結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)ch2-1課件

第二章

單自由度體系的振動(dòng)

Single-Degree-of-FreedomSystems2主要內(nèi)容§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)§2.3有阻尼自由振動(dòng)§2.4對(duì)簡(jiǎn)諧荷載的響應(yīng)§2.5對(duì)周期荷載的響應(yīng)§2.6對(duì)沖擊荷載的響應(yīng)§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)3第二章單自由度體系的振動(dòng)單自由度體系動(dòng)力分析的重要性：②具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，或進(jìn)行初步的估算。很多實(shí)際動(dòng)力問(wèn)題可按單自由度體系計(jì)算。③多自由度體系動(dòng)力分析的基礎(chǔ)。①單自由度體系包括振動(dòng)分析中涉及到的所有物理量和基本概念。§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立1、水平振動(dòng)

作用在質(zhì)量塊上有三個(gè)真實(shí)力、一個(gè)虛擬的力：荷載、彈簧彈性力和阻尼力;慣性力根據(jù)力的平衡條件得:左邊的三個(gè)力都是位移y(t)或y(t)對(duì)時(shí)間t導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，正向與位移y(t)的負(fù)方向相對(duì)應(yīng)，與外荷載p(t)的方向相反。坐標(biāo)y的坐標(biāo)原點(diǎn)取在彈簧自然放松的位置。5§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程彈性力等于彈簧剛度k與位移y(t)的乘積：慣性力是質(zhì)量與加速度的乘積：阻尼為粘滯阻尼，則阻尼力是阻尼系數(shù)與速度的乘積:62、豎向振動(dòng)

質(zhì)量塊沿垂直方向上下振動(dòng)，建立振動(dòng)微分方程，考慮重力的影響?！?.1運(yùn)動(dòng)方程的建立7根據(jù)平衡條件，體系的振動(dòng)方程：§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

是由重力W產(chǎn)生的靜力位移，是不隨時(shí)間變化的，即：

是動(dòng)力位移，由靜力平衡位置開(kāi)始計(jì)算。

質(zhì)量塊m的總位移分解為兩部分：8彈簧力部分可寫(xiě)成：§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

相對(duì)于靜力平衡位置所寫(xiě)出的振動(dòng)方程不受重力影響，即重力對(duì)動(dòng)力位移無(wú)影響。

振動(dòng)方程：1、位移以靜力平衡位置作為基準(zhǔn)的，而這樣確定的位移即為動(dòng)力響應(yīng)。2、在求總撓度和總應(yīng)力時(shí)，要把動(dòng)力分析的結(jié)果與靜力分析結(jié)果相加。93、支座運(yùn)動(dòng)(激勵(lì)）的影響

結(jié)構(gòu)的動(dòng)位移和動(dòng)應(yīng)力既可以由動(dòng)荷載引起，也可以由結(jié)構(gòu)支座的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生。

§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立1）由地震引起建筑物基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)；2）由建筑物的振動(dòng)而引起安置在建筑物內(nèi)的設(shè)備基底的運(yùn)動(dòng)等等。10

1、地震動(dòng)問(wèn)題的簡(jiǎn)化模型§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

假定：

（1）剛架內(nèi)水平橫梁是剛性的，且包含了結(jié)構(gòu)所有的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量，（2）柱假定無(wú)重量且在軸向不能變形，抵抗剛架側(cè)向位移的恢復(fù)力由兩根柱的側(cè)向剛度來(lái)提供。地震導(dǎo)致的地面水平運(yùn)動(dòng)用相對(duì)于固定參考軸的結(jié)構(gòu)基底位移表示。11§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立一個(gè)自由度即可描述剛架的運(yùn)動(dòng)情況。剛架體系的平衡方程可寫(xiě)為：表示質(zhì)量相對(duì)于參考軸的總位移，即：彈性力和阻尼力與前相同，而慣性力則由下式計(jì)算：12

運(yùn)動(dòng)方程：或：

§2.1運(yùn)動(dòng)方程的建立

：等效荷載，即在地面加速度影響下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)就和在外荷載作用下的響應(yīng)一樣，只是外荷載等于質(zhì)量和地面加速度的乘積。

負(fù)號(hào)表示等效力的方向和地面加速度方向相反。13§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)

自由振動(dòng)(freevibration)

：無(wú)外界干擾的體系振動(dòng)形態(tài)稱為自由振動(dòng)（freevibration）。振動(dòng)是由初始位移或初始速度或兩者共同影響下所引起的。無(wú)阻尼自由振動(dòng)：如果阻尼系數(shù)等于零，則這種自由振動(dòng)稱為無(wú)阻尼自由振動(dòng)（undampedfreevibration）。假設(shè)由于外界干擾，質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)平衡位置，干擾消失后，質(zhì)點(diǎn)將圍繞靜力平衡點(diǎn)作自由振動(dòng)。14..1）自由振動(dòng)微分方程的建立(依據(jù)原理：達(dá)朗伯原理)mky(t)y(t)a、剛度法(stiffnessmethod)kmymky從力系平衡建立的自由振動(dòng)微分方程：....(D’Alember’sprinciple)§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)1、運(yùn)動(dòng)方程建立及其解的形式15§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)令齊次微分方程，其通解為：系數(shù)C1和C2可由初始條件（initialcondition）確定。設(shè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)，有初始位移y0和初始速度v0，即：

求得：16比較兩式得：§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)形式a：振幅，：初相位角。Amplitudeofvibrationinitialphaseangle（a）沒(méi)有初始速度，僅由初始位移引起的振動(dòng)按的規(guī)律變化；（b）沒(méi)有初始位移，僅由初始速度引起的振動(dòng)按的規(guī)律變化：（c）既有初始位移，又有初始速度引起的振動(dòng)形態(tài)按方程進(jìn)行。17y(t)ty0－y0y(t)tv0/ω－v0/ωTta－aTα/ω§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)18§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)當(dāng)時(shí)間t

增加一個(gè)時(shí)，上式保持不變，即：

2、結(jié)構(gòu)的自振周期T:自由振動(dòng)的周期，單位為秒（s）。:頻率，表示單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù)，單位為1/秒（1/s），或稱為赫茲（Hz）。:圓頻率或角頻率，表示在個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的振動(dòng)次數(shù),單位為rad/s。

經(jīng)過(guò)一個(gè)周期T后，質(zhì)點(diǎn)又回到了原來(lái)的位置，因此周期T稱為自振周期或固有周期（naturalperiold）。19§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)計(jì)算自振周期的幾種形式：（1）由周期和圓頻率的定義可知：（2）將代入上式，得：（3）將代入上式，得：（4）令，得：20

圓頻率也僅與結(jié)構(gòu)參數(shù)k和m有關(guān)，即僅與結(jié)構(gòu)體系本身的固有性質(zhì)有關(guān)，而與初始干擾無(wú)關(guān)，故稱為固有頻率或自振頻率（naturalfrequency）。

§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)圓頻率計(jì)算公式的幾種形式：21結(jié)構(gòu)自振動(dòng)周期重要性質(zhì)：（1）自振動(dòng)周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度有關(guān)，而且只與這兩者有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力的大小只能影響振幅A的大小，而對(duì)結(jié)構(gòu)自振周期T的大小沒(méi)影響?！?.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)（2）自振周期與質(zhì)量平方根成正比，質(zhì)量越大，則周期越大；自振周期與剛度的平方根成反比，剛度越大，則周期越小。要改變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度。22（4）自振周期是結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的一個(gè)重要的數(shù)量標(biāo)志。

a、兩個(gè)外表相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差很大，則動(dòng)力性能相差很大；

b、兩個(gè)外表看來(lái)并不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動(dòng)荷載作用下其動(dòng)力性能基本一致。地震中常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象。§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)（3）把集中質(zhì)點(diǎn)放在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生最大位移的地方，則可以得到最低的自振頻率和最大的振動(dòng)周期。23例2-1

懸臂梁長(zhǎng)度L=1米，其末端裝一重量Q=1221N的電動(dòng)機(jī)，梁為鋼梁，彈性模量E=2.1×1011N/m2，慣性矩I=78×10-8m4，與電動(dòng)機(jī)重量相比梁的重量可以略去。求結(jié)構(gòu)的自振圓頻率及周期。

§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：懸臂梁在豎向力Q作用下，端部的豎向位移為:自振周期：自振頻率：24例2-2

：求剛架的自振頻率，不考慮橫梁的變形。§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：使橫梁發(fā)生單位位移所需外力k為:自振頻率：

25例2-3：圖示三根單跨梁，EI=常數(shù)，在梁中點(diǎn)有集中質(zhì)量m，不考慮梁的質(zhì)量，試比較三者的自振頻率。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm解：1）求δP=13l/165l/32P=1l/2§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)26l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm據(jù)此可得：結(jié)構(gòu)約束越強(qiáng),其剛度越大,剛度越大,其自振動(dòng)頻率也越大?！?.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)27l/2l/2ml/2l/2k1ACBQCAQCB§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)用剛度法：28例2-4:求圖示剛架的自振頻率。不計(jì)柱的質(zhì)量。EIEIEI1=∞mlh13EI/h26EI/h26EI/h2k12EI/h33EI/h3§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：2911l/32l/3m例2-5§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：30l/2lm1§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)解：例2-631h1θ例2-7解法1：求kθ=1/hMBA=kh=MBCk1hmI=∞EIBAC1解法2：求δ§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)32例2-8lEImk1k11k11k解：求k§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)33對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)一般計(jì)算柔度系數(shù)方便。如果讓振動(dòng)體系沿振動(dòng)方向發(fā)生單位位移時(shí)，所有剛節(jié)點(diǎn)都不能發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)（如橫梁剛度為無(wú)窮大的剛架)計(jì)算剛度系數(shù)方便。一端鉸結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：兩端剛結(jié)的桿的側(cè)移剛度為：§2.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)mky1)c不存在0y(t)tmky=0c2)c存在阻尼是客觀存在的振幅隨時(shí)間減小，這表明在振動(dòng)過(guò)程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼。

（1）產(chǎn)生阻尼的原因1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦2)材料之間的內(nèi)摩擦3)周圍介質(zhì)的阻力

（2）阻尼力的確定1)與質(zhì)點(diǎn)速度成正比2)與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比3)與質(zhì)點(diǎn)速度無(wú)關(guān)粘滯阻尼§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

35§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

如果體系內(nèi)存在阻尼，單自由度體系的自由振動(dòng)微分方程為:令：則方程可改寫(xiě)為：ykykmP(t)y.(阻尼比dampingratio

）36特征方程的解為：§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

設(shè)方程解的形式為：特征方程：(characteristicequation)37§2.3有阻尼的自由振動(dòng)的通解為：

所對(duì)應(yīng)的阻尼系數(shù)c稱為臨界阻尼系數(shù)，記為ccr，其計(jì)算公式為：

C1和C2為兩個(gè)積分常數(shù)，由初始條件確定。有阻尼自由振動(dòng)的特性與根式（）的符號(hào)有關(guān)。38§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

阻尼比(dampingratio

）

稱為阻尼比（dampingratio）,反映了阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)之比。一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對(duì)一般建筑結(jié)構(gòu)，其阻尼比約在0.01-0.1之間。39

體系的阻尼系數(shù)小于臨界阻尼系數(shù)，稱為低阻尼體系（underdamping）。式可寫(xiě)為:§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

振動(dòng)微分方程:其中，稱為阻尼固有頻率。（1）當(dāng)＜1時(shí)

解為：40§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

或：其中：A1及A2或A及由初始條件確定。設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，初始位移和初始速度分別為：將此初始條件代入方程解，可得：41

表示低阻尼下的自由振動(dòng)，不是一個(gè)嚴(yán)格的周期振動(dòng)，是一個(gè)減幅的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，可稱為準(zhǔn)周期振動(dòng)，其往復(fù)一次的周期時(shí)間為：衰減因子阻尼對(duì)周期影響？§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

或：42§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

tyty低阻尼y-t曲線

其衰減簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)如圖所示。在有阻尼自由振動(dòng)中，由于阻尼不斷消耗能量又沒(méi)有外界能量補(bǔ)充，因此結(jié)構(gòu)系統(tǒng)總能量不斷減少，振幅不斷衰減。43§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

（a）、阻尼對(duì)固有頻率的影響

有阻尼和無(wú)阻尼的固有頻率和間的關(guān)系式:在＜1的低阻尼情況下，恒小于

，而且隨的增大而減小。但一般材料的阻尼比都很小，例如鋼（0.004~0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。對(duì)一般建筑結(jié)構(gòu)，其阻尼比約在0.01-0.1之間。如果＜0.2則0.96＜＜1，即與的值很接近。所以說(shuō)阻尼對(duì)固有頻率的影響很小.一般可認(rèn)為:阻尼對(duì)固有頻率基本無(wú)影響！44

§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

值愈大，振幅衰減速度愈快。經(jīng)過(guò)一個(gè)周期T后，相鄰兩個(gè)振幅與比值為：（b）、阻尼對(duì)振幅的影響振幅為，阻尼比出現(xiàn)在指數(shù)項(xiàng)，對(duì)振幅有較大影響。45兩邊進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后可得：§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

如果＜0.2，則，46§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比只差一個(gè)常數(shù)倍。工程中常用此方法測(cè)定阻尼

稱為對(duì)數(shù)衰減率（logarithmicdecrement），表征系統(tǒng)的阻尼情況，用表示，定義為兩個(gè)相鄰的同號(hào)位移值之比的自然對(duì)數(shù)，即:47

§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

對(duì)于阻尼較小的體系，取相隔幾周的響應(yīng)峰值來(lái)計(jì)算阻尼比，可以獲得更高的精度。當(dāng)＜0.2時(shí)，即時(shí)，用和表示兩個(gè)相隔n個(gè)周期的振幅，可得：48§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

（2）當(dāng)=1時(shí)體系阻尼等于臨界阻尼（criticaldamping）。臨界阻尼是在自由振動(dòng)響應(yīng)中不出現(xiàn)振動(dòng)所需的最小阻尼值。方程的特解為:設(shè)初始條件：

t=0時(shí)初始位移為，初始速度為，則：49

運(yùn)動(dòng)不呈振動(dòng)形式，按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增大而逐漸衰減以至消失。§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

因此：tyy0θ0這條曲線仍具有衰減性，但不具有波動(dòng)性。50§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

相應(yīng)的通解為:（3）當(dāng)＞1時(shí)體系的阻尼大于臨界阻尼時(shí)，稱為超阻尼體系（overdamping）。這時(shí)方程的特征根為:51

§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

故：設(shè)t=0時(shí)，初始位移稱為，初始速度為，待定系數(shù)為:52§2.3有阻尼的自由振動(dòng)

運(yùn)動(dòng)也不再呈振動(dòng)形式，而是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間t的增