自動控制原理第2章課件

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

自動控制系統(tǒng)的組成可以是電氣的，機械的，液壓的，氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)的數(shù)學模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學模型來研究自動控制系統(tǒng)，就擺脫了各種類型系統(tǒng)的外部關(guān)系而抓住這些系統(tǒng)的共同運動規(guī)律，控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是通過物理學，化學，生物學等定律來描述的，如機械系統(tǒng)的牛頓定律，電氣系統(tǒng)的克希霍夫定律等都是用來描述系統(tǒng)模型的基本定律。如果描述系統(tǒng)的數(shù)學模型是線性的微分方程，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，若方程中的系數(shù)是常數(shù)，則稱其為線性定常系統(tǒng)。數(shù)學模型可以是標量方程和向量的狀態(tài)方程?？刂葡到y(tǒng)數(shù)學模型的概念1.定義：根據(jù)系統(tǒng)運動過程的物理、化學等規(guī)律，所寫出的描述系統(tǒng)運動規(guī)律、特性和輸出與輸入關(guān)系的數(shù)學表達式（描述系統(tǒng)輸入、輸出以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式）。2.建立數(shù)學模型的方法：系統(tǒng)建模有兩大類方法:一類是機理分析建模方法，稱為解析法，另一類是實驗建模方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。

解析法（機理分析法）根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程。實驗法（系統(tǒng)辨識法）給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性。

3.數(shù)學模型的類型

1)靜態(tài)模型與動態(tài)模型

描述系統(tǒng)靜態(tài)（工作狀態(tài)不變或慢變過程）特性的模型，稱為靜態(tài)數(shù)學模型。

靜態(tài)數(shù)學模型一般是以代數(shù)方程表示的。

描述系統(tǒng)動態(tài)或瞬態(tài)特性的模型，稱為動態(tài)數(shù)學模型。動態(tài)數(shù)學模型中的變量依賴于時間，一般是微分方程等形式。

2)連續(xù)時間模型與離散時間模型

連續(xù)數(shù)學模型有微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間表達式等。

離散數(shù)學模型有差分方程、Z傳遞函數(shù)、離散狀態(tài)空間表達式等。

3)參數(shù)模型與非參數(shù)模型

從描述方式上看，數(shù)學模型分為參數(shù)模型和非參數(shù)模型兩大類。

參數(shù)模型是用數(shù)學表達式表示的數(shù)學模型，如傳遞函數(shù)、差分方程、狀態(tài)方程等。非參數(shù)模型是直接或間接從物理系統(tǒng)的試驗分析中得到的響應(yīng)曲線表示的數(shù)學模型，如脈沖響應(yīng)、階躍響應(yīng)、頻率特性曲線等。

時域中常用的數(shù)學模型有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復域中有傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特性。

數(shù)學模型雖然有不同的表示形式，但它們之間可以互相轉(zhuǎn)換，可以由一種形式的模型轉(zhuǎn)換為另一種形式的模型。本章中只研究微分方程、傳遞函數(shù)和結(jié)構(gòu)圖等數(shù)學模型的建立及應(yīng)用。2-1傅里葉變換與拉普拉斯變換2.2.1線性部件、線性系統(tǒng)微分方程的建立2-2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型用解析法列寫微分方程的一般步驟：（1）根據(jù)系統(tǒng)的具體工作情況，確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量；（2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的定律，列寫出各部件的動態(tài)方程，一般為微分方程組；（3）消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；（4）將微分方程標準化，即將與輸入有關(guān)的各項方在等號右側(cè)，與輸出有關(guān)的各項放在等號左側(cè)，并按降冪排列。例2.1R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)如圖所示，寫出輸入電壓ur輸出電壓uc之間的微分方程。解：根據(jù)克?；舴蚨煽梢詫懗?/p>

電容上的電壓回路中電流（2-1）代入式2-1得（2-2）令將式（2-2）整理成標準形式為若令整理成另一種標準形式為例2.2設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖所示，當外力F(t)作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生運動。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)圖2.2解：若彈簧恢復力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運動，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:式中f—阻尼系數(shù),k—彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：kF(t)mfy(t)例2.3：試建立彈簧—阻尼器系統(tǒng)的微分方程。圖2.3例2.4圖中L、R分別為電樞回路的總電感和總電阻。假設(shè)勵磁電流恒定不變，試建立在作用下電動機轉(zhuǎn)軸的運動方程。解在電樞控制情況下，激磁不變。取ua為給定輸入量，為輸出量，Mc為擾動量。為便于建立方程，引入中間變量ea、ia和M。ea為電動機旋轉(zhuǎn)時電樞兩端的反電勢（V），ia為電樞電流（A），M為電動機旋轉(zhuǎn)時的電磁力矩（N·m）。列寫數(shù)學關(guān)系式如下（1）電動機電樞回路的電勢平衡方程為（2）電動機的反電勢方程為（3）電動機的電磁轉(zhuǎn)矩方程為（4）電動機軸上的動力學方程為消去中間變量Ea、ia和Mm，得

電感La較小，故電磁時間常數(shù)Ta可以忽略，則例2.5試建立如圖2.4所示系統(tǒng)的微分方程。解：根據(jù)克?；舴螂妷憾?，可寫出下列方程組消去中間變量后得到控制系統(tǒng)微分方程的建立應(yīng)注意：a.應(yīng)注意信號傳遞的單向性，即前一個元件的輸出是后一個元件的輸入，一級一級地單向傳送；b.應(yīng)注意前后連接兩個元件中，后級對前級的負載效應(yīng)（例如：無源網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗對前級的影響，齒輪系對電動機轉(zhuǎn)動慣量的影響）。2.2.2非線性系統(tǒng)微分方程的線性化

非線性元件微分方程的線性化方法有：切線法或小偏差法。適合于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，其實質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)為y＝f（x），取某平衡狀態(tài)A為工作點，對應(yīng)有y0＝f（x0）當x＝x0＋△x時有y＝y(tǒng)0＋△y，設(shè)函數(shù)y＝f（x）在（x0，y0）點連續(xù)可微，則將它在該點附近用臺勞級數(shù)展開為當x－x0很小時，略去高次冪項有：

令△y＝y(tǒng)－y0，△x＝x－x0，則△y＝k△x，略去增量符號，得y＝f（x）在工作點A附近的線性化方程為y＝kx。注意：1.非線性方程必為連續(xù)。原因：斷續(xù)的方程不能用臺勞級數(shù)展開，因此不能采用此方法。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。2.K值與工作點的位置有關(guān),隨靜態(tài)工作點而變。3.考慮增量ΔX較小，實際運行情況是在某個平衡點附近，且變量只能在小范圍內(nèi)變化。②兩個自變量：y=f(x1，x2)靜態(tài)工作點：y0=f(x10，x20)在y0=f(x10，x20)附近展開成泰勒級數(shù)，即函數(shù)變化與自變量變化成線性比例關(guān)系。例題2-14解:在h0處泰勒展開，取一次近似2-3控制系統(tǒng)的復域數(shù)學模型傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上的復域中的數(shù)學模型?！鶄鬟f函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)特性，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。2.3.1拉氏變換相關(guān)知識2.3.2傳遞函數(shù)的定義

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時，對上式進行拉氏變換，得描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2.7試求例2.1R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由前例可知，R-L-C無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程為在零初始條件下，對上式兩端取拉氏變換并整理可得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為：2.3.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號的能力，反映系統(tǒng)本身的動態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號形式無關(guān)。

2.由于能源的限制和實際系統(tǒng)或元件總是具有慣性的緣故，其輸出量不可能無限制上升，因而有：傳遞函數(shù)是復變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項式的次數(shù)m低于或等于分母多項式的次數(shù)n，即m≤n。且系數(shù)均為實數(shù)。

3.傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)或元件本身的特性，而與輸入信號無關(guān)，但它不能反映系統(tǒng)或元件的物理結(jié)構(gòu)。也就是說，對于許多物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)或元件，它們可以有相同形式的傳遞函數(shù)。

4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。5.傳遞函數(shù)與微分方程有直接聯(lián)系。6.傳遞函數(shù)的拉氏反變換即為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，因此傳遞函數(shù)能反映系統(tǒng)的運動特性。

所以有

脈沖響應(yīng)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。因為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換式為1，常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積式中：K稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。zj(j=1.2.…m)為分子多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點。Pi(1.2.…n)為分母多項式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點。傳遞函數(shù)的分母多項式就是相應(yīng)微分方程式的特征多項式，令該分母多項式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。2.3.4常用控制元件的傳遞函數(shù)學習要求：閱讀教材，理解原理，看懂例題2.3.5典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學方程為1.比例環(huán)節(jié)r(t)c(t)c(t)/r(t)2.慣性環(huán)節(jié)（非周期環(huán)節(jié)）輸入、輸出間的微分方程為注：1）慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上延遲，T愈大慣性愈大，延遲時間也愈長，時間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。

2）在單位階躍輸入時慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當t=3T～4T時，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。0tr(t)/c(t)3.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的輸出量是與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K，如右圖所示。式中K=1/T---積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T---積分時間常數(shù)。tr(t)0c(t)c(t)/r(t)4.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為T為微分時間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個強度為T的理想脈沖。在實際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。5.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是當輸入為單位階躍函數(shù)時，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。c(t)10t式中T--時間常數(shù)，--阻尼比，對振蕩環(huán)節(jié)有0≤<16.純滯后環(huán)節(jié)數(shù)學表達式為

式中為純滯后時間。當輸入信號為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時，其響應(yīng)曲線如下圖(b)所示。r(t)1t0(a)tc(t)10(b)軋鋼機延遲環(huán)節(jié)的例子2.3.6控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：根據(jù)電路的基本定理可以得到如下的關(guān)系式例2.8設(shè)下圖所示電路中，輸入電壓為ur,輸出電壓為u0，試寫出其傳遞函數(shù)。uru0C1i2R1i1iR2C2在零初始條件下，對上式進行拉氏變換，得消去中間變量，得到輸入、輸出的微分方程式由此得出該電路的傳遞函數(shù)為

在上述計算過程中，如果先對所列寫的微分方程組作拉氏變換，再消去中間變量，可簡化計算。在零初始條件下，對方程組取拉氏變換，得到消去中間變量可得)(1)()()()()()]()([)()]()([1)(22021012011sIscsIRsUsIsIsIsUsUscsIsUsURsIrr+=+=-=-=2.4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是描述系統(tǒng)各組成元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學圖形，它表示系統(tǒng)中各變量所進行的數(shù)學運算和輸入、輸出之間的因果關(guān)系。2.4.1結(jié)構(gòu)圖的組成

把各環(huán)節(jié)或元件的傳遞函數(shù)填在系統(tǒng)原理方塊圖的方塊中，并把相應(yīng)的輸入、輸出信號分別以拉氏變換來表示，就可以得到傳遞函數(shù)方塊圖。（信號之間的數(shù)學物理關(guān)系，系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)）

信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，且信號只能單向傳輸。

方框：即一個元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)方塊圖，該方塊可以對信號進行數(shù)學變換，其變換關(guān)系為

Xc(s)=G(s)Xr(s)G(s)xr(s)xc(s)方塊單元

信號比較點：表示兩個或多個信號在此代數(shù)相加。信號比較點的運算關(guān)系為xr2xr1(s)xr3(s)xc(s)±±±信號引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)上完全相同。x(s)x(s)2.4.2結(jié)構(gòu)圖的畫法繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下：1.列寫出系統(tǒng)各元件的微分方程。在建立方程時應(yīng)分清各元件的輸入量、輸出量，同時應(yīng)考慮相鄰元部件之間是否有負載效應(yīng)。2.在零初始條件下，對各微分方程進行拉氏變換，并將變換式寫成標準形式。3.由標準變換式利用結(jié)構(gòu)圖的四個基本單元，分別畫出各元部件的結(jié)構(gòu)圖。4.按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來，便可得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。

例2.9在圖所示的濾波電路中，若以電壓ur為輸入，電壓uc為輸出，試畫出其結(jié)構(gòu)圖。

urR1R2ucC2C1i1i2

例2.9題電路圖解2、將上述方程整理1/R11/c1s1/R21/c2sUr(s)I1(s)I2(s)Uc1(s)I2(s)Uc(s)---3.按照信號傳遞順序，依次將各元部件的結(jié)構(gòu)圖連接起來。例題：試繪制如圖所示的無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖

解：根據(jù)克?；舴蚨蓪懗鱿铝蟹匠?.4.3結(jié)構(gòu)圖的等效變換1.串聯(lián)連接方式的等效變換

前一環(huán)節(jié)的輸出量是后一環(huán)節(jié)的輸入量的連接稱為環(huán)節(jié)的串聯(lián)。如下圖所示，G1(s)G2(s)G3(s)R1(s)R2(s)R3(s)R4(s)G(s)R1(s)R4(s)2.并聯(lián)連接方式的等效變換輸入量相同，輸出量相加或相減的連接稱為并聯(lián)。如下圖所示G1(s)G2(s)G3(s)C2(s)C3(s)+++C(s)R(s)C1(s)并聯(lián)后總的傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)3.反饋連接方式的等效變換

將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出反饋到輸入端與輸入信號進行比較，就構(gòu)成了反饋連接。G(s)H(s)E(s)B(s)-R(s)C(s)4.分支點的移動規(guī)則

將分支點跨越元件方塊圖移動時，必須遵循移動前后所得的分支信號保持不變的等效原則。G(s)1/G(s)BR(s)C1(s)C2(s)移動前后的分支輸出信號不變，達到了等效變換的目的。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)G(s)G(s)AR(s)C1(s)C2(s)

分支點移動的規(guī)則為：若分支點從一個方塊圖的輸入端移到其輸出端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)的倒數(shù)。若分支點從一方塊圖的輸出端移到其輸入端時，應(yīng)在移動后的分支中串入一個方塊圖，它的傳遞函數(shù)等于所跨越的方塊圖的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)ABC1(s)C2(s)5.比較點的移動規(guī)則如圖(a)所示，當比較點在A處時，總輸出量為

C(s)=G(s)[R1(s)-R2(s)]當比較點移到B處時，必須使兩個輸入都經(jīng)過元件方塊圖后再相加，如圖(b)所示，此時

C(s)=G(s)R1(s)-G(s)R2(s)與移動前相等，因而兩圖是等效的。G(s)AR1(s)R2(s)-C(s)BG(s)G(s)R1(s)R2(s)BC(s)-(a)(b)

當綜合點之間相互移動時，如下圖所示，因為三者輸出都為

C(s)=R1(s)-R2(s)-R3(s)故它們都是等效的。R2(s)R1(s)R2(s)R3(s)--E1C(s)R1(s)R3(s)R1(s)R3(s)R2(s)----C(s)C(s)(a)(b)(c)互換綜合點的位置，不會影響總的輸入輸出關(guān)系。2.4.4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化例2.10簡化下圖所示多回路系統(tǒng)，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G5(s)G6(s)--++R(s)C(s)解這是一個沒有交叉現(xiàn)象的多環(huán)系統(tǒng)，內(nèi)回路稱為局部反饋回路，外回路稱為主反饋回路。簡化時不需要將分支點和綜合點作前后移動?？砂春唵未?、并聯(lián)和反饋連接的簡化規(guī)則，從內(nèi)部開始，由內(nèi)向外逐步簡化。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)+G5(s)G6(s)R(s)--C(s)(a)(c)G6(s)R(s)C(s)-(b)G1(s)G6(s)R(s)-C(s)例2.11例2.12例2-12

簡化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解圖是具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點、分支點互換的方法處理。（2）再與b點交換（1）將相加點a移至G2之后（3）因G4與G1G2并聯(lián)，G3與G2H是負反饋環(huán)（4）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后結(jié)果為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例2-13

試簡化下圖所示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解（1）將支路H2（s）的分支點后移（2）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果如下圖所示

（3）合并上圖虛線框內(nèi)的各環(huán)節(jié)，結(jié)果為

所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為歸納規(guī)律：通過上述例子，可以看到如果滿足以下兩個條件：①所有回路兩兩相互接觸；②所有回路與所有前向通道接觸。則可以得到以下幾條簡化結(jié)構(gòu)圖的規(guī)律：①閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是一個有理分式；②③，負反饋取“+”正反饋取“－”即式中，

m是前向通道的條數(shù)，n是反饋回路數(shù)。2.5控制系統(tǒng)的信號流圖2.5.1信號流圖1.信號流圖中的基本圖形符號有三種：節(jié)點，支路，和支路增益2.信號流圖的基本性質(zhì)3.信號流圖的有關(guān)術(shù)語：a.源節(jié)點b.阱節(jié)點c.混合節(jié)點d.前向通路d.回路e.回路增益f.前向通路增益g.不接觸回路信號流圖的繪制：例:2-22例:2-23由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖應(yīng)注意：（1）盡量精簡節(jié)點的數(shù)目，合并；源節(jié)點和阱節(jié)點不能合并掉；（2）結(jié)構(gòu)圖比較點之前沒有引出點（之后有）只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)點便可，但若比較點之前有引出點，需在引出點和比較點之后各設(shè)置一個節(jié)點。分邊標志兩個變量，他們之間的支路增益為1。梅遜公式一般形式為2.5.2用梅遜(S.J.Mason)公式求傳遞函數(shù)梅遜公式的由來例:用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G1G2G4G3G5G6H4H2H3H1RC----解圖中共有四個不同回路，其回路傳遞函數(shù)分別為故∑Li=L1+L2+L3+L4

在上述四個回路中，互不接觸回路有：L2、L3，它們之間沒有重合的部分，因此有

∑LiLj=L2L3=(-G2G3H2)(－G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3

圖中沒有三個互不接觸回路，故∑LiLjLK=0可得特征式圖中只有一條前向通路，且該前向通路與四個回路均接觸，所以注意：

應(yīng)用梅遜公式可以方便地求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而不必進行結(jié)構(gòu)圖變換。但當結(jié)構(gòu)圖較復雜時，容易遺漏前向通路、回路或互不接觸回路。因此在使用時應(yīng)特別注意。例題：2-242-25例題：2.6.1系統(tǒng)