空間向量的運算及應(yīng)用

空間向量的運算及應(yīng)用一、基礎(chǔ)知識1．空間向量及其有關(guān)概念概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合共面向量平行于同一個平面的向量共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的共面向量定理有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb空間向量基本定理及定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存推論在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點，則對平面ABC內(nèi)任一點P都存在唯一的三個有序―→―→―→―→實數(shù)x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC且x＋y＋z＝12．數(shù)量積及坐標運算(1)兩個空間向量的數(shù)量積：① a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；③設(shè)a＝(x，y，z)，則|a|2＝a2，|a|＝ x2＋y2＋z2.(2)空間向量的坐標運算：a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a＝λb，a＝λb，a＝λb112233(λ∈R，b≠0)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0a1b1＋a2b2＋a3b3夾角公式cos〈a，b〉＝b12＋b22＋b32a12＋a22＋a323．直線的方向向量與平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量 a的有向線段所在直線與直線 l平行或或共線，則稱此向量 a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線 l⊥α，取直線 l的方向向量 a，則向量 a叫做平面 α的法向量．4．空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系 向量表示l1∥l2直線l1，l2的方向向量分別為 n1，n2l1⊥l2l∥α直線l的方向向量為 n，平面α的法向量為 ml⊥αα∥β平面α，β的法向量分別為 n，mα⊥β

n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)n1⊥n2?n1·n2＝0n⊥m?n·m＝0n∥m?n＝km(k∈R)n∥m?n＝km(k∈R)n⊥m?n·m＝01．空間向量基本定理的 3點注意(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底．(2)由于0與任意一個非零向量共線， 與任意兩個非零向量共面， 故0不能作為基向量．(3)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示．2．有關(guān)向量的數(shù)量積的 2點提醒(1)若a，b，c(b≠0)為實數(shù)，則 ab＝bc?a＝c；但對于向量就不正確，即 a·b＝b·c ac.數(shù)量積的運算只適合交換律、加乘分配律及數(shù)乘結(jié)合律，但不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)c不一定等于 a(b·c)．這是由于(a·b)c表示一個與 c共線的向量，而 a(b·c)表示一個與a共線的向量，而 c與a不一定共線．3．方向向量和法向量均不為零向量且不唯一二、常用結(jié)論1．證明空間任意三點共線的方法對空間三點 P，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線：―→―→(λ∈R);(1)PA＝λPB(2)對空間任一點―→―→―→(t∈R)；O，OP＝OA＋tAB(3)對空間任一點―→―→―→(x＋y＝1)．O，OP＝xOA＋yOB2．證明空間四點共面的方法對空間四點P，M，A，B除空間向量基本定理外也可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面：(1)―→―→―→；MP＝xMA＋yMB(2)對空間任一點―→―→―→―→；O，OP＝OM＋xMA＋yMB(3)―→―→―→―→―→―→)．PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM3．確定平面的法向量的方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有，則此向量就是法向量．(2)待定系數(shù)法：取平面內(nèi)的兩條相交向量 a，b，設(shè)平面的法向量為 n＝(x，y，z)，由n·a＝0，解方程組求得．n·b＝0，考點一空間向量的線性運算[1.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點．若―→―→1＝c，則下列向量中與―→)AB＝a，AD＝b，AABM相等的是(1111A．－2a＋2b＋cB.2a＋2b＋c1111C．－2a－2b＋cD.2a－2b＋c―→―→―→1―→―→1(b－a)＝－11解析：選ABM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋2a＋b＋c.2222.如圖所示，在平行六面體―→―→―→＝c，M，N，ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)AA1＝a，AB＝b，AD分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：―→(1) AP；(2)―→A1N；―→―→(3)MP＋NC1.解：(1)∵P是C1D1的中點，―→―→―→―→―→1―→＋1―→1∴AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋D1C1＝a＋c2AB＝a＋b＋c.22(2)∵N是BC的中點，―→―→―→―→1―→∴A1N＝A1A＋AB＋BN＝－a＋b＋2BC―→＝－a＋b＋1AD＝－a＋b＋1c.22(3)∵M是AA1的中點，―→―→―→＝1―→―→＝－1111∴MP＝MA＋AP2A1A＋APa＋a＋b＋c＝a＋b＋c，2222―→―→―→1―→―→＝1―→―→1又NC1＝NC＋CC1＝2BC＋AA12AD＋AA1＝a＋c，2―→―→111313∴MP＋NC1＝2a＋2b＋c＋a＋2c＝2a＋2b＋2c.考點二共線、共面向量定理的應(yīng)用1．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三點共線，則m＋n＝________.―→―→解析：∵AB＝(3，－1,1)，AC＝(m＋1，n－2，－2)，―→ ―→且A，B，C三點共線，∴存在實數(shù) λ，使得AC＝λAB.即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，m＋1＝3λ，∴n－2＝－λ， 解得λ＝－2，m＝－7，n＝4.2＝λ，m＋n＝－3.答案：－3―→ 1―→2．已知A，B，C三點不共線，對平面 ABC外的任一點 O，若點M滿足OM＝3(OA＋―→ ―→OB＋OC)．―→ ―→ ―→(1)判斷MA，MB， MC三個向量是否共面；(2)判斷點M是否在平面 ABC內(nèi)．―→ ―→ ―→ ―→解：(1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，―→―→―→―→―→―→所以O(shè)A－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)，―→―→―→―→―→即MA＝BM＋CM＝－MB－MC，―→―→―→所以MA，MB，MC共面．―→―→―→(2)由(1)知MA，MB，MC共面且過同一點M.所以M，A，B，C四點共面，從而點M在平面ABC內(nèi)．3.如圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，點M，N分別在AC1和BC上，且滿足―→―→―→―→―→AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)．判斷向量MN是否與向量―→―→AB，AA1共面．―→―→―→―→解：∵AM＝kAC1，BN＝kBC，―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋―→―→―→―→―→―→―→―→―→AB＝kB1A―→＋AB＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB)＝(1－k)AB－kAA1，∴由共面向量定理知向量―→―→―→共面．MN與向量AB，AA1考點三空間向量數(shù)量積及應(yīng)用[典例精析]如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點，計算：(1)―→―→；―→―→EF·BA(2)EG·BD.[解]―→―→―→設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.―→＝1―→＝11―→＝－a，(1)因為EF2BD2(AD－AB)＝c－a，BA2―→―→111211所以EF·BA＝2c－2a·(－a)＝2a－2a·c＝4.―→―→―→―→―→―→(2)EG·BD＝(EA＋AG)·(AD－AB)＝－1―→1―→＋1―→―→―→2AB＋AC2AD·(AD－AB)2＝－1a＋1b＋1c·(c－a)222＝－1＋1＋1－1＋1－1＝1.4244242[題組訓練]如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.(1)求線段AC1的長；(2)求異面直線 AC1與A1D所成角的余弦值；(3)求證：AA1⊥BD.―→―→―→＝c，解：(1)設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1則|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos120°＝－1.―→―→―→―→―→―→＝a＋b＋c，∵AC1＝AC＋CC1＝AB＋AD＋AA1―→a＋b＋c2∴|AC1|＝|a＋b＋c|＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋b·c＋c·a12＋12＋22＋2×0－1－1＝2.∴線段AC1的長為 2.(2)設(shè)異面直線 AC1與A1D所成的角為 θ，―→―→―→ ―→ |AC1·A1D|則cosθ＝|cos〈AC1，A1D〉|＝―→―→.|AC1||A1D|―→―→＝b－c，∵AC1＝a＋b＋c，A1D―→―→∴AC1·A1D＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，―→b－c2＝|b|2－2b·c＋|c|2|A1D|＝12－2×－1＋22＝7.―→―→|－2|＝14∴cosθ＝|AC1·A1D|＝―→―→2×77.|AC1||A1D|14故異面直線 AC1與A1D所成角的余弦值為―→ ―→(3)證明：∵AA1＝c，BD＝b－a，

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.―→―→―→―→，即AA1⊥BD.∴AA1·BD＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴AA1⊥BD考點四 利用向量證明平行與垂直問題[典例精析]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點，過點E作EF⊥PB于點F.求證：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.[證明] 以D為坐標原點，射線 DA，DC，DP分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系 D-xyz.設(shè)DC＝a.(1)連接AC交BD于點G，連接EG.a a依題意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E0，2，2.因為底面ABCD是正方形，所以G為AC的中點aa故點G的坐標為2，2，0，―→―→a，0，－a，所以PA＝(a,0，－a)，EG＝22―→―→則PA＝2EG，故PA∥EG.而EG?平面EDB，PA?平面EDB，所以PA∥平面EDB.―→＝(a，a，－a)．(2)依題意得B(a，a,0)，所以PB―→aa又DE＝0，2，2，―→―→22＝0＋a－a＝0，所以PB⊥DE，故PB·DE22所以PB⊥DE.由題可知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD.[解題技法]利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟(1)建立空間直角坐標系，建系時要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系．(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系， 用空間向量表示出問題中所涉及的點、 直線、平面的要素．(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量， 再研究平行、垂直關(guān)系．(4)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題．[提醒] 運用向量知識判定空間位置關(guān)系時，仍然離不開幾何定理．如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時，仍需強調(diào)直線在平面外．[題組訓練]如圖，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且 AM＝3.試證明平面 AMC⊥平面BMC.證明：(1)以O(shè)為坐標原點，以射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系 O-xyz.則O(0,0,0)，A(0，－3,0)，B(4,2,0)，C(－4,2,0)，P(0,0,4)．―→＝―→于是AP(0,3,4)，BC＝(－8，0,0)，―→―→(·－8,0,0)＝0，所以AP·BC＝(0,3,4)―→―→，即AP⊥BC.所以AP⊥BC(2)由(1)知AP＝5，又AM＝3，且點M在線段AP上，―→3―→9，12―→所以AM＝5AP＝0，55，又BA＝(－4，－5,0)，―→―→―→－4，－1612所以BM＝BA＋AM＝5，5，―→―→＝(0,3,4)－4，－16，12＝0，則AP·BM·55―→―→，即AP⊥BM，所以AP⊥BM又根據(jù)(1)的結(jié)論知 AP⊥BC，且BC∩BM＝B，所以AP⊥平面BMC，于是AM⊥平面BMC.又AM?平面AMC，故平面AMC⊥平面BMC.[課時跟蹤檢測 ]A級1．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝( )A．9C．－3

B．－9D．3解析：選

B

由題意知

c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，∴2x－y＝7，x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，

解得λ＝－9.2．若平面 α，β的法向量分別為

n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則(

)A．α∥β B.α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正確解析：選C ∵n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)＝－29≠0，∴n1與

n2不垂直，又n1，n2不共線，∴α與β相交但不垂直．―→―→―→―→―→―→＝()3．在空間四邊形ABCD中，AB·CD＋AC·DB＋AD·BCA．－1B.0C．1D．不確定解析：選B如圖，令―→―→―→AB＝a，AC＝b，AD＝c，―→―→ ―→―→ ―→―→則AB·CD＋AC·DB＋AD·BCa·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a0.4.如圖，已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且分MN所成的比為2，現(xiàn)用基向量―→―→―→―→―→―→―→―→OA，OB，OC表示向量OA，設(shè)OA＝xOA＋yOB＋zOC，則x，y，z的值分別是()111111A．x＝3，y＝3，z＝3B.x＝3，y＝3，z＝61，y＝1，z＝1D．x＝1，y＝1，z＝1C．x＝363633解析：選D―→―→―→＝c，∵點G分MN―→―→，設(shè)OA＝a，OB＝b，OC所成的比為2，∴MG＝2MN3―→―→―→―→2―→―→12111111111∴OA＝OM＋MG＝OM＋3(ON－OM)＝2a＋32b＋2c－2a＝2a＋3b＋3c－3a＝6a＋3b＋1c，即x＝1，y＝1，z＝1.36335.如圖，在大小為 45°的二面角 A-EF-D中，四邊形 ABFE，四邊形CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點間的距離是()A.3B.2C．1D.3－2―→―→―→―→―→2―→2―→2―→2―→―→＋解析：選D∵BD＝BF＋FE＋ED，∴|BD|＝|BF|＋|FE|＋|ED|＋2BF·FE―→―→―→―→2＝3－―→2FE·ED＋2BF·ED＝1＋1＋1－2，∴|BD|＝3－2.―→，6.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點．用AB―→―→―→―→AD，AA1表示OC1，則OC1＝________________.―→＝1―→＝1―→―→―→―→―→1―→＋解析：∵OC2AC2(AB＋AD)，∴OC1＝OC＋CC1＝(AB2―→ ―→ 1―→ 1―→ ―→AD)＋AA1＝2AB＋2AD＋AA1.1―→ 1―→ ―→答案：2AB＋2AD＋AA17.已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M，N分別是CD，PC的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標系中，MN＝________.解析：連接PD(圖略)，∵M，N分別為CD，PC的中點，∴MN＝12PD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，PD＝02＋－12＋12＝2，∴MN＝22.2答案：28．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M為BC的中點，―→C1N＝―→，則λ的值為________．λNC，且AB1⊥MN解析：如圖所示，取B1C1的中點P，連接MP，以M為坐標原點，―→―→―→x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角MC，MA，MP的方向分別為坐標系．因為底面邊長為1，側(cè)棱長為2，31所以A0，2，0，B1－2，0，2，C1，0，0，C11，0，2，221M(0,0,0)，設(shè)N2，0，t，―→―→，所以N12，因為C1N＝λNC，0，21＋λ―→＝－1，－3，2―→＝1，0，2所以AB1，MN1＋λ.222―→―→又因為AB1⊥MN，所以AB1·MN＝0.所以－1＋ 4 ＝0，所以λ＝15.1＋λ答案：159．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，將它沿對角線AC折起，使AB與CD成60°角，求B、D間的距離．―→―→―→―→解：∵∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理AC·BA＝0.∵AB與CD成60°角，∴〈―→―→〉＝60°或120°.BA，CD―→―→―→―→―→2―→2―→2―→2―→―→―→―→又∵BD＝BA＋AC＋CD，∴|BD|＝|BA|＋|AC|＋|CD|＋2BA·AC＋2BA·CD―→―→―→―→〉．＋2AC·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD―→―→―→2＝4；當〈BA，CD〉＝60°時，BD―→―→―→2＝2.當〈BA，CD〉＝120°時，BD―→2，即B，D間的距離為2或∴|BD|＝2或10.如圖，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面

2.ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)，G分別是A1D1，D1D，D1C1的中點．―→ ―→ ―→ ―→(1)試用向量 AB，AD，AA1表示AG；(2)用向量方法證明平面 EFG∥平面AB1C.―→ ―→ ―→解：(1)設(shè)AB＝a，AD＝b，AA1＝c，―→―→―→―→＝c＋b＋1―→＝1a＋b＋c＝1―→―→―→DG2DC22AB.1故AG＝AB＋AD＋AA1.2―→―→―→(2)證明：AC＝AB＋BC＝a＋b，―→―→―→111―→，EG＝ED1＋D1G＝2b＋a＝2AC2EG與AC無公共點，∴EG∥AC，EG?平面AB1C，AC?平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.―→―→―→＋c，又∵AB1＝AB＋BB1＝a―→―→―→1a＝―→，F(xiàn)G＝FD1＋D1G＝1c＋1AB1222∵FG與AB1無公共點，F(xiàn)G∥AB1，F(xiàn)G?平面AB1C，AB1?平面AB1C，∴FG∥平面AB1C.又∵FG∩EG＝G，F(xiàn)G?平面EFG，EG?平面EFG，∴平面EFG∥平面AB1C.B級1．已知空間任意一點O和不共線的三點―→―→―→―→(x，y，A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOCz∈R)，則“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四點共面”的()A．必要不充分條件B.充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B―→―→―→―→―→―→＝當x＝2，y＝－3，z＝2時，即OP＝2OA－3OB＋2OC.則AP－AO―→―→―→―→―→―→―→―→，根據(jù)共面向量定理知，P，A，2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2ACB，C四點共面；反之，當P，A，B，C四點共面時，根據(jù)共面向量定理，設(shè)―→―→＋AP＝mAB―→―→―→―→―→―→―→―→―→＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA―→―→，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，這組數(shù)顯然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，mOB＋nOCz＝2”是“P，A，B，C四點共面”的充分不必要條件．2．空間四點A(2,3,6)，B(4,3,2)，C(0,0,1)，D(2,0,2)的位置關(guān)系為()A．共線B.共面C．不共面D．無法確定解析：選C―→―→―→AB＝(2,0，－4)，AC＝(－2，－3，－5)，AD＝(0，－3，－4)，由不存―→―→，在實數(shù)λ，使AB＝λAC成立知，A，B，C不共線，故A，B，C，D不共線；假設(shè)A，B，C―→―→―→0＝2x－2y，D共面，則可設(shè)(x，y為實數(shù))，即－3＝－3y，由于該方程組無AD＝xAB＋yAC－4＝－4x－5y，解，故A，B，C，D不共面，故選C.―→―→3．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，當QA·QB取最小值時，點Q的坐標是________．―→―→―→解析：由題意，設(shè)OQ＝λOP，則OQ＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，則QA＝(1－λ，―→＝(2－λ，1－λ，2－―→―→2－λ，3－2λ)，QB2λ)，∴QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(324224448－2λ)(2－2λ)＝6λ－16λ＋10＝6λ－3－3，當λ＝3，，3.時取最小值，此時Q點坐標是33448答案：3，3，34．已知四面體―→―→―→P-ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，|AP|―→―→―→＝3，則|AB＋AP＋AC|＝________.―→―→―→解析：∵在四面體P-ABC中，∠PAB＝∠BAC＝∠PAC＝60°，|AB|＝1，|AC|＝2，|AP―→―→1×2×cos60°＝―→―→―→―→|＝3，∴AB·AC＝1，AC·AP＝2×3×cos60°＝3，AB·AP＝1×3×cos60°3―→―→―→―→―→―→2＝，∴|AB＋AP＋AC|＝|AB＋AP＋AC|21＋9＋