2015-2016學年高二數學選修2-2課件：11變化率與導數（共35張PPT）

第三章導數及其應用牛頓萊布尼茲兩人同時創(chuàng)立了微積分第三章導數及其應用平均變化率問題一:工資增長率下面是一家公司的工資發(fā)放情況:工資的年薪s(單位：10元)與時間t(單位:年)成函數關系。年份12345年薪20002100230026003000公司的工資發(fā)放情況用y表示每年的平均工資增長率.試分析公司的效益發(fā)展趨勢？第一次第二次0.62dm0.16dm觀察小新接連兩次吹氣球時，氣球的膨脹程度。問題二:氣球膨脹率可以看出，隨著氣球的體積逐漸變大，氣球的平均膨脹率逐漸變小了。當氣球的空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？思考第0秒到第1秒這段時間內第1秒到第2秒這段時間內觀察小男孩崩極時的平均速度變化重復觀看請按4.9米14.7米問題三:高空崩極如果用小男孩在某段時間內的平均速度來描述其運動狀態(tài)，那么-v在0t1這段時間內在1t2這段時間內-v1-v2作崩極時，小男孩落下的高度h(單位：m)與跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-gt212可以看出，隨著跳后的時間的推移，小男孩下落的速度越來越大。思考小男孩跳后的時間從t1變化到t2時，平均速度是多少。h(t)=-gt212

在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時間t(單位:s)存在函數關系

如果用運動員在某段時間內的平均速度描述其運動狀態(tài),那么:在0≤t≤0.5這段時間里,在1≤t≤2這段時間里,問題四:高臺跳水式子稱為函數f(x)從x1到x2的平均變化率.令△x=

x2–x1,△y=f(x2)–

f(x1),則平均變化率的定義令x2=x1+△x，則

思考?

觀察函數f(x)的圖象平均變化率

表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直線AB的斜率例1、已知函數，分別計算在下列區(qū)間上的平均變化率：

（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]432.1應用鞏固例2：已知函數分別計算在區(qū)間[-3，-1]，[0，5]上及的平均變化率。

應用鞏固1.一質點運動的方程為s=1－2t2，則在一段時間[1，2]內的平均速度為（）

A．－4

B．－8

C．－6

D．6C練習題2.設函數y=f(x)，當自變量x由x0改變到x0+△x時，函數的改變量為（）

A．f(x0+△x)

B．f(x0)+△x

C．f(x0

)

·△x

D．f(x0+△x)－f(x0)D3.求函數y=5x2+6在區(qū)間[2，2+△x]

內的平均變化率?！鱵=［5(2+△x)2+6］-(5×22+6)=20△x+5△x2所以平均變化率為小結：

1.函數的平均變化率2.求函數的平均變化率的步驟:

3.函數的平均變化率的幾何意義：(1)求函數的增量：Δy；(2)計算平均變化率表示函數圖象上兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))連線（割線）的斜率。在高臺跳水中,運動員相對于水面的高度h(單位：米)與起跳后的時間t（單位：秒）存在關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10通過計算可得運動員在這段時間里的平均速度為0，這是否說明運動員在這段時間里是靜止的？由此可見用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有何問題？平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態(tài)，并不能反映某一刻的運動狀態(tài)。這就需要用瞬時速度來更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)。我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.如何求瞬時速度？

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度為h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2時的瞬時速度？2我們先考察ｔ＝2附近的情況。任取一個時刻2＋△ｔ，△ｔ是時間改變量，可以是正值，也可以是負值，但不為0.當△ｔ＜0時，在2之前；當△ｔ＞0時，在2之后?！鳎簦?時2＋△ｔ△ｔ＞0時2＋△ｔ△t<0時,在[2+△t,2]這段時間內△t>0時,在[2,2+△t]這段時間內當△t=–0.01時,當△t=

0.01時,當△t=–0.001時,當△t=0.001時,當△t=–0.0001時,當△t=0.0001時,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………

平均變化率近似地刻畫了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢.如何精確地刻畫曲線在一點處的變化趨勢呢?當Δt趨近于0時,平均速度有什么變化趨勢?瞬時速度

在局部以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。思考：⑴如何求瞬時速度？⑵lim是什么意思？在其下面的條件下求右面的極限值。⑶運動員在某一時刻ｔ0的瞬時速度如何表示?１、函數的平均變化率怎么表示？思考：定義:函數y=f(x)在x=

x0處的瞬時變化率是稱為函數y=f(x)在x=

x0處的導數,記作或,即

由導數的意義可知,求函數y=f(x)在點x0處的導數的基本方法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負.

自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx選擇哪種形式,Δy也必須選擇與之相對應的形式.一差、二比、三極限例1.(1)求函數y=3x2在x=1處的導數.(2)求函數f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．(3)質點運動規(guī)律為s=t2+3，求質點在t=3的瞬時速度.求函數在某處的導數636例2:(1)求函數y=x2在x=1處的導數;(2)求函數y=x+1/x在x=2處的導數.例2、將原油提煉為汽油，柴油，塑膠等各種不同的產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：OC）為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明他們的意義。

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5℃/h的速率上升.練習:例2、將原油提煉為汽油，柴油，塑膠等各種不同的產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：OC）為y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8)。計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明他們的意義。

在第2h和第6h時,原油溫度的瞬時變化率分別為–3和5.它說明在第2h附近,原油溫度大約以3℃/h的速率下降;在第6h附近,原油溫度大約以5℃/h的速率上升.小結