【走向高考】高三數(shù)學一輪復習 132坐標系與參數(shù)方程課件（北師大）

知識梳理1．極坐標系在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，從O點引一條射線

，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)，這樣就確定了一個平面極坐標系，簡稱為極坐標系．對于平面內(nèi)任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以

為始邊，OM為終邊的角度，ρ叫作點M的

，θ叫做點M的

，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)叫作點M的極坐標，記作M(ρ、θ)．OxOx極徑極角當點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值；當ρ＜0時，點M(ρ、θ)的位置可以按下列規(guī)則確定：作射線OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延長線上取一點M，使|OM|＝|ρ|，這樣點M的坐標就是(ρ，θ)．平面內(nèi)一點的極坐標可以有無數(shù)對，當k∈Z時，

表示同一個點．(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)2．極坐標與直角坐標的互化設M是平面內(nèi)的任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原點外，平面內(nèi)點的直角坐標與極坐標之間就是一一對應的．點M的極坐標(ρ，θ)和直角坐標(x，y)的關系式為：

.θ所取值要由(x，y)所在象限確定．3．柱坐標在平面極坐標系的基礎上，通過極點O，再增加一條與極坐標系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標系，設M(x，y，z)為空間一點并設點M在xOy平面上的投影點P的極坐標為(r、θ)則這樣的三個數(shù)r，θ，z構成的有序數(shù)組(r，θ，z)就叫做點M的柱坐標，這里規(guī)定r，θ，z的變化范圍為0≤r＜＋∞0≤θ＜2π－∞＜z＜＋∞特別地，r＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

；z＝常數(shù)，表示的是

．顯然點M的直角坐標與柱坐標的關系為

.以z軸為軸的圓柱面過z軸的半平面與xOy平面平行的平面特別地r＝常數(shù)，表示的是

；φ＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

．點M的直角坐標與球坐標的關系為：

.以原點為球心的球面原點為頂點，z軸為x軸的圓錐面平行于z軸的半平面5．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為經(jīng)過過兩兩個個定定點點Q(x1，y1)P(x2，y2)(其其中中x1≠x2)的的直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為6．．圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程7．．圓圓錐錐曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程(1)橢橢圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程[點點評評]注意意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化時時兩兩邊邊同同乘乘以以ρ的技技巧巧．．結結合合圓圓的的位位置置關關系系及及兩兩圓圓長長度度的的最最大大值值在在何何時時取取得得，，即即可可解解得得．．[例例2]O為已已知知圓圓O′外外的的定定點點，，點點M在圓圓O′上上，，以以OM為邊邊作作正正三三角角形形OMN，當當點點M在圓圓O′上上移移動動時時，，求求點點N的軌軌跡跡方方程程(O，M，N逆時時針針排排列列)．．[解解析析]以O為極極點點，，以以O和已已知知圓圓圓圓心心O′所所在在射射線線為為極極軸軸，，建建立立極極坐坐標標系系，，如如圖圖5所所示示，，設設OO′＝＝ρ0，圓圓的的半半徑徑為為r，由余余弦弦定定理理得得圓圓O′的的極極坐坐標標方方程程為為ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ02－r2＝0.設N(ρ，θ)，，M(ρ1，θ1)，，∵點M在圓圓上上，，∴ρ12－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ02－r2＝0.①因為為△OMN為正正三三角角形形．．[點點評評]對于于有有些些幾幾何何圖圖形形，，選選用用極極坐坐標標系系可可以以使使建建立立的的方方程程更更加加簡簡單單．．本本題題涉涉及及角角度度、、長長度度，，選選用用極極坐坐標標系系則則更更易易將將已已知知的的幾幾何何條條件件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為數(shù)數(shù)量量關關系系．．⊙O1和⊙O2的極極坐坐標標方方程程分分別別為為ρ＝4cosθ，ρ＝－－4sinθ.(1)寫寫出出⊙O1和⊙O2的圓圓心心的的極極坐坐標標；；(2)求求經(jīng)經(jīng)過過⊙O1和⊙O2交點點的的直直線線的的極極坐坐標標方方程程．．(2)以以極點為為原點，，極軸為為x軸正半軸軸，建立立平面直直角坐標標系，兩兩坐標系系中取相相同的長長度單位位．x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐坐標方程程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐坐標方程程．[例3]已知知直線l經(jīng)過點A(1,2)，傾傾斜角為為(1)求求直線l的參數(shù)方方程；(2)求求直線l和圓x2＋y2＝9的兩兩個交點點到點A的距離之之積．[分析]根據(jù)直線線參數(shù)方方程中參參數(shù)t的幾何意意義，運運用一元元二次方方程根與與系數(shù)的的關系求求解．[例4]在圓圓x2＋y2－4x－2y－20＝＝0上求求兩點A和B，使它們們到直線線4x＋3y＋19＝＝0的距距離分別別最短和和最長．．[分析]利用圓的的參數(shù)方方程求解解．1．關于于平面直直角坐標標系中的的伸縮變變換函數(shù)y＝f(ωx)(x∈R)(其中中ω＞0，且且ω≠1)的的圖像，，可以看看作把f(x)圖像上上所有點點的橫坐坐標縮短短或伸長長為原來來的(縱坐坐標不變變)而得得到的．．函數(shù)y＝Af(x)(x∈R)(其中中A＞0且A≠1)的的圖像，，可以看看作f(x)圖像上上所有點點的縱坐坐標伸長長(當A＞1時)或縮短短(當0＜A＜1時)到原來來的A倍(橫坐坐標不變變)而得得到的．．2．關于于極坐標標系(1)極極坐標系系的四要要素：①極點；②極軸；③長度單位位；④角度單位位和它的的正方向向，四者者缺一不不可．(2)由由極徑的的意義知知ρ≥0，當當極角θ的取值范范圍是[0,2π)時時，平面面上的點點(除去去極點)與極坐坐標(ρ，θ)(ρ≠0)建建立一一一對應關關系，約約定極點點的極坐坐標是極極徑ρ＝0，極極角可取取任意角角．(3)極極坐標與與直角坐坐標的重重要區(qū)別別：多值值性．在在直角坐坐標系中中，點與與直角坐坐標是““一對一一”的關關系；在在極坐標標系中，，由于終終邊相同同的角有有無數(shù)個個，即點點的極角角不唯一一，因此此點與極極點是““一對多多”的關關系．但但不同的的極坐標標可以寫寫出統(tǒng)一一的表達達式．如如果(ρ，θ)是點M的極坐標，那那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作為為點M的極坐標．3．參數(shù)方程程和普通方程程的互化(1)化參數(shù)數(shù)方程為普通通方程：消去去參數(shù)．常用用的消參方法法有代入消去去法、加減消消去法、恒等等式(三角的的或代數(shù)的)消去法．(2)化普通通方程為參數(shù)數(shù)方程：引入入?yún)?shù)，即選選定合適的參參數(shù)t，先確定一個個關系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入入普通方程F(x，y)＝0，求得得另一關系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．(3)消參后后應將原參數(shù)數(shù)的取值范圍圍相應地轉(zhuǎn)化化為變量x(或y)的取值范圍圍．4．直線與圓圓錐曲線的參參數(shù)方程的應應用(1)根據(jù)直直線的參數(shù)方方程的標準式式中t的幾何意義，，有如下常用用結論：①直線與圓錐曲曲線相交，交交點對應的