第四章 時(shí)變電磁場

第4章時(shí)變電磁場本章內(nèi)容4.1

波動(dòng)方程4.2電磁場的位函數(shù)4.3電磁能量守恒定理4.4惟一性定理4.5時(shí)諧電磁場14.1波動(dòng)方程在無源空間中，設(shè)媒質(zhì)是線形、各向同性且無損耗的均勻媒質(zhì)，則有無源區(qū)的波動(dòng)方程波動(dòng)方程——二階矢量微分方程，揭示電磁場的波動(dòng)性

麥克斯韋方程——一階矢量微分方程組，描述電場與磁場間的相互作用關(guān)系

麥克斯韋方程組波動(dòng)方程問題的提出電磁波動(dòng)方程2同理可得

推證問題

若為有源空間，結(jié)果如何？

若為導(dǎo)電媒質(zhì)，結(jié)果如何？34.2電磁場的位函數(shù)

討論內(nèi)容位函數(shù)的性質(zhì)位函數(shù)的定義位函數(shù)的規(guī)范條件位函數(shù)的微分方程4引入位函數(shù)來描述時(shí)變電磁場，使一些問題的分析得到簡化。引入位函數(shù)的意義位函數(shù)的定義5位函數(shù)的不確定性滿足下列變換關(guān)系的兩組位函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁場問題。即也就是說，對一給定的電磁場可用不同的位函數(shù)來描述。不同位函數(shù)之間的上述變換稱為規(guī)范變換

原因：未規(guī)定的散度為任意可微函數(shù)6除了利用洛倫茲條件外，另一種常用的是庫侖條件，即在電磁理論中，通常采用洛倫茲條件，即位函數(shù)的規(guī)范條件造成位函數(shù)的不確定性的原因就是沒有規(guī)定的散度。利用位函數(shù)的不確定性，可通過規(guī)定的散度使位函數(shù)滿足的方程得以簡化。7位函數(shù)的微分方程8同樣9說明若應(yīng)用庫侖條件，位函數(shù)滿足什么樣的方程?具有什么特點(diǎn)?

問題應(yīng)用洛侖茲條件的特點(diǎn)：①位函數(shù)滿足的方程在形式上是對稱的，且比較簡單，易求解；②解的物理意義非常清楚，明確地反映出電磁場具有有限的傳遞速度；③矢量位只決定于J，標(biāo)量位只決定于ρ，這對求解方程特別有利。只需解出A，無需解出就可得到待求的電場和磁場。電磁位函數(shù)只是簡化時(shí)變電磁場分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位A和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場矢量是相同的。104.3電磁能量守恒定律

討論內(nèi)容坡印廷定理電磁能量及守恒關(guān)系坡印廷矢量11進(jìn)入體積V的能量＝體積V內(nèi)增加的能量＋體積V內(nèi)損耗的能量電場能量密度：磁場能量密度：電磁能量密度：空間區(qū)域V中的電磁能量：

特點(diǎn)：當(dāng)場隨時(shí)間變化時(shí)，空間各點(diǎn)的電磁場能量密度也要隨時(shí)間改變，從而引起電磁能量流動(dòng)

電磁能量守恒關(guān)系：電磁能量及守恒關(guān)系12其中：——單位時(shí)間內(nèi)體積V中所增加的電磁能量——單位時(shí)間內(nèi)電場對體積V中的電流所作的功；在導(dǎo)電媒質(zhì)中，即為體積V內(nèi)總的損耗功率——通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率表征電磁能量守恒關(guān)系的定理積分形式：坡印廷定理微分形式：13

在線性和各向同性的媒質(zhì)，當(dāng)參數(shù)都不隨時(shí)間變化時(shí)，則有將以上兩式相減，得到由

推證14即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式：在任意閉曲面S所包圍的體積V上，對上式兩端積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式物理意義：單位時(shí)間內(nèi)，通過曲面S進(jìn)入體積V的電磁能量等于體積V中所增加的電磁場能量與損耗的能量之和。15

定義：

(W/m2

)

物理意義：

的方向——電磁能量傳輸?shù)姆较虻拇笮　ㄟ^垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁功率描述時(shí)變電磁場中電磁能量傳輸?shù)囊粋€(gè)重要物理量坡印廷矢量（電磁能流密度矢量）164.4惟一性定理

在以閉曲面S為邊界的有界區(qū)域內(nèi)V，如果給定t＝0時(shí)刻的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的初始值，并且在t

0時(shí)，給定邊界面S上的電場強(qiáng)度的切向分量或磁場強(qiáng)度的切向分量，那么，在t>0時(shí)，區(qū)域V內(nèi)的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。

惟一性定理的表述在分析有界區(qū)域的時(shí)變電磁場問題時(shí)，常常需要在給定的初始條件和邊界條件下，求解麥克斯韋方程。那么，在什么定解條件下，有界區(qū)域中的麥克斯韋方程的解才是惟一的呢？這就是麥克斯韋方程的解的惟一問題。

惟一性問題174.5時(shí)諧電磁場

復(fù)矢量的麥克斯韋方程時(shí)諧電磁場的復(fù)數(shù)表示復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率時(shí)諧場的位函數(shù)亥姆霍茲方程平均能流密度矢量18時(shí)諧電磁場的概念如果場源以一定的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時(shí)間呈時(shí)諧變化。這種以一定角頻率作時(shí)諧變化的電磁場，稱為時(shí)諧電磁場或正弦電磁場。

研究時(shí)諧電磁場具有重要意義在工程上，應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場。

任意的時(shí)變場在一定的條件下可通過傅立葉分析方法展開為不同頻率的時(shí)諧場的疊加。194.5.1時(shí)諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時(shí)諧電磁場可用復(fù)數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時(shí)諧電磁場問題得分析得以簡化。

設(shè)是一個(gè)以角頻率隨時(shí)間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個(gè)分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時(shí)間的關(guān)系可以表示成其中時(shí)間因子空間相位因子利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標(biāo)有關(guān)的相位因子。實(shí)數(shù)表示法或瞬時(shí)表示法復(fù)數(shù)表示法復(fù)振幅20復(fù)數(shù)式只是數(shù)學(xué)表示方式，不代表真實(shí)的場真實(shí)場是復(fù)數(shù)式的實(shí)部，即瞬時(shí)表達(dá)式由于時(shí)間因子是默認(rèn)的，有時(shí)它不用寫出來，只用與坐標(biāo)有關(guān)的部份就可表示復(fù)矢量照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y或z）可表示成各分量合成以后，電場強(qiáng)度為

有關(guān)復(fù)數(shù)表示的進(jìn)一步說明復(fù)矢量21例4.5.1

將下列場矢量的瞬時(shí)值形式寫為復(fù)數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以22（2）因?yàn)楣仕?3

例4.5.2

已知電場強(qiáng)度復(fù)矢量解其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量24以電場旋度方程為例，代入相應(yīng)場量的矢量，可得將、與交換次序，得上式對任意t均成立。令t＝0，得4.5.2復(fù)矢量的麥克斯韋方程令ωt＝π/2，得即25從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時(shí)諧電磁場的場量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為復(fù)矢量之間關(guān)系。因此得到復(fù)矢量的麥克斯韋方程～略去“.”和下標(biāo)m26例題：已知正弦電磁場的電場瞬時(shí)值為式中

解：（1）因?yàn)楣孰妶龅膹?fù)矢量為試求：（1）電場的復(fù)矢量;（2）磁場的復(fù)矢量和瞬時(shí)值。27（2）由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復(fù)矢量磁場強(qiáng)度瞬時(shí)值28實(shí)際的介質(zhì)都存在損耗：

導(dǎo)電媒質(zhì)——當(dāng)電導(dǎo)率有限時(shí)，存在歐姆損耗

電介質(zhì)——受到極化時(shí)，存在電極化損耗

磁介質(zhì)——受到磁化時(shí)，存在磁化損耗損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時(shí)間變化的頻率有關(guān)。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時(shí)可以忽略，但在高頻時(shí)就不能忽略。4.5.3復(fù)電容率和復(fù)磁導(dǎo)率

導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)

對于介電常數(shù)為、電導(dǎo)率為的導(dǎo)電媒質(zhì)，有其中c=

-jσ/ω、稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。29電介質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)

對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為復(fù)介電常數(shù)或復(fù)電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實(shí)部和虛部都是頻率的函數(shù)。同時(shí)存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)

對于同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復(fù)介電常數(shù)為磁介質(zhì)的復(fù)磁導(dǎo)率

對于磁性介質(zhì)，復(fù)磁導(dǎo)率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。30損耗角正切

工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復(fù)介常數(shù)或復(fù)磁導(dǎo)率的虛部與實(shí)部之比，即有導(dǎo)電媒質(zhì)導(dǎo)電性能的相對性

導(dǎo)電媒質(zhì)的導(dǎo)電性能具有相對性，在不同頻率情況下，導(dǎo)電媒質(zhì)具有不同的導(dǎo)電性能。電介質(zhì)導(dǎo)電媒質(zhì)磁介質(zhì)——弱導(dǎo)電媒質(zhì)和良絕緣體——一般導(dǎo)電媒質(zhì)——良導(dǎo)體314.5.4亥姆霍茲方程

導(dǎo)電媒質(zhì)理想介質(zhì)

在時(shí)諧時(shí)情況下，將、，即可得到復(fù)矢量的波動(dòng)方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時(shí)矢量復(fù)矢量324.5.5時(shí)諧場的位函數(shù)

在時(shí)諧情況下，矢量位和標(biāo)量位以及它們滿足的方程都可以表示成復(fù)數(shù)形式。洛侖茲條件達(dá)朗貝爾方程瞬時(shí)矢量復(fù)矢量334.5.6平均能量密度和平均能流密度矢量

時(shí)諧場中二次式的表示方法

二次式本身不能用復(fù)數(shù)形式表示，其中的場量必須是實(shí)數(shù)形式，不能將復(fù)數(shù)形式的場量直接代入。

設(shè)某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度分別為電磁場能量密度和能流密度的表達(dá)式中都包含了場量的平方關(guān)系，這種關(guān)系式稱為二次式。34則能流密度為如把電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度用復(fù)數(shù)表示，即有先取實(shí)部，再代入35使用二次式時(shí)需要注意的問題二次式只有實(shí)數(shù)的形式，沒有復(fù)數(shù)形式場量是實(shí)數(shù)式時(shí)，直接代入二次式即可場量是復(fù)數(shù)式時(shí)，應(yīng)先取實(shí)部再代入，即“先取實(shí)后相乘”如復(fù)數(shù)形式的場量中沒有時(shí)間因子，取實(shí)前先補(bǔ)充時(shí)間因子36二次式的時(shí)間平均值在時(shí)諧電磁場中，常常要關(guān)心二次式在一個(gè)時(shí)間周期T中的平均值，即平均能流密度矢量平均電場能量密度平均磁場能量密度在時(shí)諧電磁場中，二次式的時(shí)間平均值可以直接由復(fù)矢量計(jì)算，有37則平均能流密度矢量為如果電場和磁場都用復(fù)數(shù)形式給出，即有時(shí)間平均值與時(shí)間無關(guān)例如某正弦電磁場的電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度都用實(shí)數(shù)形式給出38具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其它時(shí)變電磁場；而只適用于時(shí)諧電磁場。

在中，和都是實(shí)數(shù)形式且是時(shí)間的函數(shù)，所以也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而中的和都是復(fù)矢量，與時(shí)間無關(guān)，所以也與時(shí)間無關(guān)，反映的是能流密度在一個(gè)時(shí)間周期內(nèi)的平均取值。利用，可由計(jì)算，但不能直接由計(jì)算，也就是說

關(guān)于和的幾點(diǎn)說明39例4.5.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場強(qiáng)度復(fù)矢量H；（2）瞬時(shí)坡印廷矢量S；（3）平均坡印廷矢量Sav。

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時(shí)值為40（3）平均坡印廷矢量為或直接積分