiàn)的動(dòng)點(diǎn)(xy的坐標(biāo)x所足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個(gè)變量，建立和t和y的系式＝)y＝x()再通過(guò)一些條件消掉t就接找到了x和所足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)(x，y所形成的曲線(xiàn)的普通方程．【變式3-1如圖示，從雙曲線(xiàn)x－y＝上點(diǎn)引線(xiàn)x＋y＝2的線(xiàn)，垂足為求線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的跡方程．解設(shè)點(diǎn)的標(biāo)為，)點(diǎn)Q的標(biāo)為，)，則點(diǎn)坐標(biāo)為(2－x，2－y)．111∵點(diǎn)在線(xiàn)＋＝上∴2－x＋－y＝，①11又∵直于直線(xiàn)＋y＝y(tǒng)－y∴＝，即－＋y－＝0，②x－x112222222222222→→→→222222222222222→→→→22a1x＝x＋y－，1由①、②聯(lián)立，解得3y＝x＋y－1.1又Q在雙曲線(xiàn)－y＝1上∴x－＝，13即x＋y－1－x＋y－＝1整理得x－y－2＋y－1，這就是所求動(dòng)點(diǎn)P的跡方程．如解求線(xiàn)方【問(wèn)題研究】曲線(xiàn)方程是解析幾何的一條主線(xiàn)，雖然高考對(duì)曲線(xiàn)與方程的要求不是很高，但高考中也經(jīng)常會(huì)有一些試題是以建立曲線(xiàn)方程作為切入點(diǎn)命制的．從近幾年的高考試題中可以現(xiàn)，無(wú)論客觀(guān)題還是主觀(guān)題都有曲線(xiàn)與方程的命題點(diǎn)．【解決方案】首先，要深入理求曲線(xiàn)的軌跡方程的各種方法及其適用的基本題型，注意參數(shù)法和交軌法的應(yīng)用其求軌方程時(shí)要注意檢驗(yàn)多余的點(diǎn)要扣除而漏的點(diǎn)要補(bǔ)上再，要明確圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)，選相應(yīng)的解題策略和擬定具體的解題方法，如參數(shù)的選取，相關(guān)點(diǎn)變的規(guī)律及限制條件等．x【示例】(2011·津在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(aa＞0)為點(diǎn)FF分為橢圓1ay＋＝1的、右焦點(diǎn)．已知eq\o\ac(△,F)eq\o\ac(△,)PF為等腰三角形．1求橢圓的離心率e；設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交于A(yíng)兩，M直線(xiàn)上的點(diǎn)，滿(mǎn)足AMBM＝2求點(diǎn)的22跡方程．【審題視點(diǎn)】第1)設(shè)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根PF＝F列等式，解方程即求得；(2)根據(jù)題212意設(shè)出A，兩坐標(biāo)，代入關(guān)系BM－2即可求得點(diǎn)M的跡方程．解(1)F－c,，c＞0)．1由題意，可PF＝F|，2即

2

，c整理，得＋－10c1得＝1(舍，或＝a222→→→2222222→→→2222所以＝.由(1)知ac，bc，可得橢圓方程為＋4y＝12c，直線(xiàn)PF的程為＝x－c)2A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

x2y23

消去y并理，得x－cx＝0解得x＝0，x＝c.1，得方程組的＝c，1

c，253y＝c.2533不妨設(shè)A，5

，，－3c).→8設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)(x，y)則AM＝－，－c，BM＝x＋3．由y＝3(x－c)得＝x－

y→3→于是AM＝y(tǒng)－