【高三理科數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)】第十二章-第3節(jié)-數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用

第3節(jié)數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.知

識(shí)

梳

理1.數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取___________________時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)____________時(shí)命題也成立.只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.第一個(gè)值n0(n0∈N*)n＝k＋12.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示[微點(diǎn)提醒]1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)初始值n0不一定是1，要根據(jù)題目條件或具體問題確定初始值.2.推證n＝k＋1時(shí)一定要用上n＝k時(shí)的假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法.3.解“歸納——猜想——證明”問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確計(jì)算出前若干具體項(xiàng)，這是歸納、猜想的基礎(chǔ).基

礎(chǔ)

自

測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，第一步是驗(yàn)證n＝1時(shí)結(jié)論成立.(

)(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.(

)(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.(

)(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).(

)解析對于(1)，有的證明問題第一步并不是驗(yàn)證n＝1時(shí)結(jié)論成立，如證明凸n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°，第一步要驗(yàn)證n＝3時(shí)結(jié)論成立，所以(1)不正確；對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一項(xiàng).答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×解析凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n＝3.答案C

解析

易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.

答案

3

4

5

n＋1解析當(dāng)n＝1時(shí)，n＋1＝2，∴左邊＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.答案C答案C6.(2019·安慶檢測)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，從n＝k到n＝k＋1，左邊需增添的代數(shù)式是________________.

解析

當(dāng)n＝k時(shí)，待證等式左邊＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，待證等式左邊＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，

所以從n＝k到n＝k＋1，左邊需增添的代數(shù)式是(2k＋2)＋(2k＋3).

答案

(2k＋2)＋(2k＋3)考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切n∈N*等式都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)由n＝k時(shí)等式成立，推出n＝k＋1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程.(3)不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論仍然成立.由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*).考點(diǎn)二利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)，0≤ak<ak＋1，又ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1<ak＋2，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，an<an＋1也成立.綜上，可知an<an＋1對任意n∈N*都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的注意點(diǎn)(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法.(2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)命題成立，由(1)，(2)知原不等式在n∈N*，n≥2時(shí)均成立.考點(diǎn)三歸納——猜想——證明

多維探究角度1與函數(shù)有關(guān)的證明問題【例3－1】

(2019·梅州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表達(dá)式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：由①②可知，結(jié)論對n∈N*成立.當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，當(dāng)a>1時(shí)，對x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即當(dāng)a>1時(shí)，存在x>0，使φ(x)<0，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].角度2與數(shù)列有關(guān)的證明問題【例3－2】

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并且滿足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N*).猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，猜想：an＝n.∵a2>0，∴a2＝2.(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，ak＝k，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0，∴ak＋1＝k＋1，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立，∴an＝n(n≥2)，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，也成立，故對于一切n∈N*，均有an＝n.規(guī)律方法

(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納—猜想—證明”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明(1)中的猜想.(2)證明①由(1)知，當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立.[思維升華]1.歸納假設(shè)的作用

在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)： (1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證n＝k＋1時(shí)，必須用上歸納假設(shè).2.利用歸納假設(shè)的技巧

在推證n