空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系

空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系一、平面1.平面的概念：平面是一個(gè)不加定義，只需理解的原始概念．立體幾何里所說(shuō)的的平面是從現(xiàn)實(shí)生活中常見(jiàn)的平面抽象出來(lái)的．常見(jiàn)的桌面、平靜的水面等都給我們以平面的局部形象．平面是理想的、絕對(duì)的平且無(wú)大小，無(wú)厚度，不可度量．2.平面的表示方法：一個(gè)平面：當(dāng)平面是水平放置的時(shí)候，通常把平行四邊形的銳角畫(huà)成45o，橫邊畫(huà)成鄰邊的 2倍長(zhǎng)，如右圖．兩個(gè)相交平面：畫(huà)兩個(gè)相交平面時(shí)，通常要化出它們的交線，當(dāng)一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫(huà)成虛線或不畫(huà)（如下圖）運(yùn)用集合觀點(diǎn)準(zhǔn)確使用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平面從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而可以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表示點(diǎn)、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言A aA aAAaIb AaaIaI A

文字語(yǔ)言（讀法）點(diǎn)A在直線a上點(diǎn)A不在直線a上點(diǎn)A在平面點(diǎn)A不在平面直線a、b交于A點(diǎn)直線a在平面直線a與平面 無(wú)公共點(diǎn)直線a與平面 交于點(diǎn)AI l 平面 、 相交于直線 l二、平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面，那么這條直線在這個(gè)平面A推理模式：

AB

． 如圖示：B或者：∵

A

,B

，∴

AB公理1的作用：①判定直線是否在平面；②判定點(diǎn)是否在平面；③檢驗(yàn)面是否是平面．公理2經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A,B,C不共線推理模式：

A,B,CA,B,C

與 重合或者：∵

A,B,C

不共線，∴存在唯一的平面

，使得

A,B,C

.推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．(1)以上是確定平面的四個(gè)不同的條件， 是判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)， 是證明點(diǎn)線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù)．(2)“有且只有一個(gè)”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說(shuō)圖形的存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一．因此，在證明有關(guān)這類(lèi)語(yǔ)句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來(lái)論證．2.公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn) ,有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線A推理模式：

A l

I

如圖示：A或者：∵

A

,A

，∴

I

l,A

l公理3的作用：判斷兩個(gè)平面是否相交及交線位置；判斷點(diǎn)是否在線上、證明空間三點(diǎn)共線問(wèn)題通常證明這些點(diǎn)都在兩個(gè)平面的交線上，即先確定出某兩點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上，再證明第三點(diǎn)既在第一個(gè)平面，又在第二個(gè)平面。、證明空間三線共點(diǎn)可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條的兩個(gè)平面的交線，然后再證明另兩條直線的交點(diǎn)在此直線上。、證明空間幾點(diǎn)共面問(wèn)題可先取三點(diǎn)（不共線的三點(diǎn)）確定一個(gè)平面，再證明其他各點(diǎn)都在這個(gè)平面三、空間兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相交直線在同一平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行直線在同一平面沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線不同在任何一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)四、平行直線公理4平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式： a//b,b//c a//c．(1)它是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)； (2)它說(shuō)明平行關(guān)系具有傳遞性2.等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．五、異面直線定義：不在任何一個(gè)平面的兩條直線叫做異面直線(1)異面直線既不平行，也不相交，永遠(yuǎn)不存在一個(gè)平面能同時(shí)包含這兩直線；(2)不能把異面直線誤認(rèn)為：分別在不同平面的兩條直線為異面直線(3)異面直線一般是對(duì)兩條直線而言的，沒(méi)有三條異面直線的說(shuō)法．2．異面直線的畫(huà)法畫(huà)異面直線時(shí)，為了充分顯示不共面的特點(diǎn)，常常需要以輔助平面為襯托，以加強(qiáng)直觀性．3．異面直線判定定理過(guò)平面一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線lA推理模式： 直線AB與直線l是異面直線BB L六、異面直線所成的角1.定義：已知

a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)

O作直線

a//a,b//b，我們把直線

a和b

所成的銳角（或直角）叫做異面直線

a，b所成的角．(1)異面直線所成的角與 O點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作 a b．(3)異面直線所成角的圍是 0, ．2求異面直線所成角的步驟1）恰當(dāng)選點(diǎn)，由平移構(gòu)造出一個(gè)交角；2）證平行關(guān)系成立；3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；4）作結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是所求異面直線所成的角．七、直線、平面的位置關(guān)系1．空間直線與平面的位置關(guān)系有以下三種：(1)直線在平面：如果一條直線 a與平面α有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，那么這條直線就在這個(gè)平面，記作a?α.(2)直線與平面相交：直線a與平面α只有一個(gè)公共點(diǎn)A，叫做直線與平面相交，記作a∩α＝A，公共點(diǎn)A叫做直線a與平面α的交點(diǎn)．(3)直線與平面平行：如果一條直線a與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，叫做直線與平面平行，記作a∥α.2.兩個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有一下兩種：(1)兩個(gè)平面平行 ---沒(méi)有交點(diǎn)(2)兩個(gè)平面相交 ---有一條公共直線3.順次連接不共面的四點(diǎn)A、B、C、D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個(gè)點(diǎn)中的各個(gè)點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連接的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的對(duì)角線．一、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系 交點(diǎn)個(gè)數(shù) 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言直線在平面 無(wú)數(shù)個(gè) a直線與平面相交 只有一個(gè)

aI A直線在平面外直線與平面平行 沒(méi)有 a//二、直線和平面平行1.定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這條直線與這個(gè)平面平行．2.判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．a(chǎn)推理模式：b a//a//b特別說(shuō)明：1、定理中的三個(gè)條件缺一不可．2、該定理的作用：證明線面平行．3、該定理可簡(jiǎn)記為“線線平行，則線面平行．”3.性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，行．

經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，

那么這條直線就和交線平a//推理模式

a

a//bI

b特別說(shuō)明：1、定理中的三個(gè)條件缺一不可． 2、該定理的作用：證明線線平行．3、該定理可簡(jiǎn)記為“線面平行，則線線平行．”三、平面和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)

兩平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)

兩平面相交有一條公共直線符號(hào)表示

//

I

a圖形表示四、平面與平面平行1.兩平面互相平行的定義如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面平行．2.兩平面平行的判定定理如果一個(gè)平面有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．a(chǎn)

,a//推理模式：

b

,b//

//

．簡(jiǎn)言之：線面平行

面面平行aIb

A推論：如果一個(gè)平面有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，則這兩個(gè)平面平行．3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．//推理模式： I a a//b．簡(jiǎn)言之：面面平行 線線平行I b特別說(shuō)明：平面與平面平行的其它性質(zhì)1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面的任何一條直線必平行于另一個(gè)平面．2）夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段相等．3）經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，有且僅有一個(gè)平面和已知平面平行．4）兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．一、直線與平面垂直1.如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)， 并且交角為直角， 則稱這兩條直線互垂直．2.如果一條直線 (AB)和一個(gè)平面(α)相交于點(diǎn) O，并且和這個(gè)平面過(guò)點(diǎn) O的任何直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫做垂足．垂線上任一點(diǎn)到垂足間的線段，叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段．垂線段