專題11 圓錐曲線的切線問題(解析版)

結論十一：圓錐曲線的切線問題結論過圓C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一點P(x,y)的切線方程為(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)二R2.0000過橢圓燈+凸=1上一點P(x,y)的切線方程為恥+注-1.a2b2 00 a2b2已知點M(x,y),拋物線C:y2=2px(p^0)和直線l:yy=p(x+x).0000當點M在拋物線C上時，直線l與拋物線C相切，其中M為切點，丨為切線.當點M在拋物線C外時，直線l與拋物線C相交，其中兩交點與點M的連線分別是拋物線的切線,即直線l為切點弦所在的直線.當點M在拋物線C內時，直線l與拋物線C相離.解讀在以上的結論中，我們可以用類比的方法，由過已知圓上和圓外的點的切線方程聯(lián)想到過圓錐曲線上和圓錐曲線外的切線方程，觸類旁通，實現(xiàn)知識的內遷，使知識更趨于系統(tǒng)化，取得事半功倍的效果。典例過雙曲線C:匚-壬-=l(a>0,b>0)上一點p作雙曲線C的切線l,若直線OP與直線l的斜率均a2b2存在，且斜率之積為5，則雙曲線c的離心率為( )A.迺 B.邁 C.逅 D.邁5 3 5 5解析【答案】C【詳解】設P(xo,yo),由于雙曲線C在點P(xo,y丿處的切線方程為一卡齊二1，故切線l的斜00 00 a2 b2,b2x rr 2 b2xy2 b22率k二一；因為k-k=~，則一，則一—二，即雙曲線C的離心率a2y OP5 a2yx5 a25000e—岸-原V5 5反思本題先設P(x,y)，則可得切線1為一°——1，從而可求出直線1的斜率k-—，再由題00 a2b2 a2y0b2xy2 b22意可得一一c，則得一—二，進而可求出雙曲線的離心率。本題考查雙曲線的方程與性質，a2yx5 a2500考查考生直觀想象、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，解題的關鍵是求出雙曲線c在點P(x0，y0)處的切線方xxyy- 了b2x程為0-0二1，則有切線l的斜率k= 0，再結題意可得答案，屬于中檔題a2 b2 a2y針對訓練*舉一反三1.已知橢圓具有如下性質：若橢圓的方程為—+—=l(a>b>0)，則橢圓在其上一點A(x,y)a2b2 00處的切線方程為芳+計=1，試運用該性質解決以下問題；橢圓c1：寧+y2=1，點B為C1在第一象限中的任意一點，過B作C］的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于C,D兩點，則"CD面積的最小值為()A.1c.D.2xx [xx [T+y1y=1，令【答案】C【詳解】設B(x1,y1),(x1>0,y1>0)，由題意得，過點B的切線l的方程為:1X—1X—2xi211X二yxy1112y=0，可得c(一,0)，令x=0x1

1可得D(°,)，所以^OCD面積S=y1又點B在橢圓上，所以亍+人2=1所以S=丄x1y1x2+y21xy11亠+竹＞2：厶丄=邁2y1x1 2y1x1當且僅當赤=，即x1=1,丁弓時等號成立，所以“cd面積的最小值為112.過點P(3,4)作圓x2+y2=4的兩條切線，切點分別為A，B，則AB=【答案】D【解析】設A(x1，人),B(x2,y2)，則直線皿的方程為x1x+y1y=4，直線刖的方程為x2x+y2y=4點(3,4)均在兩直線上，故3x1+4y1=4,3x?+4y?=4，直線AB的方程為3x+4y=4.點(0,0)到直線AB的距離d=4，貝到直線AB的距離d=4，貝卅AB=2J4-二5 V2525=w?本題選擇D選項.).A.1B.2C.1或2D.-1或23.過點M（2,—2p）作拋物線x2=2py（p>0）的兩條切線，切點分別為A,B,若線段AB的中點的縱坐標為6,則p的值是（【解析】由題意得y【解析】由題意得y=2pxx xxy=7-y1，y=方-y2,y'=，設切點分別為A（x，y），Bxx xxy=7-y1，y=方-y2y-y1=予X-Py-y2=嚀X-X2)2x變形為由于兩條切線都這M點，所以過A,B兩點的直線方程為-2p= -兒變形p2x_y=弐+2p，與拋物線組方程組<py= +y=弐+2p，與拋物線組方程組<pP ，消去x得x2=2py4p2+8py2-4p2y-8y+4p3=0,y+y= =12，解得p=1或p=2，選c.1 2p已知過圓錐曲線F+21=1上一點P（x,y）的切線方程為F+尋=1.過橢圓乞+蘭=1上的點mn oo mn 12 4A（3,-1）作橢圓的切線l，則過A點且與直線l垂直的直線方程為（）A.x-y-3=0 B.x+y-2=0C.2x+3y-3=0 D.3x-y-10=0【答案】B【詳解】過橢圓 + =1上的點A（3，-1）的切線1的方程為 + =1，即x-y-4=0，切線112 4 12 4的斜率為1.與直線1垂直的直線的斜率為-1，過A點且與直線1垂直的直線方程為y+1=-（x-3）,即x+y—2=0.過圓x2+y2=r2上一定點P（x,y）的圓的切線方程為ooxx+yy二r2.此結論可推廣到圓錐曲線上.過橢圓—+蘭=1上的點A(3,-1)作橢圓的切線l.則過A0 o 12 4點且與直線l垂直的直線方程為()A.x+y—2=0? B.x—y—3=0C.2x+3y—3—0 D.3x—y—10—0【答案】A【詳解】過橢圓蘭+蘭—1上的點A(3,—1)的切線l的方程為琴+￥—1,即x—y—4—0，切線lTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"12 4 12 4的斜率為1,與直線l垂直的直線的斜率為-1，過A點且與直線l垂直的，直線方程為y+1——(x一3)即x+y—2—0.關于橢圓的切線由下列結論：若P(x,y)是橢圓蘭+蘭—1(a>b>0)上的一點，則過點p11 a2 b2的橢圓的切線方程為辛+學—1.已知橢圓C:蘭+蘭—1?利用上述結論，則過橢圓C上的點a2 b2 4 3P(1,n)(n>0)的切線方程為 .【答案]x+2y—4—0x2y2 3 3【解析】由題意，將x—1代入橢圓方程C:—+[—1，得y—，所以P(1，T，所以過橢圓C上的點4 3 2 23 3yp(i，2)的切線方程為蘭+卍—1，即x+2y—4—0.2 4丁—已知拋物線C:x2=4y,直線l:x-y-2=0,設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB，其中A,B為切點，當點P(x0,y°)為直線l上的定點時,則直線AB的方禾 .【答案】y=xxx-y.200【解析】聯(lián)立方程得：2二；=°消去y,整理得x2-4x+8=0