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文檔簡介
2.5.1向量在平面幾何中的應用平面幾何中的向量方法
向量的概念和運算,都有明確的物理背景和幾何背景。當向量與平面坐標系結合以后,向量的運算就可以完全轉化為“代數(shù)”的計算,這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何的許多性質,如平移、全等、相似、長度、夾角都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此,利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問題。例1.如圖,已知平行四邊形ABCD中,E、F在對角線BD上,并且BE=FD,求證AECF是平行四邊形。
證明:由已知設即邊AE、FC平行且相等,AECF是平行四邊形(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉化為向量問題;(2)通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題;(3)把運算結果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:簡述:形到向量向量的運算向量和數(shù)到形練1.求證平行四邊形對角線互相平分.
證明:如圖,已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于M,設則
根據(jù)平面向量基本定理知,這兩個分解式是相同的,所以解得
所以點M是AC、BD的中點,即兩條對角線互相平分.練2.已知非零向量,和滿足則△ABC為()(A)等邊三角形(B)等腰非直角三角形(C)非等腰三角形(D)等腰直角三角形練習1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知:平行四邊形ABCD。求證:解:設,則
分析:因為平行四邊形對邊平行且相等,故設其它線段對應向量用它們表示?!?.若O為△ABC所在平面內一點,且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC的形狀為_____.【解析】由已知∴△ABC為等腰三角形.答案:等腰三角形練習1.已知正方形ABCD,P為對角線AC上任意一點,PE⊥AB于點E,PF⊥BC于點F,連接DP、EF,求證DP⊥EF。
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