第4講 幾何圖形剪拼-完整版

第4講幾何形剪拼內(nèi)容概與圖形的剪切拼接有關的問題學會利用對稱性和面積計算對剪拼問題進行分析；了解某些特殊的剪拼辦法。典型問興趣篇1圖4-1一個正方形紙片剪成大小狀都相同的塊以怎么剪？請大家出盡量多的圖形果兩個圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合，就認為它們的大小、形狀是相同的）答案:解析：要把一個圖形平均分成分，可以先把圖形平均分成份，再把平均分成的2份再一分為二即可，如答案第一、第二行的5種分法．再觀察答案第三行前2圖發(fā)現(xiàn)們都是利用穿過正方形中心的兩條直線把正方形分成了4，考慮到正方形的對稱性，知道正方形是一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形，利用這個特性旋轉(zhuǎn)上面兩條直線發(fā)現(xiàn)過的兩條互相垂直的直線都可把正方形分成大小形狀都相同的4．更一般地，從中心出發(fā)向邊界連出一條曲線，再把它依次旋轉(zhuǎn)90樣可以把正方形分成形狀、大小都相同的4塊，如答案第三行的第3種分法，從上面的分析可以看出，滿足要求的方法實際上有無窮多種．2．如圖4-2，在一塊正嘉纛凳墓中有一個正方形的空洞．現(xiàn)在要求用一條經(jīng)過大正形中心點的線段，把紙片分成面積相等的兩部分，應該怎么分？答案：解析先考慮紙片無洞的情形由正方形的對稱性可知經(jīng)過大正方形中心點的任意一條直線，都可以把紙片分成面積相等的兩部分，再考慮有空洞的隋形．如果空洞剛好處于合適的位置，如圖1所示，這時就可以利用對稱性來分．當空洞處于一般位置的時候不再具備對稱性因為題目中并沒有要求分成的兩部分形狀相同，所以只需要考慮面積的因素．如圖2示，如果分割線不通過空洞．正方形紙片被分成本身的面積是相等的兩部分，但是其中一部分中有一個正方形空洞，所以這種剪法不行．如圖3示，如果分割線通過空洞，但空洞沒有被平分，因為大正方形分成的兩部分面積仍然相同所以各自挖去空洞的一部分后剩下的面積還是不同這種剪法仍然不行．從上面這2剪法可以看出：要使分成的兩部分面積相等，這條直線必須把空洞也分成面積相等的兩部分因為空洞的形狀也是正方形同樣由對稱性過空洞中心的任意一條直線也可以把空洞分成面積相等的兩部分此網(wǎng)時經(jīng)過空洞正方形的中心與大正方形的中心的直線就可以把以上圖形劃分為面積相等的兩部分，即過這2中心點的直線．3如圖4-3三角形和六角星的每條邊長都相等那么用多少個三角形可以拼成六角星？請在圖中表示出來．答案：12個解析;因為六角星的每條邊和正三角形的邊相等以它突出來的角都可以用1三角形填滿，如圖所示：剩下的中間部分是一個正六邊形，也不難用三角形填滿，如答案所示，共可數(shù)出12個三角形可拼成六角.4．如圖4-4，在正方形邊上的40個點中，選6個點，連出3條線段，將正方形分成6個部分，使得每個部分都恰好有個三角形、2個小正方形。答案：5把圖4-5中的兩個圖形分別沿格線剪成4個大小狀都相同的圖形．答案：解析：(1)圖形(a)是由12個小方格組成的，如果把它剪成4個形狀大小都相同的圖形每個圖形含有12÷4=3個方格個方格要么組成×3長方形，要么組成“L形，如圖1所示。不難發(fā)現(xiàn)分成4個長方形是不可能的，因此考慮分成4個“形．顯然最上面的2方格必須在同一個“L”形中，可得出如圖2所示的剪法．(2)圖形(b)被分成了12個小三角形，沿格線分割成4個相同的部分后，每個部分就由3小三角形組成3小三角形組成的圖形只有如圖示這1種．那就用這種形狀去試著分割原來的圖形，可得出如圖示的分法．6．請把圖格線分成大小、形狀都相同的3部分，使得每部分都恰好含有1個“O答案:解析:首先數(shù)出圖形的方格總數(shù)為12所以分成的每塊圖形各含有123=4個方格，再考慮4方格數(shù)可能構成的圖形看哪種可以填滿原來的圖形恰好每塊圖形都含有一個0注意O在每一塊中所處的位置可能是不一樣的．用4個方格可以組成如圖1所示的5圖形：再觀察原圖，可以發(fā)現(xiàn)填入陰影的3格應該分屬不同的3塊，如圖2示：經(jīng)試驗，可以找到如答案所示的分割方法，7將圖4-7分成大小狀都相同的4分得每個部分都恰好包含A、B、C、D4個字母．答案:解析：原來圖形被格線分成了16個相同的小正方形，要沿格線把圖形分成4相同的部分那么每個部分就都應該由4小正方形組成由4小正方形組成的圖形只有如圖1所示的5：由圖l發(fā)現(xiàn)I個字形能拼成一個正方形，但又要每個部分都恰好包含A、B、C、D這四個字母，經(jīng)嘗試找到如答案所示的分割方法．8．如圖4-8，圖(a)是由個大小相同的小正方形拼成的，圖b)是由1正方形和1個等腰直角三角形拼成的請把這兩個圖形分別剪成個大小形狀都相同的圖形。答案：解析：(1)要把圖形(a)分成4塊，但此時一共有5個方格，而為了分成4塊一樣的圖形須用其總格數(shù)除以然地把每個方格再細分為個小方格，則一共有5×4=20個小方格，因此可分成每塊大為20÷4=5小方格，如圖1所示，一同樣考慮5個小方格的可能情況，再聯(lián)系本圖的特點，從左邊開始分析，不難得到如答案所示的劃分．(2)圖形(b)不像前面的題目那樣有網(wǎng)格幫助劃分圖形以還是自己添加網(wǎng)格為一共要分成4塊，所以把左邊的正方形分成4小格，同時把右邊的等腰直角三角形也類似劃分，如圖2所示注意上面的兩個三角形格子各為半格合起來也等于一個方格所以圖形總的大小為6個方格，因此分成的每塊的大小都是1格半，顯然右下角的三角形格必須與它左邊相鄰的方格組成一塊樣一來右上角的三角形格必須與它左邊相鄰的方格組成一塊，如圖3示．因此可以把圖形按答案所示方式劃分．9．如圖4-9，有兩個面積相等的正方形紙片，現(xiàn)在想把它們剪拼成一個更大的正方形，要求如下：(l)如果分別剪開這兩個正方形，再拼接成一個大正方形，應該怎么辦？(2)如果只允許剪開一個正方形，再拼接成一個大正方形，應該怎么辦？答案（2解析;(1)設原來兩張正方形紙片的面積都是1那么最終拼成的大正方形的面積應該等于2從原來正方形的邊長人手很難拼成大正方形的邊長除了利用邊長計算正方形面積外也可以利用正方形對角線算出它的面積而且連結正方形的對角線可以把正方形分成兩個相同的等腰直角三角形以可以考慮使最終的正方形由兩個相同的等腰直角三角形拼成，把圖中的兩個正方形沿對角線剪開，然后4個大等腰直角三角形拼成正方形，如答案所示．(2)樣可以考慮等腰直角三角形，此時要求保持一個正方形不變，所以把它放人大正方形中則大正方形的4個角都多出一個等腰直角三角形正好把另一個正方形剪成4個等腰直角三角形，然后補在空缺，如答案所示．10.圖4-10是由若干個小正方形組成的圖形，你能將其剪成兩塊，然后拼成一個正方形嗎？答案：解析;這個圖形是由16個小正方形組成的，那么拼成的正方形只能是4X4的方格表形式．將該圖形與正方形對比可以看出就是要把左邊多余的4格補到上方如圖1示，因為只能分成2塊，所以直接剪開是不行的，要在上方補充，且剪開后拼過來的一塊一定要有1×4的部分，如圖2所示，同時，這個圖形有6分沿陰影格線剪開，如圖

格長，所以要把左邊多余的部3示：經(jīng)試驗，可以發(fā)現(xiàn)如答案所示的方法滿足要求拓展篇1．觀察圖4-11，ABCDEF正六邊形，O是它的中心．畫出線段PQ后，就把正六邊形ABCDEF分成了2個大小、形狀都相同的五邊形．(1)能否畫出3條線段，把正六邊形分成6個大小、形狀都相同的圖形？(2)能否畫出幾條線段，把正六邊形分成3個大小、形狀都相同的四邊形？(3)能否畫出幾條線段，把正六邊形分成3個大小、形狀都相同的五邊形？答案：解析：(1)要把正六邊形ABCDEF分成大小、形狀都相同的圖形，注意正六邊形樣的正三角形，由對稱性只需連結AO、B0、CO、DO、E-O、FO即可，如答案所示．(2)要把正六邊形ABCDEF成3大小、形狀都相同的四邊形，可以考慮把上面劃分的6個三角形兩兩組合得到3個菱形答案所示．(3)要把正六邊形分成3個大小、形狀都相同的五邊形，題(2)已經(jīng)分出了四邊形，只要想辦法再多一條邊就可以了，注意到條件中給的提示，利用線段PQ把ABCDEF分成了2個同的部分，這一點既可以認為利用了正六邊形的軸對稱性，也可以認為利用了中心對稱性（旋轉(zhuǎn)對稱性但是軸對稱一般用于把一個圖形一分為二，所以這里主要考慮旋轉(zhuǎn)對稱性．可以在題(2)圖中，把OA、OC、OE三條線段同時旋轉(zhuǎn)，就可以把正六邊形分成三個相同的五邊形了，如答案所示．2．請在圖4-12中標出分割線，把圖形沿格線分成大小、形狀都相同的個部分如果兩個圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合，就認為它們的大小、形狀是相同的）答案：解析：原來圖形被格線分成了16個相同的小正方形，要沿格線把圖分成4個相同的部分，那么每個部分就都應該由4個小正方形組成，由4個小正方形組成的圖形只有如圖1所示的！種：圖形中最上面的小正方形顯然是最特殊的，所以在嘗試的時候就從它開始，可得答案中的圖形．這道題還有其他分割方法，如圖示：3．將圖4-13沿格線分割成大小、形狀都相同的個部分，請在圖中畫出具體的分割方法．答案：解析：這個圖形一共有24個三角形小格因此分成的每個圖形都包含有24÷4=6個三角形小格小正三角形組成的圖形情況很多以發(fā)現(xiàn)下、右下和上方三個角上的格子都只與旁邊1格相鄰割時妨讓這三格分屬不同的三塊，故后一塊應該在中間的位置，如圖所示：經(jīng)試驗，可以找到如答案所示的分割法．4．將圖4-14分割成大小、形狀完全相同的塊，請至少洹出4不同的分法答案：解析：如圖：所示，注意到沿圖中虛線剪開以后，原來圖形就變成了2個長方形．經(jīng)計算，這2塊都是長為8寬為4的長方形．要將圖形分成完全相同的4只需要按同樣的分法將每個長方形都分成相同的由于長方形是中心對稱圖形所以任何一條過長方形中心的直線都能將它分成相同的2塊如圖2給出4分法．更一般地，也可以用折線或者曲線將長方形分割的兩部分，如答案所示．5．如圖4-15，從一張邊長為7厘米的正方形紙片中，最多能裁剪出多少張長4厘米、寬1厘米的長方形紙條？請畫圖說明裁剪方法．答案：12個解析：因為邊長為7厘米的正方形面積是49平方厘米，而長厘米、寬：厘米的長方形面積是4平方厘積關系，最多能裁剪出12張紙紙條可以橫豎交錯安排先橫著紙條剩下的豎著裁可以裁出著繼續(xù)橫著裁，如圖所示：

米，由面條，這些裁出1張3張，接于是可以找到如答案所示的裁剪法．6．將圖4-16分成大小、形都相同的4塊，使得每一塊中都有、B、C、D答案：解析：圖申、B、C、D有個，那么分割后的4個圖形中B、C、D各有1所以相鄰的2個字母如果相同么在它們之間一定有一條分割線將這2字母分開相同的字母分別屬于2不同的圖形圖示，可以在相同的字母之間畫出一些分割線．由于分割后的4圖形是完全相同的，因此可以假設每旋轉(zhuǎn)90形就會完全重合．如圖2中的正方形是由完全相同的4個圖形組成的，把這個正方形旋轉(zhuǎn)90后的分割線和原來的分割線完全重合，每一部分也和原來的每一部分完全重合這樣將圖1旋轉(zhuǎn)后與原來的分割線重疊的線段也應該是分割線從而得到了更多的分割線圖3

所示．得到這些分割線后就比較好觀察哪些字母應該被分在同一個部分中容易看出右下角的字母D必然和它左邊的C及左上角的B相連結圖示．再次通過旋轉(zhuǎn)還可以得到其他相連結的部分，答案所示．7．如圖4-17，請把一個大正方形分割為兩種面積不同的小正方形．如果要求兩種小正方形一共有個，應該怎么分？如果要求兩種小正方形一共有個，應該怎么分？答案：解析：(1)把一個正方形分割成若干很自然可以想到將它按小方格劃分，如

小正方形，圖所示：而這種方法只能把大正方形分成9個16個25個等情況．要把大正方形分成6個小正方形，而這6個小正方形可以有2種不同的大小，所以可以在上述分割方式中將一些小格重新組合為較大的正方形或?qū)⒁恍┬「裨偌毞譃楦〉男≌叫危谑菍⒋笳叫蝿澐譃?小格，再把其中4格組合起來即可，如圖2示．(2)如果要使得2小正方形的總個數(shù)是7可將大正方形劃分為4小格將其中一小格劃分成更小的4小格即可，如圖3示。8．將邊長分別為3厘米和4米的兩個正方形切割成4，然后將它們拼成一個邊長是5厘米的大正方形，請在圖4-18中畫出切割線和拼接線．答案：解析首先從面積考慮兩個小正方形的面積分別是9方厘米和6平方厘米，它們加起來正好等于大正方形的面積25方厘米，由于邊長都是整數(shù)厘米，可以先把圖形劃分，如圖1所示：由于一共只能切割成分，所以盡可能將大多數(shù)方格保留在一起．①不妨將邊長為4厘米的正方形保持不動，然后將邊長為3厘米的正方形切割成3分，添排到另一個正方形的邊上即可，如圖所示：可看出最小的正方形必須剪成寬度為1厘米的一些圖形，注意拐角的位置，可得答案如圖(a)所示．②同樣，也可以試圖將邊長為3厘米的正方形保留下來，而將邊長為4厘米的正方形剪成3塊，此時注意到剪出的3塊必須是寬度為2厘米的圖形，可得到答案如圖(b)所示．③有了以上2種解法，也可以把2個小正方形各分成2塊，然后一起拼成大正方形，如答案圖(c)示，9．請將圖4-19中的圖(a)剪成3塊，再拼成一個正方形如圖(b)．答案：解析：圖(a)是從一個4×7長方形去掉左上角1×3的一塊！所以面積等于25于是拼成的正方形邊長應該等于上線后將正方形與圖(a)重疊如圖所示：可以看出就是將上面3×2的部分再剪成2塊并拼成右邊的部分，于是得到的結果如答案所示．事實上，用不同的重疊辦法還可以發(fā)現(xiàn)很多其他的分割方法，如答案所示．10．將圖4-20割成4個形狀和大小都相同的部分，然后將它們拼接成一個正方形．請在原圖上標明分割線，并畫出正方形的拼接圖．答案：解析先算出原圖形面積圖分可以計算出圖形的面積為×3×2+6×(1+2+1)=36而35恰好是的平方，所以最后拼出的正方形邊長應該是．所以分割后每一塊橫豎兩個方向的長度都不能大于6否則就不能放入正方形了．而這個圖形的豎直方向長度為12而恰好等兩個6相加所以可以嘗試圖形從中間劃分開．考慮到要分成形狀大小完全一樣的利用圖形的對稱性以得到如答案所示的拼法．本題分割方法不唯一，如另一種答案如圖2所示：11．圖4-2l(a)中長方形的長和寬分別是厘米和4厘米，請把這個長方形剪成2塊再拼成一個正方形如圖(b)．答案：解析：長方形的面積是4×9—平方厘米，所以正方形的邊長是6厘米，長方形與正方形相比較，長多了3厘米，寬少了2厘米，所以本題主要就是找到一個能夠同時去掉3厘米和補齊2厘米的方法．先考慮將長去掉3厘米，可以從長方形的邊上3厘米處剪開，如圖1示：而寬需要補充2米，所以可以剪下2米補過去，如圖2示：最后，找到如答案所示的分割方法。12．有一張長方形紙片，按圖4-22所示剪成了3，已知這3塊紙片可拼成一個正方形，那么正方形的邊長為多少？請畫出具體的拼法．答案：12解析由于剪拼過程保持面積不變那么最后拼成的正方形大小可以直接通過面積計算得出．計算長方形面積×(12+4)=144，而×12，所以正方形的邊長等于12.要拼成正方形，注意到斜線必須和線拼在一起，具體拼法如答案所示。13.把7個長為4厘米、寬為3厘米的長方形既互不重疊又不留空隙地拼成一個大長方形，那么這個大長方形的周長最小是多少厘米？請畫出具體的拼法．答案：解析：大長方形面積是3×4×7=84平方厘米，而84=184=2X42=3××21=614=712，分別計算周長，發(fā)現(xiàn)長為12厘米、寬為7厘米的長方形周長最?。势闯龅拇箝L方形周長最小是(7+12)×2=38厘米，具體拼法如答案所示，14．用若干張邊長為1、2、3、4的正方形紙片互不重疊地拼成一個邊長為5的大正方形，那么最少需要紙片多少張？請畫出具體的拼法．答案：8解析題要求的是最少的紙片數(shù)盡可能的先多用大的紙片去試一試。首先看一下最多能放多少張邊長為4的正方形紙片，依次再放入邊長為3的2的以看到，方形里面最多放入一張邊長為如圖1示：

邊長為5大正的正方形紙片，再來看剩下的空間，是一個寬為1的折紙條，只能放入邊長為1的正方形紙片，從圖1可以看出一共要用10張紙片．但是也可以發(fā)現(xiàn)，寬為1的折紙條很長而此時只能放入最小的正方形紙片如果寬度更大一些就可以放入更大的正方形紙片樣的話可以發(fā)現(xiàn)最大的正方形紙片就只能是邊長為正方形紙片了，方法如圖2所示．剩下部分是一個寬度為2的拐角，應盡可能多地放入邊長為2的正方形紙戶，方法如答案所示．此時一共用了8紙片．而如果邊長為3、的正方形紙片都不用，只用邊長為1、2的正方形紙片拼出邊長為5的正方形，容易發(fā)現(xiàn)邊長為2的正方形紙片最多只能用4張，此時最少要用13張紙片．故最少需要用紙片。超越篇1．將圖4-23沿格線分割成大小、形狀完全相同的個部分，你能想出幾種方法（如果兩個圖形通過旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后重合就認為它們的大小形狀是相同的）答案：解析：直接數(shù)方格數(shù)，整個圖形有：個小格，所以分成的每一部分應該有8格8個小正方形拼成的圖形情況十分復雜，個圖形的形狀很像一個傾斜的正方形，如圖1

但是可以發(fā)現(xiàn)這所示：所以可以嘗的方法解決本題，如圖2所示的方

試用分割正方形正方形可以按照式分割：對應的，可以找到如答案所示的種分法．2．如圖4-24(a)，長方形的長和寬分別是25厘和16厘米．請把這個長方形剪成兩塊，再拼成一個正方形如圖(b).答案：解析：長方形的面積是2516=400平方厘米，所以正方形的邊長是20厘米，因此要把長方形的長剪掉5厘米，同時要將長方形的寬上4厘米．可以沿著如圖所示圖形中的虛線剪．要使剪出來的2部分能夠相互吻合，橫著的虛線長度都要取5厘米，豎著的虛線長度都要取4厘米，所以剛好有橫著的虛線4豎著的虛線，如答案所示．3．如圖4-25(a)是一塊×49（單位：厘米）的長方形紙片，現(xiàn)在要沿虛線將它分成3塊再拼成如(b)圖所示的邊長為厘米的正方形紙片請用實線標明剪切和拼接的方法在這里虛線劃分成的小長方形的大小均為5×單位：厘米答案：解析：長方形的長是49厘米，正方形的邊長是35厘米，所以階梯的長度等于49-35=14米．長方形的寬是25厘米，所以階梯的高度等于35-5=10厘米．先按照階梯法剪成2，如圖所示：可以看到，2不能拼成正方形，下面左邊多出來了一格，同時中間也空了一格．所以把這個小格單獨剪下來拼進去，最后的剪法如答案所示．4．將圖沿格線分割成形狀不同的長方形（包含正方形在圖中用實線標出分割線．答案：解析：先考慮從面積人手．因為正方形的面積為25，所以分割后7個形狀不同的矩形的面積之和也是25.從而這7種矩形的面積都不會太大，面積為1矩形只有1×1正方形；面積為2矩形只有1×2正方形；面積為3矩形只有1×3正方形；面積為4矩形有1×4長方形和2×2的正方形；面積為5矩形只有1×5正方形；面積為6矩形只有2×3長方形1，因為16長方形不存在．從前面的分析可見，7種形狀不同的矩形面積之和最小為1+2+3-4+4+5+6=25，而題目中所給出的正方形的面積恰好就是所以正方形可以被分割成以下7種形狀：×1的正方形，1×2的長方形，×3的方形1×4長方形2×2的正方形1×5的長方形×3長方形．如答案所示給出2具體切割的方法．5．圖4-27是由個小正方形組成的一個“十字架將它剪成若干塊，然后拼成一個大正方形．答案：解析：方法一：先考慮大正方形的邊長．假設小正方形的邊長為1，則十字架的面積等于5要拼成的大正方形的面積也等于5，52

，由勾股定理，大正方形的邊長就等于直角邊為1和2的直角三角形的斜邊長，在邊長為3的正方形里，畫出這樣的大正方形，如圖1所示：從圖1中可以看出如答案圖a)所示的剪法，方法二：先在十字架中找到一個直角邊為12直角三角形，然后用斜邊作為大正方形的邊，把大正方形畫出來，如圖2所示：把圖形補充成4×4正方形網(wǎng)格，如圖3所示：從圖3可以看出如答案圖(b)所示的剪法，方法三從上面的分析可以看出本題