工程電磁場(高等教育出版社,馮慈章主編)

1.7鏡像法與電軸法ImageMethodandElectricAxisMethod下頁上頁返回鏡像法與電軸法的基本思想根據(jù)唯一性定理，用虛設(shè)的簡單分布電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解簡單分布電荷電場的問題。是一種間接計(jì)算方法。1.點(diǎn)電荷對平面導(dǎo)體的鏡像場分布特點(diǎn)：平面導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場為兩維子午平面場下頁上頁返回邊值問題上半空間的電位導(dǎo)體平面上方程相同，邊界條件相同，解唯一。感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位上半場域的電位和電場下頁上頁返回-q是虛設(shè)的電荷，稱為鏡像電荷，用來替代導(dǎo)板上復(fù)雜分布的感應(yīng)電荷的作用；注意鏡像電荷應(yīng)放置在所求區(qū)域（有效區(qū)）以外；根據(jù)疊加原理，導(dǎo)板上方有任意分布的電荷時(shí)也可作相應(yīng)的鏡像。pr1r2下頁上頁返回q2q1q3q2q1q3-q2-q1-q3-地面上感應(yīng)電荷的總量為垂直地面的電場分量試求空氣中點(diǎn)電荷q在地面引起的感應(yīng)電荷分布。解下頁上頁返回例應(yīng)用鏡像法，地面任意點(diǎn)地面電荷分布鏡像法小結(jié)

鏡像法的理論依據(jù)是：鏡像法的實(shí)質(zhì)是：鏡像法的關(guān)鍵是：鏡像電荷只能放在待求場域以外的區(qū)域。

用虛設(shè)的簡單分布的鏡像電荷替代未知的復(fù)雜分布電荷，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻媒質(zhì)；靜電場唯一性定理；確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小及位置以保證原場的邊值問題不變；應(yīng)用鏡像法解題時(shí)注意：下頁上頁返回2.點(diǎn)電荷對球面導(dǎo)體的鏡像點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球外下頁上頁場分布特點(diǎn)：球面上產(chǎn)生負(fù)感應(yīng)電荷電場為兩維子午平面場邊值問題導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：下頁上頁確定鏡像電荷的位置確定鏡像電荷大小應(yīng)用鏡像法求解球面電位將r1,r2代入方程，得鏡像電荷放在求解的場域外。聯(lián)立求解得鏡像電荷位置鏡像電荷大小下頁上頁鏡像電荷等于負(fù)感應(yīng)電荷總量。球外任一點(diǎn)P的電位與電場為球外的電場分布球外的電場計(jì)算下頁上頁1.點(diǎn)電荷q對不接地金屬球的鏡像。邊值問題思路下頁上頁討論導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：則任一點(diǎn)電位通量為零（大小相等）球面等位（位于球心）下頁上頁導(dǎo)體球零電位球面電位任一點(diǎn)場強(qiáng)點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖下頁上頁討論2.點(diǎn)電荷q對帶有電荷Q的金屬球的鏡像。下頁上頁邊值問題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：+Q討論下頁上頁3.點(diǎn)電荷q對帶有電壓U0的金屬球的鏡像。邊值問題思路導(dǎo)體球外（除q點(diǎn)）空間：+Q討論下頁上頁4.點(diǎn)電荷q在不帶電的金屬球殼內(nèi)的鏡像。邊值問題思路導(dǎo)體球內(nèi)（除q點(diǎn)）空間：q-q’bd3.點(diǎn)電荷對不同介質(zhì)分界面的鏡像下頁上頁邊值問題上半空間（除q點(diǎn)）：下半空間：分界面：解得下頁上頁保證方程不變邊界條件：電場分布圖1中的電場由q與q’共同產(chǎn)生，q’等效替代極化電荷的影響。2中的電場由q”決定，q”等效替代自由電荷與極化電荷的作用。注意下頁上頁4.電軸法（ElectricAxisMethod）問題下頁上頁長直平行雙傳輸線在傳輸線系統(tǒng)中，導(dǎo)線之間的靜電感應(yīng)作用使導(dǎo)線表面的電荷分布不均勻，直接求解電場分布很困難。邊值問題導(dǎo)線以外的空間下頁上頁應(yīng)用鏡像法求解鏡像電荷長直帶電細(xì)導(dǎo)線替代感應(yīng)電荷的作用鏡像電荷的位置電軸法兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電位下頁上頁細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場以

y軸為參考電位令：常數(shù)，等位線方程下頁上頁返回圓的方程K

取不同值時(shí)，得到一族等電位圓。圓心坐標(biāo)圓半徑下頁上頁返回右半平面。左半平面。a、h、b滿足關(guān)系圓心坐標(biāo)圓半徑下頁上頁返回(以y軸為參考電位)例b)圓柱導(dǎo)線間的電場與電位解a)計(jì)算電軸位置下頁上頁返回試求兩帶電長直平行傳輸線的電場及電位分布。E

線方程下頁上頁返回根據(jù)得到Ex和Ey分量下頁上頁返回小結(jié)電軸法的理論基礎(chǔ)是場的唯一性定理；電軸法的實(shí)質(zhì)是用電軸上的線電荷替代圓柱上的不均勻分布電荷的作用；電軸法用以解決一系列平行圓柱的電場注意有效區(qū)域及電位的參考點(diǎn)試決定圖示不同半徑平行長直導(dǎo)線的電軸位置。下頁上頁返回例解已知平行傳輸線之間電壓為U0,試求電位分布。設(shè)電軸線電荷，任一點(diǎn)電位下頁上頁返回例解計(jì)算電軸位置1.兩導(dǎo)體的電容CapacitanceandDistributedCapacitance1.8電容和部分電容定義：單位：下頁上頁返回線性系統(tǒng)中，帶有等量異號(hào)電荷的兩導(dǎo)體，其電位差與電荷成正比，這個(gè)比值系數(shù)定義為兩導(dǎo)體的電容。-QQU+-電力電容下頁上頁返回電力電容下頁上頁返回2.兩導(dǎo)體電容的計(jì)算電容的計(jì)算是電場的計(jì)算給出了計(jì)算電容的方式：設(shè)下頁上頁返回說明或設(shè)忽略邊緣效應(yīng)

試求平板電容器的電容。下頁上頁返回例解試求長圓柱形電容器的電容。例解ba設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷密度為

，則設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則同心球殼間的電壓球形電容器的電容

試求同心球殼電容器的電容。下頁上頁返回同心球殼電容器例解1）當(dāng)時(shí)孤立導(dǎo)體球的電容下頁上頁返回討論2）當(dāng)時(shí)平板電容器的電容設(shè)d>>a，電軸與幾何軸線重合

試求兩線傳輸線之間的電容。下頁上頁返回例解注意電容只與兩導(dǎo)體的幾何尺寸、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。3.部分（分布）電容（DistributedCapacitance)三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)下頁上頁返回對于多導(dǎo)體系統(tǒng)，每兩個(gè)導(dǎo)體上的電壓受到所有導(dǎo)體上電荷的影響，這時(shí)系統(tǒng)中導(dǎo)體電荷與導(dǎo)體電壓的關(guān)系不能僅用一個(gè)電容來表示而需引入部分電容的概念。多導(dǎo)體系統(tǒng)靜電獨(dú)立系統(tǒng)線性系統(tǒng)討論前提下頁上頁返回N個(gè)導(dǎo)體的系統(tǒng)，各導(dǎo)體的電位電位系數(shù)電位系數(shù)下頁上頁返回矩陣形式

ai,i

—

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體

i上電荷對自身

電位的貢獻(xiàn)

ai,j—互有電位系數(shù)，表示導(dǎo)體j

上的電荷對導(dǎo)體i電位的貢獻(xiàn)電位系數(shù)的計(jì)算下頁上頁返回電位系數(shù)性質(zhì)電位系數(shù)均為正數(shù)；電位系數(shù)僅于導(dǎo)體的幾何形狀、相互位置及介質(zhì)分布有關(guān)；電位系數(shù)滿足互易性；自有電位系數(shù)大于互有電位系數(shù)；下頁上頁返回

bi,i—

自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體

i電位對自身電荷的貢獻(xiàn)

bi,j—

互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體

j電位對導(dǎo)體

i電荷的貢獻(xiàn)感應(yīng)系數(shù)感應(yīng)系數(shù)下頁上頁返回感應(yīng)系數(shù)的計(jì)算自感應(yīng)系數(shù)為正數(shù)；因i與qi

同號(hào)感應(yīng)系數(shù)僅于導(dǎo)體的幾何形狀、相互位置及介質(zhì)分布有關(guān),且滿足互易性；互感應(yīng)系數(shù)總是負(fù)值，因+

總是在其他導(dǎo)體上產(chǎn)生負(fù)電荷；自有感應(yīng)系數(shù)大于與其相關(guān)的互有感應(yīng)系數(shù)絕對值；

感應(yīng)系數(shù)性質(zhì)下頁上頁返回部分電容矩陣形式部分電容的性質(zhì)靜電獨(dú)立系統(tǒng)中n＋1個(gè)導(dǎo)體有個(gè)部分電容下頁上頁返回部分電容均為正值；部分電容是否為零，取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連；

部分電容可將場的概念與電路結(jié)合起來。下頁上頁返回部分電容與電容網(wǎng)絡(luò)結(jié)論試計(jì)算考慮大地影響時(shí)，兩線傳輸線的部分電容及等效電容。已知d>>a,

且a<<h。部分電容個(gè)數(shù)由對稱性，得(1)下頁上頁返回例解電容與帶電量無關(guān)，故則利用鏡像法，兩導(dǎo)體的電位(2)下頁上頁返回兩線輸電線對大地的鏡像聯(lián)立解得兩線間的等效電容：下頁上頁返回所以靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。靜電屏蔽三導(dǎo)體系統(tǒng)的方程為：4.靜電屏蔽當(dāng)時(shí)，說明1號(hào)與2號(hào)導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了靜電屏蔽。下頁上頁返回1.9靜電能量與力1.靜電能量

(ElectrostaticEnergy)ElectrostaticEnergyandForce

用場源表示靜電能量下頁上頁返回電磁場是一種特殊形式的物質(zhì)，能量是物質(zhì)的屬性之一。電場能量是在建立電場過程中從與各導(dǎo)體相連接的電源中取得的，因此電場儲(chǔ)能是外力做功形成的。討論前提線性系統(tǒng)；電場建立無限緩慢，忽略能量的輻射；沒有動(dòng)能，只考慮位能。下頁上頁返回電荷增量設(shè)將dq電荷移至電場中外源做功推廣2：若是帶電導(dǎo)體系統(tǒng)，靜電能量為推廣1：若是連續(xù)分布的電荷，

下頁上頁返回注意上式建立在靜電場是位場的基礎(chǔ)上，只適用于靜電場。推廣3：若是n個(gè)點(diǎn)電荷的系統(tǒng)，靜電能量為下頁上頁返回只含互有能固有能和相互作用能固有能把某一區(qū)域的電荷從無窮遠(yuǎn)聚攏到給定分布所需的功。互有能把各區(qū)域的電荷放置到各自給定位置所需的功。設(shè)空間有兩個(gè)電荷分布區(qū)下頁上頁返回說明要把一定量的電荷壓縮到幾何上的一個(gè)點(diǎn)需要克服無窮大的斥力，需要作無窮大的功。同理，線電荷的固有能也為無窮大。對點(diǎn)、線電荷只研究互有能。點(diǎn)電荷qV11V22當(dāng)

半徑為a的球面帶電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。球面電荷的固有能下頁上頁返回例解qQ在球面產(chǎn)生的電位Q在球心建立的電位q在球面產(chǎn)生的電位把點(diǎn)電荷從移至球面電荷中心所需作的功下頁上頁返回

用場量表示靜電能量能量矢量衡等式若用公式計(jì)算定義能量密度下頁上頁返回各向同性均勻媒質(zhì)適用于靜電場和時(shí)變場因當(dāng)時(shí)，面積分為零，故

半徑為a的球面帶面電荷Q，球心放一點(diǎn)電荷q，求靜電能量。下頁上頁返回例解q點(diǎn)電荷的固有能下頁上頁返回試求平板電容器的靜電能量。例平行板電容器解帶電導(dǎo)體系統(tǒng)電容能量的計(jì)算式試求真空中體電荷密度為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。由場量求靜電能量下頁上頁返回例解一由場源求靜電能量球內(nèi)任一點(diǎn)的電位下頁上頁返回解二

原子可看成由帶正電荷q的原子核被體電荷分布的負(fù)電荷云-q包圍，試求原子結(jié)合能。前例中當(dāng)時(shí)下頁上頁返回原子結(jié)構(gòu)模型例解2.靜電力

(ElectrostaticForce)下頁上頁返回1）根據(jù)電場定義計(jì)算靜電力注意上式使用的條件只適用于均勻介質(zhì)式中的電場E不包括dq本身的貢獻(xiàn)矢量積分多導(dǎo)體系統(tǒng)(K打開)虛位移法下頁上頁返回2）根據(jù)電場能量計(jì)算靜電力在多導(dǎo)體系統(tǒng)中，導(dǎo)體p發(fā)生位移dg后,系統(tǒng)發(fā)生的功能過程為：外源提供能量=

靜電能量增量+電場力所作功常電荷系統(tǒng)（K打開）取消外源后，電場力做功必須靠減少電場中靜電能量來實(shí)現(xiàn)。下頁上頁返回表明常電位系統(tǒng)（K閉合）多導(dǎo)體系統(tǒng)(K閉合)p外源提供能量的增量

外源提供的能量有一半用于靜電能量的增量，另一半用于電場力做功。下頁上頁返回表明注意

dg廣義坐標(biāo)：距離、面積、體積、角度。廣義力×廣義坐標(biāo)=功廣義坐標(biāo)距離面積體積角度廣義力機(jī)械力表面張力壓強(qiáng)轉(zhuǎn)矩單位NN/mN/m2Nm

f廣義力：企圖改變某一個(gè)廣義坐標(biāo)的力。下頁上頁返回滿足對應(yīng)關(guān)系：廣義力是代數(shù)量，根據(jù)

f的“±”號(hào)判斷力的方向。廣義力的正方向?yàn)閺V義坐標(biāo)增加的方向。常電位系統(tǒng)試求圖示平行板電容器兩極板間的電場力。平行板電容器取d為廣義坐標(biāo)（相對位置坐標(biāo)）負(fù)號(hào)表示電場力的方向企圖使廣義坐標(biāo)d減小，即電容增大。下頁上頁返回例解一常電荷系統(tǒng)當(dāng)滿足所設(shè)條件，兩種計(jì)算結(jié)果相同下頁上頁返回解二圖示一球形薄膜帶電表面，半徑為a，其上帶電荷為q，試求薄膜單位面積所受的電場力。取體積為廣義坐標(biāo)f的方向是廣義坐標(biāo)V增加的方向，表現(xiàn)為膨脹力。N/m2下頁上頁返回球形薄膜例解下頁上頁返回根據(jù)庫侖定律，點(diǎn)電荷q處的電場應(yīng)用虛位移法圖示為半徑為R、接電壓U0的導(dǎo)體球位于點(diǎn)電荷q的電場中，試求導(dǎo)體球所受的電場力。應(yīng)用鏡像法例解Q下頁上頁返回沿廣義坐標(biāo)增大的方向設(shè)為常電荷系統(tǒng)設(shè)為常電位系統(tǒng)虛位移法的結(jié)果不正確，因?yàn)橄到y(tǒng)不屬于常電位系統(tǒng)，也不是常電荷系統(tǒng)。3）根據(jù)法拉第觀點(diǎn)計(jì)算靜電力（Farade’sreview）法拉第認(rèn)為，在場中沿通量線作一通量管，沿其軸向受到電場的縱張力，垂直于軸線方向受到側(cè)壓力