第四章 Microsoft PowerPoint 演示文稿

第4章沖量和動(dòng)量空氣動(dòng)力學(xué)家、火箭專(zhuān)家錢(qián)學(xué)森第4章沖量和動(dòng)量

4.1

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理

4.2

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理

4.3

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律

4.4

質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

4.1質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理一、動(dòng)量和沖量由牛頓第二定律：積分,得1.動(dòng)量2.沖量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。描述力對(duì)時(shí)間累積作用的物理量。在給定時(shí)間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量,等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量。②二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理①為狀態(tài)量;為過(guò)程量,方向沿的方向。為質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力。討論某方向受到?jīng)_量，該方向上動(dòng)量就增加。微分形式積分形式分量表示例1質(zhì)量m=1kg的質(zhì)點(diǎn)M，從O點(diǎn)開(kāi)始沿半徑R=2m的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖。以O(shè)點(diǎn)為自然坐標(biāo)原點(diǎn)，已知M的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為s=0.5πt2m。求從t1=21/2s到t2=2s這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)M的合力的沖量。解以M為研究對(duì)象質(zhì)點(diǎn)的速度質(zhì)點(diǎn)在Ａ點(diǎn)的動(dòng)量大小質(zhì)點(diǎn)在Ｂ點(diǎn)的動(dòng)量大小根據(jù)動(dòng)量定理由圖(b)可知沖量的方向例2質(zhì)量為m

的勻質(zhì)鏈條,全長(zhǎng)為L(zhǎng),開(kāi)始時(shí),下端與地面的距離為h。解dl

在落地時(shí)的速度LhmllNN′G求當(dāng)鏈條自由下落在地面上的長(zhǎng)度為l

時(shí)，地面所受鏈條的作用力？LhmllNN′G根據(jù)動(dòng)量定理地面受力例3一籃球質(zhì)量0.58kg,從2.0m高度下落,到達(dá)地面后,以同樣速率反彈,接觸時(shí)間僅0.019s。解籃球到達(dá)地面的速率對(duì)地平均沖力tF(max)F0.019sO相當(dāng)于40kg重物所受重力!求對(duì)地平均沖力?外力：系統(tǒng)外對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。質(zhì)點(diǎn)系4.2質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)而n

個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，其矢量和為零。微分形式積分形式作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量?！|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理。2.定理僅適應(yīng)于慣性系。1.力對(duì)時(shí)間的累積,等于動(dòng)量的改變量。1.區(qū)分外力和內(nèi)力。2.內(nèi)力僅能改變系統(tǒng)內(nèi)某個(gè)物體的動(dòng)量,但不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。討論注意外力和內(nèi)力動(dòng)量定理常應(yīng)用于碰撞問(wèn)題越小,則越大。當(dāng)一定時(shí)，注意：例1容器中有大量氣體分子，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假想每個(gè)分子都以速度v碰到鉛直的器壁上,v與器壁法線N方向的夾角為α，并以相同的速率和角度彈回來(lái)。若單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n,每個(gè)分子的質(zhì)量為m,求分子對(duì)器壁的壓強(qiáng)。解取Δt時(shí)間內(nèi)碰到器壁上的氣體分子系統(tǒng)為研究對(duì)象,系統(tǒng)總質(zhì)量為由動(dòng)量定理碰撞前后分子系統(tǒng)沿N方向的投影分別為故例2一子彈水平地穿過(guò)并排靜止放置在光滑水平面上的木塊，已知兩木塊的質(zhì)量分別為m1、m2，子彈穿過(guò)兩木塊的時(shí)間各為t1、t2，設(shè)子彈在木塊中所受的阻力為恒力F。解子彈穿過(guò)第一木塊時(shí),兩木塊速度相同,均為v1

求子彈穿過(guò)后，兩木塊各以多大速度運(yùn)動(dòng)？子彈穿過(guò)第二木塊后,第二木塊速度變?yōu)関2解得例3一鋼球m=0.05kg,v=10m/s,以與鋼板法線呈45o的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回。設(shè)球與鋼板的碰撞時(shí)間為△t

=0.05s。求：在此碰撞時(shí)間內(nèi)鋼板所受的平均沖力。解：作用時(shí)間△t很短,可以忽略重力的影響。鋼板對(duì)球的平均沖力球?qū)︿摪宓钠骄鶝_力xyo(((內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力)對(duì)鋼球：分量式xyo((鋼球所受的平均沖力為鋼板所受的平均沖力，方向沿x軸負(fù)向。xyo((4.3質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律一、動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)的總動(dòng)量將保持不變。即得在直角坐標(biāo)系中的分量表示：1.系統(tǒng)總動(dòng)量守恒，但每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量可能變化。2.在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時(shí)間極短的過(guò)程中,相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力,故往往可忽略外力。討論3.動(dòng)量守恒可在某一方向上成立。4.定律中的速度應(yīng)是對(duì)同一慣性系的速度,動(dòng)量和應(yīng)是同一時(shí)刻的動(dòng)量之和。6.動(dòng)量守恒定律在微觀高速范圍仍適用。5.動(dòng)量守恒定律只適用于慣性系。例1一長(zhǎng)為l=4m,質(zhì)量為M=150kg的船，靜止浮在湖面上。今有一質(zhì)量m=50kg的人，從船頭走到船尾,如圖所示。求人和船相對(duì)于湖岸各移動(dòng)的距離，設(shè)水對(duì)船的阻力忽略不計(jì)。解選人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，水平方向動(dòng)量守恒上式兩邊同乘，并積分用S和s分別表示船和人相對(duì)于湖岸移動(dòng)的距離，則有由圖知例2靜止的原子核衰變時(shí)輻射出一個(gè)電子和一個(gè)中微子后成為一個(gè)新的原子核。已知電子的動(dòng)量為1.2×10-23kgm/s，中微子的動(dòng)量為6.4×10-23kgm/s,它們的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直。求新原子核的動(dòng)量的大小和方向。αθ解原子衰變前后系統(tǒng)動(dòng)量守恒所以：因?yàn)?/p>

與垂直：αθ例3一火箭以v=2.5×103m/s的速率相對(duì)地面沿水平方向飛行時(shí)分離成兩部分，前部是質(zhì)量為100kg的儀器艙，后部是質(zhì)量為200kg的燃料容器,若前部相對(duì)后部的水平速率為1000m/s。oSyzm1m2求:他們相對(duì)地面的速度。燃料容器m2為運(yùn)動(dòng)參考系設(shè)為火箭分離前相對(duì)S的速度，和為分離后儀器艙

m1和燃料容器m2相對(duì)S的速度，為分離后m1相對(duì)于

m2（

）的速度。取地面為固定參考系S(Oxyz)解oSyzm1m2火箭分離前后只受重力,水平方向動(dòng)量守恒。對(duì)同一慣性系S，有由伽利略速度變換：同在水平方向上,故上式為：解上兩式,得：代入數(shù)據(jù)有：同理，得例4在恒星系中,兩個(gè)質(zhì)量分別為m

1

和m2的星球，原來(lái)為靜止，且相距為無(wú)窮遠(yuǎn)，后在引力的作用下，互相接近，到相距為r

時(shí)，它們之間的相對(duì)速率為多少？解由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒解得相對(duì)速率例5如圖示,兩部運(yùn)水的卡車(chē)A、B在水平面上沿同一方向運(yùn)動(dòng),B的速度為u,從B上以6kg/s的速率將水抽至A上，水從管子尾部出口垂直落下，車(chē)與地面間的摩擦不計(jì)，時(shí)刻t

時(shí)，A車(chē)的質(zhì)量為M，速度為v

。ABuvA求時(shí)刻t,A

的瞬時(shí)加速度。解選A車(chē)M和t時(shí)間內(nèi)抽至A車(chē)的水m為研究系統(tǒng)，水平方向上動(dòng)量守恒ABuvA一、質(zhì)心1.質(zhì)心的概念板上C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，C點(diǎn)是板的質(zhì)心。其余點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)=隨C點(diǎn)的平動(dòng)+繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。ccccccc4.4質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理m1mim2c2.質(zhì)心的位置由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位置：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體對(duì)質(zhì)量離散分布的系統(tǒng)對(duì)密度均勻、形狀對(duì)稱(chēng)的物體，質(zhì)心在其幾何中心。說(shuō)明二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律上式兩邊對(duì)時(shí)間t

求一階導(dǎo)數(shù)，得m1mim2c再對(duì)時(shí)間t

求一階導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理（因質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)）作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量乘以質(zhì)心的加速度——質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。例1水分子H2O的結(jié)構(gòu)如圖,每個(gè)氫原子和氧原子之間距離均為d=1.0×10-10m,氫原子和氧原子兩條連線間的夾角為

=104.6o。OHHoCdd52.3o52.3o解:yC=0求:水分子的質(zhì)心。例2求半徑為R

的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心。解:選如圖所示的坐標(biāo)系。在半球殼上取一圓環(huán),其面積為圓環(huán)的質(zhì)量由于球殼關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故xc=0RθO而所以其質(zhì)心位矢：θRO運(yùn)載火箭技術(shù)反映了當(dāng)代科技水平的綜合技術(shù),但就動(dòng)力學(xué)原理而言，仍是動(dòng)量和動(dòng)量守恒定律。火箭在運(yùn)行時(shí)生成的熾熱氣體高速向后噴射,使火箭主體獲得向前的動(dòng)量。若將任一時(shí)刻t

火箭的總質(zhì)量M分成兩部分:系統(tǒng)體內(nèi)質(zhì)量移動(dòng)問(wèn)題（火箭飛行原理）火箭主體質(zhì)量Mdm

；將被噴射的物質(zhì)質(zhì)量dm。在t+dt

時(shí)刻,dm被以相對(duì)于火箭的速度u

噴出(稱(chēng)為噴射速度),火箭主體則以v+dv

的速度相對(duì)于地面運(yùn)行。在t

時(shí)刻,dm

尚未被噴出,火箭總質(zhì)量相對(duì)于地面的速度為v

,動(dòng)量為Mv

；z將火箭主體和噴射物質(zhì)視為一個(gè)系統(tǒng)，并忽略作用于系統(tǒng)的外力,即火箭的重力Mg。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，在z方向的分量式有z因dm的噴射，火箭總質(zhì)量M在減少，減少量為dM,故有dm=dM。于是上式變?yōu)榉e分得即火箭主體在其質(zhì)量從M0變到M時(shí)所達(dá)到的速度為上式表明,火箭所能達(dá)到的速度決定于噴射速度u和質(zhì)量比(M0/M)的自然對(duì)數(shù)?；瘜W(xué)燃燒過(guò)程所達(dá)到的噴射速度理論值為5×103m·s-1,而實(shí)際能達(dá)到的只是此值的一半左右。提高火箭速度的潛力在于提高質(zhì)量比(M0/M)和采用多級(jí)火箭技術(shù)。在(M0/M)中,M0是火箭尚未發(fā)射時(shí)的質(zhì)量,包括負(fù)載、火箭外殼等結(jié)構(gòu)以及全部燃料和氧化劑的質(zhì)量,M是負(fù)載及外殼等結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。計(jì)算表明,要使火箭主體超過(guò)第一宇宙速度(7.9kms1)，用以發(fā)射人造地球衛(wèi)星,質(zhì)量比要高達(dá)55左右。實(shí)際上，僅靠增加單級(jí)火箭的質(zhì)量比或增大粒子流的噴射速率來(lái)提高火箭的飛行速度是不夠的。一般采用多級(jí)火箭，如三級(jí)火箭。設(shè)質(zhì)量比為N,，則第一、二、三級(jí)的質(zhì)量比分別為各級(jí)火箭中燃料燒完后,火箭的速率為若火箭粒子流的噴射速率u=2.5kms-1，每一級(jí)的質(zhì)量比分別為N1=4,N2=3,N3=2,可得:v3=7.93kms-1。例3有一個(gè)三級(jí)火箭,第一級(jí)火箭脫落前的質(zhì)量比為N1,第二級(jí)火箭剛發(fā)動(dòng)時(shí)火箭的質(zhì)量與第二級(jí)火箭燃料耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量之比為N2,第三級(jí)火箭剛點(diǎn)燃時(shí)火箭的質(zhì)量與燃料耗盡時(shí)火箭的質(zhì)量之比為N3。若取N1=N2=N3=7.4；各級(jí)火箭的噴射速度都為u=2.5kms-1。不計(jì)重力影響,求該火箭最后達(dá)到的速度。解根據(jù)火箭速度公式,在第一級(jí)火箭燃料耗盡時(shí)達(dá)到的速度為在第二級(jí)火箭燃料耗盡時(shí),火箭主體的速度達(dá)到了v