【學(xué)海導(dǎo)航】高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 5.2向量的字符運(yùn)算課件 理 （廣西專(zhuān)）

第五章平面向量向量的字符運(yùn)算第講2考點(diǎn)搜索●平面向量的數(shù)量積●平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)●兩個(gè)向量垂直的充要條件●常用的模的等式和不等式高考猜想字符運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容，是高考的一個(gè)重要命題點(diǎn).一、平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

1.已知兩個(gè)非零向量a，b，過(guò)O點(diǎn)作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角.

很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩非零向量a，b同方向時(shí)，θ=___，當(dāng)且僅當(dāng)a、b反方向時(shí)，θ=______，同時(shí)0與其他任何非零向量之間不談夾角問(wèn)題.0°180°2.如果a，b的夾角為_(kāi)___，則稱(chēng)a與b垂直，記作_______.3.a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為θ，則__________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即______________.

規(guī)定0·a=___.

當(dāng)a⊥b時(shí)，θ=____，這時(shí)a·b=____.

二、a·b的幾何意義

1.一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°0設(shè)θ是a與b的夾角，則_________稱(chēng)作a在b方向上的投影._______稱(chēng)作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一個(gè)數(shù)，而不是向量.當(dāng)______________時(shí)，它是正數(shù)；當(dāng)___________________時(shí),它是負(fù)數(shù)；當(dāng)θ=90°時(shí),它是零.2.a·b的幾何意義.

a·b等___與b在a方向上的投影的乘積.3.a·b的性質(zhì).

設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,e是單位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)a⊥b________;(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=___________；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=____________；特別地，a·a=a2=|a|2，或|a|=_____;(4)cosθ=_________;(5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|1.已知向量a和b的夾角為120°,|a|=1,|b|=3，則|5a-b|=____.解：

所以|5a-b|=7.72.若a,b,c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是()A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)·c=a·c+b·c

C.m(a+b)=ma+mbD.(a·b)·c=a·(b·c)

解：A、B、C是運(yùn)算律，而a·b=λ∈R,b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故選D.D3.在△ABC中，已知向量與滿(mǎn)足且則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解：在△ABC中，

(M在∠BAC的平分線上)，D由知所以⊥，則△ABC是等腰三角形；因?yàn)樗詣t∠BAC=60°，所以△ABC是等邊三角形.故選D.1.如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)問(wèn)與與的的夾夾角θ取何值時(shí)的的值最大大？并求出出這個(gè)最大大值.解法1：因?yàn)?，，所以因?yàn)轭}型1向量的數(shù)量量積運(yùn)算所以故當(dāng)cosθ=1,即θ=0(與方向相同)時(shí)，的值最大，，其最大值值為0.解法2：以直角頂頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)，兩直角角邊所在直直線為坐標(biāo)標(biāo)軸建立如如圖所示的的平面直角角坐標(biāo)系.設(shè)|AB|=c,|AC|=b，則A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x,-y).所以所以因?yàn)樗詂x-by=a2cosθ，所以故當(dāng)cosθ=1，即θ=0(與方向相同)時(shí)，的值最大，其其最大值為0.點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量量積是最基本本的向量的運(yùn)運(yùn)算，字符向向量的數(shù)量積積主要是將其其轉(zhuǎn)化為兩向向量模及夾角角余弦的積，，注意向量夾夾角與兩直線線夾角之間的的關(guān)系和轉(zhuǎn)化化.已知|a|=2，|b|=3，a與b的夾角為，，c=5a+3b，d=3a+kb，求當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，c⊥d？解：要使c⊥d，即c·d=0，即(5a+3b)·(3a+kb)=0，所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0，所以15×4+(9+5k)×2×3cos+3k·9=0，解得k=.所以當(dāng)k=時(shí)，c與d垂直.2.已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4，|b|=2.求：(1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b).解：依題意得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因?yàn)閨a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12，所以|a+b|=題型2向量的模(2)因?yàn)閨3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=16×19，所以|3a-4b|=.(3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a··b-2b2=42-(-4)-2×22=12.點(diǎn)評(píng)：求形如|a+b|的模，一般是是通過(guò)|a+b|2=(a+b)2把求模轉(zhuǎn)化為為數(shù)量積來(lái)求求解，注意求求得的是模的的平方，最后后求得其算術(shù)術(shù)平方根即可可.已知平面上三三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們相互之間間的夾角均為為120°.(1)求證：(a-b)⊥c；(2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范圍.解：(1)證明：因?yàn)閨a|=|b|=|c|=1,且a、b、c之間的夾角均均為120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|·cos120°=0,所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.(2)解法1：因?yàn)閨ka+b+c|>1，即|ka+b+c|2>1，即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1,因?yàn)閍·b=b·c=a·c=-，所以k2-2k>0，所以k<0或k>2.解法2：由已知a+b+c=0,故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|,|ka+b+c|>1(k∈R)|k-1|>1k<0或k>2.題型型3向量量的的夾夾角角點(diǎn)評(píng)評(píng)：：(1)中最最值值問(wèn)問(wèn)題題不不少少都都轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為函函數(shù)數(shù)最最值值問(wèn)問(wèn)題題解解決決，，因因此此解解題題關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于尋尋找找變變量量，，以以構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)．．而而(2)中即即為為數(shù)數(shù)量量積積定定義義的的應(yīng)應(yīng)用用．．已知知三三個(gè)個(gè)單單位位向向量量a，b，c，兩兩兩兩之之間間的的夾夾角角為為120°°，求求a-2b與c的夾夾角角.解：(a-2b)··c=a··c-2b··c=1××1××cos120°°-2××1××1××cos120°°=，又〈a-2b，c〉∈∈［0，π］，，所以以〈a-2b，c〉=arccos.1.向量量的的字字符符運(yùn)運(yùn)算算是是向向量量運(yùn)運(yùn)算算的的一一種種基基本本形形式式，，它它類(lèi)類(lèi)似似于于實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)的的字字母母運(yùn)運(yùn)算算，，在在沒(méi)沒(méi)有有幾幾何何背背景景和和向向量量坐坐標(biāo)標(biāo)的的向向量量問(wèn)問(wèn)題題中中，，一一般般通通過(guò)過(guò)這這種種運(yùn)運(yùn)算算解解答答相相關(guān)關(guān)問(wèn)問(wèn)題題.2.向量量的的字字符符運(yùn)運(yùn)算算以以向向量量的的數(shù)數(shù)量量積積為為核核心心，，由由此此解解決決有有關(guān)關(guān)向向量量的的模模和和夾夾角角問(wèn)問(wèn)題題.在字字符符運(yùn)運(yùn)算算中中求求向向量量的的模模，，一一般般先先求求模模的的平平方方，，再再轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為向向量量的的平平方方，，然然后后轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為數(shù)數(shù)量量積積進(jìn)進(jìn)行行運(yùn)運(yùn)算算.在字字符符運(yùn)運(yùn)算算中中求求向向量量的的夾夾角角，，一一般般先先利利用用數(shù)數(shù)量量積積的的定定義義求求夾夾角角的的余余弦弦，，再再根根據(jù)據(jù)夾夾角角的的范范圍圍求求向向量量的的夾夾角角.3.通過(guò)過(guò)向向量量的的字字符符運(yùn)運(yùn)算算求