第四章 Microsoft PowerPoint 演示文稿

第4章沖量和動量空氣動力學家、火箭專家錢學森第4章沖量和動量

4.1

質點動量定理

4.2

質點系動量定理

4.3

質點系動量守恒定律

4.4

質心質心運動定理

4.1質點動量定理一、動量和沖量由牛頓第二定律：積分,得1.動量2.沖量描述質點運動狀態(tài)的物理量。描述力對時間累積作用的物理量。在給定時間間隔內,質點所受合外力的沖量,等于質點在此時間內動量的增量。②二、質點的動量定理①為狀態(tài)量;為過程量,方向沿的方向。為質點所受到的合外力。討論某方向受到沖量，該方向上動量就增加。微分形式積分形式分量表示例1質量m=1kg的質點M，從O點開始沿半徑R=2m的圓周運動，如圖。以O點為自然坐標原點，已知M的運動學方程為s=0.5πt2m。求從t1=21/2s到t2=2s這段時間內作用于質點M的合力的沖量。解以M為研究對象質點的速度質點在Ａ點的動量大小質點在Ｂ點的動量大小根據動量定理由圖(b)可知沖量的方向例2質量為m

的勻質鏈條,全長為L,開始時,下端與地面的距離為h。解dl

在落地時的速度LhmllNN′G求當鏈條自由下落在地面上的長度為l

時，地面所受鏈條的作用力？LhmllNN′G根據動量定理地面受力例3一籃球質量0.58kg,從2.0m高度下落,到達地面后,以同樣速率反彈,接觸時間僅0.019s。解籃球到達地面的速率對地平均沖力tF(max)F0.019sO相當于40kg重物所受重力!求對地平均沖力?外力：系統(tǒng)外對質點的作用力。內力：系統(tǒng)內質點間的相互作用力。質點系4.2質點系動量定理兩個質點而n

個質點組成的系統(tǒng)由于內力總是成對出現(xiàn)的，其矢量和為零。微分形式積分形式作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量?！|點系的動量定理。2.定理僅適應于慣性系。1.力對時間的累積,等于動量的改變量。1.區(qū)分外力和內力。2.內力僅能改變系統(tǒng)內某個物體的動量,但不能改變系統(tǒng)的總動量。討論注意外力和內力動量定理常應用于碰撞問題越小,則越大。當一定時，注意：例1容器中有大量氣體分子，為簡單起見，假想每個分子都以速度v碰到鉛直的器壁上,v與器壁法線N方向的夾角為α，并以相同的速率和角度彈回來。若單位體積內的分子數(shù)為n,每個分子的質量為m,求分子對器壁的壓強。解取Δt時間內碰到器壁上的氣體分子系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)總質量為由動量定理碰撞前后分子系統(tǒng)沿N方向的投影分別為故例2一子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑水平面上的木塊，已知兩木塊的質量分別為m1、m2，子彈穿過兩木塊的時間各為t1、t2，設子彈在木塊中所受的阻力為恒力F。解子彈穿過第一木塊時,兩木塊速度相同,均為v1

求子彈穿過后，兩木塊各以多大速度運動？子彈穿過第二木塊后,第二木塊速度變?yōu)関2解得例3一鋼球m=0.05kg,v=10m/s,以與鋼板法線呈45o的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回。設球與鋼板的碰撞時間為△t

=0.05s。求：在此碰撞時間內鋼板所受的平均沖力。解：作用時間△t很短,可以忽略重力的影響。鋼板對球的平均沖力球對鋼板的平均沖力xyo(((內力遠大于外力)對鋼球：分量式xyo((鋼球所受的平均沖力為鋼板所受的平均沖力，方向沿x軸負向。xyo((4.3質點系動量守恒定律一、動量守恒定律由質點系的動量定理：一個質點系所受的合外力為零時，這個系統(tǒng)的總動量將保持不變。即得在直角坐標系中的分量表示：1.系統(tǒng)總動量守恒，但每個質點的動量可能變化。2.在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中,相互作用的內力遠大于外力,故往往可忽略外力。討論3.動量守恒可在某一方向上成立。4.定律中的速度應是對同一慣性系的速度,動量和應是同一時刻的動量之和。6.動量守恒定律在微觀高速范圍仍適用。5.動量守恒定律只適用于慣性系。例1一長為l=4m,質量為M=150kg的船，靜止浮在湖面上。今有一質量m=50kg的人，從船頭走到船尾,如圖所示。求人和船相對于湖岸各移動的距離，設水對船的阻力忽略不計。解選人和船組成的系統(tǒng)為研究對象，水平方向動量守恒上式兩邊同乘，并積分用S和s分別表示船和人相對于湖岸移動的距離，則有由圖知例2靜止的原子核衰變時輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核。已知電子的動量為1.2×10-23kgm/s，中微子的動量為6.4×10-23kgm/s,它們的運動方向相互垂直。求新原子核的動量的大小和方向。αθ解原子衰變前后系統(tǒng)動量守恒所以：因為

與垂直：αθ例3一火箭以v=2.5×103m/s的速率相對地面沿水平方向飛行時分離成兩部分，前部是質量為100kg的儀器艙，后部是質量為200kg的燃料容器,若前部相對后部的水平速率為1000m/s。oSyzm1m2求:他們相對地面的速度。燃料容器m2為運動參考系設為火箭分離前相對S的速度，和為分離后儀器艙

m1和燃料容器m2相對S的速度，為分離后m1相對于

m2（

）的速度。取地面為固定參考系S(Oxyz)解oSyzm1m2火箭分離前后只受重力,水平方向動量守恒。對同一慣性系S，有由伽利略速度變換：同在水平方向上,故上式為：解上兩式,得：代入數(shù)據有：同理，得例4在恒星系中,兩個質量分別為m

1

和m2的星球，原來為靜止，且相距為無窮遠，后在引力的作用下，互相接近，到相距為r

時，它們之間的相對速率為多少？解由動量守恒和機械能守恒解得相對速率例5如圖示,兩部運水的卡車A、B在水平面上沿同一方向運動,B的速度為u,從B上以6kg/s的速率將水抽至A上，水從管子尾部出口垂直落下，車與地面間的摩擦不計，時刻t

時，A車的質量為M，速度為v

。ABuvA求時刻t,A

的瞬時加速度。解選A車M和t時間內抽至A車的水m為研究系統(tǒng)，水平方向上動量守恒ABuvA一、質心1.質心的概念板上C點的運動軌跡是拋物線，C點是板的質心。其余點的運動=隨C點的平動+繞C點的轉動。ccccccc4.4質心質心運動定理m1mim2c2.質心的位置由n個質點組成的質點系，其質心的位置：對質量連續(xù)分布的物體對質量離散分布的系統(tǒng)對密度均勻、形狀對稱的物體，質心在其幾何中心。說明二、質心運動定律上式兩邊對時間t

求一階導數(shù)，得m1mim2c再對時間t

求一階導數(shù)，得根據質點系動量定理（因質點系內）作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質量乘以質心的加速度——質心運動定律。例1水分子H2O的結構如圖,每個氫原子和氧原子之間距離均為d=1.0×10-10m,氫原子和氧原子兩條連線間的夾角為

=104.6o。OHHoCdd52.3o52.3o解:yC=0求:水分子的質心。例2求半徑為R

的勻質半薄球殼的質心。解:選如圖所示的坐標系。在半球殼上取一圓環(huán),其面積為圓環(huán)的質量由于球殼關于y軸對稱，故xc=0RθO而所以其質心位矢：θRO運載火箭技術反映了當代科技水平的綜合技術,但就動力學原理而言，仍是動量和動量守恒定律?；鸺谶\行時生成的熾熱氣體高速向后噴射,使火箭主體獲得向前的動量。若將任一時刻t

火箭的總質量M分成兩部分:系統(tǒng)體內質量移動問題（火箭飛行原理）火箭主體質量Mdm

；將被噴射的物質質量dm。在t+dt

時刻,dm被以相對于火箭的速度u

噴出(稱為噴射速度),火箭主體則以v+dv

的速度相對于地面運行。在t

時刻,dm

尚未被噴出,火箭總質量相對于地面的速度為v

,動量為Mv

；z將火箭主體和噴射物質視為一個系統(tǒng)，并忽略作用于系統(tǒng)的外力,即火箭的重力Mg。根據動量守恒定律，在z方向的分量式有z因dm的噴射，火箭總質量M在減少，減少量為dM,故有dm=dM。于是上式變?yōu)榉e分得即火箭主體在其質量從M0變到M時所達到的速度為上式表明,火箭所能達到的速度決定于噴射速度u和質量比(M0/M)的自然對數(shù)?；瘜W燃燒過程所達到的噴射速度理論值為5×103m·s-1,而實際能達到的只是此值的一半左右。提高火箭速度的潛力在于提高質量比(M0/M)和采用多級火箭技術。在(M0/M)中,M0是火箭尚未發(fā)射時的質量,包括負載、火箭外殼等結構以及全部燃料和氧化劑的質量,M是負載及外殼等結構的質量。計算表明,要使火箭主體超過第一宇宙速度(7.9kms1)，用以發(fā)射人造地球衛(wèi)星,質量比要高達55左右。實際上，僅靠增加單級火箭的質量比或增大粒子流的噴射速率來提高火箭的飛行速度是不夠的。一般采用多級火箭，如三級火箭。設質量比為N,，則第一、二、三級的質量比分別為各級火箭中燃料燒完后,火箭的速率為若火箭粒子流的噴射速率u=2.5kms-1，每一級的質量比分別為N1=4,N2=3,N3=2,可得:v3=7.93kms-1。例3有一個三級火箭,第一級火箭脫落前的質量比為N1,第二級火箭剛發(fā)動時火箭的質量與第二級火箭燃料耗盡時火箭的質量之比為N2,第三級火箭剛點燃時火箭的質量與燃料耗盡時火箭的質量之比為N3。若取N1=N2=N3=7.4；各級火箭的噴射速度都為u=2.5kms-1。不計重力影響,求該火箭最后達到的速度。解根據火箭速度公式,在第一級火箭燃料耗盡時達到的速度為在第二級火箭燃料耗盡時,火箭主體的速度達到了v