空間點線面之間的位置關(guān)系

空間點線面之間的位置關(guān)系一、平面1.平面的概念：平面是一個不加定義，只需理解的原始概念．立體幾何里所說的的平面是從現(xiàn)實生活中常見的平面抽象出來的．常見的桌面、平靜的水面等都給我們以平面的局部形象．平面是理想的、絕對的平且無大小，無厚度，不可度量．2.平面的表示方法：一個平面：當(dāng)平面是水平放置的時候，通常把平行四邊形的銳角畫成45o，橫邊畫成鄰邊的 2倍長，如右圖．兩個相交平面：畫兩個相交平面時，通常要化出它們的交線，當(dāng)一個平面的一部分被另一個平面遮住，應(yīng)把被遮住部分的線段畫成虛線或不畫（如下圖）運用集合觀點準(zhǔn)確使用圖形語言、符號語言和文字語言空間圖形的基本元素是點、直線、平面從運動的觀點看，點動成線，線動成面，從而可以把直線、平面看成是點的集合，因此還可借用集合中的符號語言來表示點、線、面的基本位置關(guān)系如下表所示：圖形語言 符號語言A aA aAAaIb AaaIaI A

文字語言（讀法）點A在直線a上點A不在直線a上點A在平面點A不在平面直線a、b交于A點直線a在平面直線a與平面 無公共點直線a與平面 交于點AI l 平面 、 相交于直線 l二、平面的基本性質(zhì)公理1如果一條直線的兩點在一個平面，那么這條直線在這個平面A推理模式：

AB

． 如圖示：B或者：∵

A

,B

，∴

AB公理1的作用：①判定直線是否在平面；②判定點是否在平面；③檢驗面是否是平面．公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面A,B,C不共線推理模式：

A,B,CA,B,C

與 重合或者：∵

A,B,C

不共線，∴存在唯一的平面

，使得

A,B,C

.推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．(1)以上是確定平面的四個不同的條件， 是判斷兩個平面重合的依據(jù)， 是證明點線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助面的依據(jù)．(2)“有且只有一個”的含義要準(zhǔn)確理解．這里的“有”是說圖形的存在，“只有一個”是說圖形唯一．因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．2.公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點 ,有且只有一條過該點的公共直線A推理模式：

A l

I

如圖示：A或者：∵

A

,A

，∴

I

l,A

l公理3的作用：判斷兩個平面是否相交及交線位置；判斷點是否在線上、證明空間三點共線問題通常證明這些點都在兩個平面的交線上，即先確定出某兩點在兩個平面的交線上，再證明第三點既在第一個平面，又在第二個平面。、證明空間三線共點可把其中一條作為分別過其余兩條的兩個平面的交線，然后再證明另兩條直線的交點在此直線上。、證明空間幾點共面問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其他各點都在這個平面三、空間兩直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)相交直線在同一平面有且只有一個公共點平行直線在同一平面沒有公共點異面直線不同在任何一個平面沒有公共點四、平行直線公理4平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行推理模式： a//b,b//c a//c．(1)它是判斷空間兩條直線平行的依據(jù)； (2)它說明平行關(guān)系具有傳遞性2.等角定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．五、異面直線定義：不在任何一個平面的兩條直線叫做異面直線(1)異面直線既不平行，也不相交，永遠(yuǎn)不存在一個平面能同時包含這兩直線；(2)不能把異面直線誤認(rèn)為：分別在不同平面的兩條直線為異面直線(3)異面直線一般是對兩條直線而言的，沒有三條異面直線的說法．2．異面直線的畫法畫異面直線時，為了充分顯示不共面的特點，常常需要以輔助平面為襯托，以加強直觀性．3．異面直線判定定理過平面一點與平面外一點的直線，和這個平面不經(jīng)過該點的直線是異面直線lA推理模式： 直線AB與直線l是異面直線BB L六、異面直線所成的角1.定義：已知

a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點

O作直線

a//a,b//b，我們把直線

a和b

所成的銳角（或直角）叫做異面直線

a，b所成的角．(1)異面直線所成的角與 O點的位置無關(guān)．(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直，記作 a b．(3)異面直線所成角的圍是 0, ．2求異面直線所成角的步驟1）恰當(dāng)選點，由平移構(gòu)造出一個交角；2）證平行關(guān)系成立；3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；4）作結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是所求異面直線所成的角．七、直線、平面的位置關(guān)系1．空間直線與平面的位置關(guān)系有以下三種：(1)直線在平面：如果一條直線 a與平面α有兩個不同的公共點，那么這條直線就在這個平面，記作a?α.(2)直線與平面相交：直線a與平面α只有一個公共點A，叫做直線與平面相交，記作a∩α＝A，公共點A叫做直線a與平面α的交點．(3)直線與平面平行：如果一條直線a與平面α沒有公共點，叫做直線與平面平行，記作a∥α.2.兩個平面的位置關(guān)系有且只有一下兩種：(1)兩個平面平行 ---沒有交點(2)兩個平面相交 ---有一條公共直線3.順次連接不共面的四點A、B、C、D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個點中的各個點叫做空間四邊形的頂點；所連接的相鄰頂點間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點的線段叫做空間四邊形的對角線．一、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系 交點個數(shù) 圖形語言 符號語言直線在平面 無數(shù)個 a直線與平面相交 只有一個

aI A直線在平面外直線與平面平行 沒有 a//二、直線和平面平行1.定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點，那么這條直線與這個平面平行．2.判定定理：如果平面外一條直線和這個平面的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．a(chǎn)推理模式：b a//a//b特別說明：1、定理中的三個條件缺一不可．2、該定理的作用：證明線面平行．3、該定理可簡記為“線線平行，則線面平行．”3.性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，行．

經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線就和交線平a//推理模式

a

a//bI

b特別說明：1、定理中的三個條件缺一不可． 2、該定理的作用：證明線線平行．3、該定理可簡記為“線面平行，則線線平行．”三、平面和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點

兩平面平行沒有公共點

兩平面相交有一條公共直線符號表示

//

I

a圖形表示四、平面與平面平行1.兩平面互相平行的定義如果兩個平面沒有公共點，那么這兩個平面平行．2.兩平面平行的判定定理如果一個平面有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．a(chǎn)

,a//推理模式：

b

,b//

//

．簡言之：線面平行

面面平行aIb

A推論：如果一個平面有兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，則這兩個平面平行．3.兩個平面平行的性質(zhì)如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．//推理模式： I a a//b．簡言之：面面平行 線線平行I b特別說明：平面與平面平行的其它性質(zhì)1）兩個平面平行，其中一個平面的任何一條直線必平行于另一個平面．2）夾在兩個平行平面之間的平行線段相等．3）經(jīng)過平面外一點，有且僅有一個平面和已知平面平行．4）兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．一、直線與平面垂直1.如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點， 并且交角為直角， 則稱這兩條直線互垂直．2.如果一條直線 (AB)和一個平面(α)相交于點 O，并且和這個平面過點 O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點叫做垂足．垂線上任一點到垂足間的線段，叫做這點到這個平面的垂線段．垂線段