統(tǒng)計學(xué)課件 ch6 參數(shù)估計課件

第6章參數(shù)估計教學(xué)內(nèi)容6.1抽樣與抽樣分布6.2參數(shù)估計的基本方法6.3總體均值的區(qū)間估計6.4總體成數(shù)的區(qū)間估計6.5樣本容量的確定學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握樣本平均數(shù)和樣本成數(shù)的抽樣分布理解總體參數(shù)點估計的基本方法及其優(yōu)良標(biāo)準(zhǔn)；掌握總體均值和成數(shù)指標(biāo)的區(qū)間估計方法；會做題目6.1抽樣與抽樣分布6.1.1什么是抽樣推斷抽樣推斷是按隨機(jī)性原則，從研究對象中抽取一部分個體進(jìn)行觀察，并根據(jù)所得到的觀察數(shù)據(jù)，對研究對象的數(shù)量特征作出具有一定可靠程度的估計和推斷，以達(dá)到認(rèn)識總體的目的的一種統(tǒng)計方法。統(tǒng)計推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差6.1抽樣與抽樣分布6.1.2抽樣推斷中的基本概念總體與樣本(見第一章)樣本量與樣本個數(shù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣這些概念是統(tǒng)計學(xué)特有的，體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的基本思想與方法。4-6（一）總體和樣本（參見第1章）1.總體：又稱全及總體、母體，指所要研究對象的全體，由許多客觀存在的具有某種共同性質(zhì)的單位構(gòu)成?？傮w單位數(shù)用N

表示。2.樣本：又稱子樣，來自總體，是從總體中按隨機(jī)原則抽選出來的部分，由抽選的單位構(gòu)成。樣本單位數(shù)用

n

表示。3.總體是唯一的、確定的，而樣本是不確定的、可變的、隨機(jī)的。4-7（二）樣本容量與樣本個數(shù)樣本容量：一個樣本中所包含的單位數(shù)，用n表示。樣本個數(shù)：又稱樣本可能數(shù)目，指從一個總體中所可能抽取的樣本的個數(shù)。對于有限總體，樣本個數(shù)可以計算出來。樣本個數(shù)的多少與抽樣方法有關(guān)。(這個概念只是對有限總體有意義，對無限總體沒有意義！)8（三）總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計量總體參數(shù)：反映總體數(shù)量特征的指標(biāo)。其數(shù)值是唯一的、確定的。樣本統(tǒng)計量：根據(jù)樣本分布計算的指標(biāo)。是隨機(jī)變量。平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差、方差成數(shù)參數(shù)、2P統(tǒng)計量s、s2p總體樣本9（四）重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣重置抽樣與不重置抽樣例如從A、B、C、D、E五個字母中隨機(jī)抽取兩個作為樣本。N=5，n=2重復(fù)抽樣：樣本總個數(shù)=不重復(fù)抽樣：不考慮順序：樣本總個數(shù)注：不重復(fù)抽樣的樣本量受總體大小限制，即n不能超過N，最多等于N；但重復(fù)抽樣的樣本量不受總體大小的影響。106.1.3抽樣分布抽樣分布：主要求出樣本平均數(shù)的期望與方差包括以下內(nèi)容樣本平均數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布抽樣分布

設(shè)從總體中抽出的樣本為X1，X2，…,Xn，由于是重復(fù)抽樣，每個Xi，(i=1,2,…,n)都是從總體中隨機(jī)抽出的，都是與總體同分布的隨機(jī)變量，并且是相互獨立的。我們設(shè)總體的平均數(shù)為，方差為2，則樣本平均數(shù)的期望值與方差分別是：一、重置抽樣條件下樣本平均數(shù)的抽樣分布12（一）樣本平均數(shù)的分布（P108-109）某班組5個工人的日工資為34、38、42、46、50元。=422=32現(xiàn)用重置抽樣的方法從5人中隨機(jī)抽2個構(gòu)成樣本。共有52=25個樣本。如右圖。13驗證了以下兩個結(jié)論：抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差反映所有的樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的平均誤差，稱為抽樣平均誤差，用表示。（一）樣本平均數(shù)的分布14（一）樣本平均數(shù)的分布由概率論知，如果總體是正態(tài)分布的，則樣本平均數(shù)的抽樣分布是如下正態(tài)分布這是一個非常重要的結(jié)論，有廣泛的應(yīng)用。15（二）樣本成數(shù)的分布（P111-112）總體成數(shù)P是指具有某種特征的單位在總體中的比重。成數(shù)是一個特殊平均數(shù)，設(shè)總體單位總數(shù)目是N，總體中有該特征的單位數(shù)是N1。設(shè)x是0、1變量（總體單位有該特征，則x取1，否則取0），則有：現(xiàn)從總體中抽出n個單位，如果其中有相應(yīng)特征的單位數(shù)是n1，則樣本成數(shù)是：p也是一個隨機(jī)變量，利用樣本平均數(shù)的分布性質(zhì)結(jié)論，即有：16二、不重置抽樣條件下樣本均值和成數(shù)的抽樣分布樣本均值的分布性質(zhì)：樣本成數(shù)的分布性質(zhì)17抽樣分布總結(jié)樣本平均數(shù)的分布樣本成數(shù)的分布重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣（三）抽樣分布定理1.正態(tài)分布再生定理113總體是正態(tài)分布，抽取容量n的樣本，樣本平均數(shù)也服從正態(tài)分布。樣本平均數(shù)是更加集中的分布在總體平均數(shù)的周圍。2.中心極限定理114大樣本的平均數(shù)近似服從正態(tài)分布。6.2參數(shù)估計6.2.1估計量與估計值用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)，用來估計總體參數(shù)的統(tǒng)計量叫做估計量，估計量的取值稱為估計值。參數(shù)估計的方法估計方法點估計區(qū)間估計二、點估計

點估計的定義

點估計就是根據(jù)總體參數(shù)與樣本統(tǒng)計量之間的內(nèi)在聯(lián)系，直接以樣本統(tǒng)計量作為相應(yīng)總體參數(shù)的估計量。在統(tǒng)計中經(jīng)常使用的點估計量有：【例6-1】對某企業(yè)的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢驗，設(shè)抽出100件產(chǎn)品，其中不合格產(chǎn)品5件，試估計該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是多少？

我們可以通過樣本的合格率來估計企業(yè)產(chǎn)品的合格率。樣本合格率p=95/100=95%，我們估計該企業(yè)產(chǎn)品的合格率是95%。二、點估計所謂區(qū)間估計，就是估計總體參數(shù)的區(qū)間范圍，并要求給出區(qū)間估計成立的概率值。設(shè)和是兩個統(tǒng)計量(<)，分別作為總體參數(shù)區(qū)間估計的下限與上限，則要求：

P()=1-α式中α(0<α<1)是區(qū)間估計的顯著性水平，其取值大小由實際問題確定，經(jīng)常取1%、5%和10%；1-α稱為置信度。（二）區(qū)間估計1、總體未知參數(shù)落在區(qū)間內(nèi)的概率2、表示為(1-為顯著性水平，是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率3、常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平(置信度)區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了

%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2（二）區(qū)間估計參數(shù)估計應(yīng)滿足以下兩個要求：一是估計的精確度要求，二是可靠性要求。所謂精確度就是估計誤差的最大范圍，即誤差的最大值，可通過極限誤差來反映；所謂可靠性是指估計結(jié)果正確的概率大小。置信區(qū)間越小，精確性越高，但是可靠性下降;置信區(qū)間越大，可靠性越大，但是精確性降低。因此，精確性和可靠性是一對矛盾。

無偏性用表示總體的待估計參數(shù)，是估計的樣本統(tǒng)計量，我們說是的無偏估計，指的是滿足：6.2.3評價估計量的標(biāo)準(zhǔn)

無偏性無偏性要求用來估計總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計量，其分布是以總體參數(shù)真值為中心的。在一次具體的抽樣估計中，估計量或者大于總體參數(shù)，或者小于總體參數(shù)；但是，在進(jìn)行重復(fù)抽樣估計的過程中，所有估計量的平均數(shù)應(yīng)該等于待估的總體參數(shù)。這說明，無偏估計要求估計量沒有系統(tǒng)偏差。估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則——（無偏性）P(X)XCA無偏有偏無偏性：估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)這就是為什么樣本方差用n-1的原因！

一致性一致性是指隨著樣本容量不斷增大，樣本統(tǒng)計量接近總體參數(shù)的可能性就越來越大，或者，對于任意給定的偏差控制水平，兩者間偏差高于此控制水平的可能性越來越小，接近于0。

一致性用公式表示就是：

公式中，ε為一任意小的數(shù)。上式說明，當(dāng)n充分大時，與之間的偏差，可以有很大的把握被控制在任意給定的范圍之內(nèi)。當(dāng)n趨于無窮大時，估計量依概率收斂于。估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則——（一致性）一致性：隨著樣本容量的增大，估計量越來越接近被估計的總體參數(shù)AB較小的樣本容量較大的樣本容量P(X)X

有效性

和都是總體參數(shù)的無偏估計量，如果，則說明估計量比更有效。

有效性設(shè)總體的方差是，我們有：顯然，樣本平均數(shù)的方差比樣本中某個單位的標(biāo)志值的方差要小，只是其方差的1/n，所以作為估計量，樣本平均數(shù)更加有效。6.3.1區(qū)間估計基本原理6.3總體均值的區(qū)間估計所謂抽樣極限誤差范圍是指變動的樣本估計值與確定的總體參數(shù)之間離差的可能范圍，它可以用樣本估計值與總體參數(shù)的最大絕對誤差限來表示。6.3.2正態(tài)分布且總體方差已知；或非正態(tài)分布方差未知，且大樣本2

已知2未知均值方差成數(shù)區(qū)間

估計平均數(shù)的區(qū)間估計對總體平均數(shù)區(qū)間估計時，使用下面的式子

(式中Δ是極限誤差)有兩種模式：1、根據(jù)置信度1-α，求出極限誤差Δ，并指出總體平均數(shù)的估計區(qū)間。2、給定極限誤差，求置信度(略)。當(dāng)σ已知時，根據(jù)相關(guān)的抽樣分布定理，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。查正態(tài)分布概率表，

可得（一般記為），則，根據(jù)重復(fù)抽樣與不重復(fù)抽樣的求法的不同，進(jìn)一步可得總體平均數(shù)的估計區(qū)間：重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為：不重復(fù)抽樣時，區(qū)間的上下限為：均值區(qū)間估計—第1種模式(求置信區(qū)間)正態(tài)分布且總體方差已知P.119【例6.3】這一類計算題的基本做法：先計算出樣本指標(biāo)，然后根據(jù)所給條件（重復(fù)抽樣或不重復(fù)抽樣）進(jìn)行抽樣平均誤差的計算，抽樣極限誤差的計算，最后根據(jù)樣本指標(biāo)和極限誤差進(jìn)行期間估計。大樣本，一般總體在大樣本條件下，根據(jù)中心極限定理，樣本平均數(shù)近似服從正態(tài)分布，仍可按上述方法進(jìn)行估計。如果總體方差已知用總體方差，如果總體方差未知用樣本方差代替總體方差，樣本平均數(shù)仍然近似服從正態(tài)分布。

大樣本，一般總體（方差已知）【例】某地區(qū)的電視臺委托調(diào)查公司估計地區(qū)內(nèi)居民平均每日的看電視時間。調(diào)查公司隨機(jī)抽取了100名居民進(jìn)行調(diào)查，樣本數(shù)據(jù)顯示平均每人每天看電視時間是4個小時。如果已知總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ=1.5小時。試求：(1)該地區(qū)內(nèi)居民每天看電視的平均時間的置信區(qū)間(置信度是95%)；大樣本，一般總體（方差未知）總體分布未知且總體方差未知，大樣本條件下，由中心極限定理知，近似服從正態(tài)分布，此處用樣本方差s代替總體方差。P120，例6.4總體方差未知(2未知)，小樣本

：

當(dāng)總體服從正態(tài)分布但方差未知時，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s代替總體標(biāo)準(zhǔn)差。這時統(tǒng)計量是：t服從的分布不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是自由度為n-1的t-分布(當(dāng)n很大時，近似正態(tài)分布)。因此，總體均值的區(qū)間估計是：總體方差未知(2未知)

：重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣

4-48總體均值區(qū)間估計總結(jié)總體平均數(shù)估計區(qū)間的上下限總體方差已知N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣總體方差未知t(n-1)大樣本時近似服從N(0,1)重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣

如果是正態(tài)總體4-49

如果不是正態(tài)總體，或分布未知總體方差已知且是大樣本總體方差未知且是大樣本

此時不考慮小樣本情況因此，大樣本情況下，直接用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布求置信區(qū)間即可。成數(shù)指標(biāo)是一個特殊的平均數(shù)。所以，類似于總體平均數(shù)的區(qū)間估計，總體成數(shù)的區(qū)間估計是：式中的成數(shù)抽樣平均誤差在重復(fù)抽樣條件下是：在不重復(fù)抽樣的條件下是：在實踐中，由于總體成數(shù)常常未知，這時，抽樣平均誤差公式中的總體成數(shù)用樣本成數(shù)代替。6.4總體成數(shù)的區(qū)間估計【例6-3】某工廠要估計一批總數(shù)5000件的產(chǎn)品的廢品率，于是采用不重復(fù)性抽樣方法，隨機(jī)抽出400件產(chǎn)品進(jìn)行檢測，發(fā)現(xiàn)有32件廢品。試給出該批產(chǎn)品的廢品率的區(qū)間估計(置信度是90%)。

總體平均數(shù)的區(qū)間估計第一，樣本抽取后，用簡單算術(shù)平均或加權(quán)平均的方法計算樣本平均數(shù)。第二，搜集總體數(shù)量標(biāo)志方差的經(jīng)驗數(shù)據(jù)或計算樣本數(shù)量標(biāo)志方差s2。第三，計算抽樣平均數(shù)的平均誤差：第四，根據(jù)概率F(Z)確定Z，計算平均數(shù)的極限誤差。第五，總體平均數(shù)的置信區(qū)間。區(qū)間估計小結(jié)(重置抽樣)(不重置抽樣)第一，樣本抽取后，計算樣本成數(shù)。第二，用樣本是非標(biāo)志方差p(1-p)或經(jīng)驗數(shù)據(jù)代替總體是非標(biāo)志方差P(1-P)。第三，計算抽樣成數(shù)的平均誤差：第四，根據(jù)概率F(Z)確定Z，計算平均數(shù)的極限誤差：第五，總體平均數(shù)P的置信區(qū)間。

總體成數(shù)的區(qū)間估計(重置抽樣)(不重置抽樣)練習(xí)某地有八家銀行，從它們所有的全體職工中隨機(jī)抽取600人進(jìn)行調(diào)查，得知其中的486人在銀行里有個人儲蓄存款，存款金額平均每人3400元，標(biāo)準(zhǔn)差500元，試以95.45%的可靠性推斷：（1-α=95.45%，則z=2）1)全體職工中有儲蓄存款者所占比率的區(qū)間范圍2)平均每人存款金額的區(qū)間范圍（1）已知：n=600，p=81%，又1-α=95.45%，則z=2所以故全體職工中有儲蓄存款者所占比率的區(qū)間范圍為81%±0.032%（2）平均每人存款金額的區(qū)間范圍為6.5樣本容量的確定在前面我們已經(jīng)知道，極限誤差、概率度與抽樣平均誤差三者間的數(shù)量關(guān)系是：。當(dāng)抽樣平均誤差保持不變時，極限誤差與概率度兩者間關(guān)系是：Δ增大，z也增大了，Δ減小，z也減小了。樣本容量的確定因此，抽樣估計的精度與可靠性之間存在矛盾：要提高精度(Δ減小)，需以犧牲概率度(z減小)為代價；要提高概率度(z增大)，又要以犧牲估計精度(Δ增大)為代價。在不變的情況下，這對矛盾是不可調(diào)和的；但是，降低抽樣平均誤差后，就可以同時提高估計的精度與概率度。樣本容量的確定例如：通過增加樣本容量n來達(dá)到降低抽樣平均誤差目標(biāo)。這時應(yīng)該考慮，樣本容量n究竟取多大合適？這就是樣本容量的確定問題。6.5.1估計總體均值時樣本容量的確定總體方差已知，重復(fù)抽樣（重點）這時有：上式兩邊平方整理后可得：

這就是在給定極限誤差、概率度要求下，至少應(yīng)抽取的樣本容量。估計總體均值時樣本容量的確定總體方差已知，不重復(fù)抽樣這時有：上式兩邊平方整理后可得：

6.5.2估計總體成數(shù)時樣本容量的確定重復(fù)抽樣（重點）不重復(fù)抽樣4-62確定樣本容量在設(shè)計抽樣時，先確定允許的誤差范圍和必要的概率保證程度，然后根據(jù)歷史資料或試點資料確定總體的標(biāo)準(zhǔn)差，最后來確定樣本容量。估計總體均值時樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣估計成數(shù)時樣本容量的確定重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣6.5.3應(yīng)注意的問題

計算樣本容量時，一般總體的方差與成數(shù)都是未知的，可用有關(guān)資料替代：一是用歷史資料已有的方差與成數(shù)代替；二是在進(jìn)行正式抽樣調(diào)查前進(jìn)行幾次試驗性調(diào)查，用試驗中方差的最大值代替總體方差；三是成數(shù)方差在完全缺乏資料的情況下，就用成數(shù)方差的最大值0.25代替。三、應(yīng)注意的問題

如果進(jìn)行一次抽樣調(diào)查，同時估計總體