第四章 時間響應(yīng)分析

控制理論基礎(chǔ)4.1

時間響應(yīng)及其性能指標4.2

一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)4.3

二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)4.4

高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)本章主要內(nèi)容：第四章時間響應(yīng)分析Part4.1

時間響應(yīng)及其性能指標

研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。設(shè)法從微分方程判斷出系統(tǒng)運動的主要特征而不必準確地把微分方程解出來。時域分析的目的:時間響應(yīng)的概念：系統(tǒng)在輸入作用下，其輸出隨時間變化的過程。瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)在輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的變化過程（動態(tài)過程/過渡過程/瞬態(tài)過程）；用動態(tài)性能指標描述。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)在輸入信號作用下，當時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)過程)。用穩(wěn)態(tài)性能指標描述。在控制理論中，通常只分析典型輸入信號作用下的零初態(tài)響應(yīng)（零初始條件）。

一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。典型輸入信號Asint

正弦信號

單位加速度信號t，t0單位速度/斜坡信號1(t)，t0單位階躍信號1(t)，t=0

單位脈沖信號

復(fù)數(shù)域表達式

時域表達式

名稱

常用的典型輸入信號脈沖信號單位脈沖信號階躍信號卸載加載A=1時稱為單位階躍信號速度和加速度信號干擾、電壓不穩(wěn)隨機信號速度信號加速度信號正弦信號能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況：如果控制系統(tǒng)的輸入量是突變的，采用階躍信號，如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)；如果控制系統(tǒng)的輸入量是隨時間等速變化，采用斜坡信號作為實驗信號；典型輸入信號的選擇原則如果控制系統(tǒng)為沖擊輸入量，則采用脈沖信號注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。控制系統(tǒng)的輸入隨時間往復(fù)變化時，采用正弦信號?？刂葡到y(tǒng)的輸入量是隨時間等加速變化，采用拋物線信號。如宇宙飛船控制系統(tǒng)；典型時間函數(shù)、典型時間響應(yīng)之間的關(guān)系時間響應(yīng)的性能指標

控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進行定義。常見的性能指標有：延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)整時間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N?？刂葡到y(tǒng)的時域性能指標10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9y(t)控制系統(tǒng)的時域性能指標td0.5

上升時間tr響應(yīng)曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。對于過阻尼系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。

響應(yīng)曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間。延遲時間td評價系統(tǒng)快速性的性能指標

調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時間。

最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數(shù)P.O.表示：

峰值時間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個峰值所需時間。評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標

振蕩次數(shù)N在調(diào)整時間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實測時，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。

一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）

極點（特征根）：-1/T

在工程上，許多高階系統(tǒng)常常具有近似一、二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)。因此，深入研究一、二階系統(tǒng)的性能指標，有著廣泛的實際意義。Part4.2一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。

它的典型形式為一階慣性環(huán)節(jié):一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入為

輸出為單位階躍響應(yīng)為10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Ty(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T

響應(yīng)分為兩部分

瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程）

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)

y(0)=0，隨時間的推移，y(t)指數(shù)增大，且無振蕩。y()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點：

y(T)=1-e-1=0.632，即經(jīng)過時間T，系統(tǒng)響應(yīng)達到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；

時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當響應(yīng)曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%

~98%時，認為系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T~4T。

故在t＝0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為

一階系統(tǒng)的單位速度(斜坡)響應(yīng)單位斜坡輸入為

輸出為單位斜坡響應(yīng)為0ty(t)x

(t)x

(t)=ty(t)=t-T+Te-t/Te()=TT

瞬態(tài)響應(yīng)：Te–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t–T；

經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如t4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：

t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入為

輸出為單位脈沖響應(yīng)為y(t)1/T0t0.368

1T斜率T

瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；

y(0)=1/T,隨時間的推移，y(t)指數(shù)衰減；

對于實際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。

一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點

系統(tǒng)時域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。

注意到：線性定常系統(tǒng)時間響應(yīng)的性質(zhì)對一階系統(tǒng)：即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立，但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。Part4.3二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)

能用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)總包含兩個貯能元件，能量在兩個元件之間相互轉(zhuǎn)換，引起系統(tǒng)具有往復(fù)振蕩的趨勢。RLC就是一個典型的二階系統(tǒng)。二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)其中，T為時間常數(shù)

為阻尼比；

n＝1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)的特征方程特征方程的根（閉環(huán)極點）顯然，特征根的性質(zhì)取決于阻尼比的大小，而特征根在復(fù)平面的分布決定系統(tǒng)的性能，如穩(wěn)定性。左半平面ξ>00<ξ<1ξ=1兩個相等負實根jωnξ=0σjωnβξ=0

jω右半平面ξ<0ξ>1兩個不等根0一對虛根一對負實部復(fù)根特征根在復(fù)平面上的分布ωn具有一對共軛復(fù)數(shù)極點：系統(tǒng)時間響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項：其中，稱為阻尼振蕩頻率。系統(tǒng)的時間響應(yīng)表現(xiàn)為衰減振蕩。

欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<<1具有兩個相等的負實數(shù)極點（負實根）：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：不產(chǎn)生振蕩

臨界阻尼二階系統(tǒng)：＝1具有兩個不相等的負實數(shù)極點：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：不產(chǎn)生振蕩

過阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有一對共軛虛極點：極點(特征根)實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)時域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項：

無阻尼二階系統(tǒng)：＝0

負阻尼二階系統(tǒng)：

<0產(chǎn)生等幅振蕩

欠阻尼（0<<1）狀態(tài)

其中，

二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：

欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標

上升時間tr

響應(yīng)曲線從0到第一次達到穩(wěn)態(tài)值所經(jīng)過時間。從而：顯然，一定時，n越大，tr越?。患矗簄一定時，

越大，tr越大。，并將t=tp代入可得：

令即：

峰值時間tp指輸出響應(yīng)第一次達到最大峰值所需要的時間。根據(jù)tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2/d的一半。并且:一定，n越大，tp越小；

n一定，

越大，tp越大。

最大超調(diào)量Mp或百分比超調(diào)P.O.當

t=tp時，輸出y(t)為最大值，出現(xiàn)最大超調(diào)。單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為1。顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當

=0.4~0.8時，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100P.O.二階系統(tǒng)P.O.—

圖對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量

1的指數(shù)曲線：

調(diào)整時間ts瞬態(tài)響應(yīng)曲線進入并永遠保持在穩(wěn)態(tài)值%允許誤差范圍內(nèi)（一般取5%～2%）的最小時間。時間常數(shù)：t01xo(t)T2T3T4T當包絡(luò)線進入允許誤差范圍之內(nèi)時，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：可以求得：由此求得調(diào)節(jié)時間為

調(diào)節(jié)時間ts

近似與成反比關(guān)系N僅與

有關(guān)。與Mp一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則

振蕩次數(shù)N

二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由n和決定。

結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。

一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpy

(t)=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點

y()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨減小而加大。系統(tǒng)有兩個相等的實極點，位于復(fù)平面左半面。單位階躍響應(yīng)傳遞函數(shù)

臨界阻尼（=1）狀態(tài)

臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

10ty

(t)

特點

單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)；

xo()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。01ty(t)

特點

單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長

y

()=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。

過阻尼（>1）狀態(tài)

系統(tǒng)具有一對純虛根極點傳遞函數(shù)

無阻尼（=0）狀態(tài)

單位階躍響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)曲線為無衰減的周期振蕩，振蕩頻率為210ty(t)

負阻尼（<0）狀態(tài)

0ty(t)-1<<0t0y(t)<-1-1<<0：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。

特點：振蕩發(fā)散

特點：單調(diào)發(fā)散

幾點結(jié)論

二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；0<<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快，=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。

一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，即系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。

工程中通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證統(tǒng)有比較理想的響應(yīng)曲線，這時瞬態(tài)響應(yīng)時間短，系統(tǒng)有較好的快速性，同時不至于產(chǎn)生過大的振蕩。因此一般希望二階系統(tǒng)的阻尼比設(shè)計在這一范圍內(nèi)。對于那些不允許振蕩而又要求響應(yīng)較快的系統(tǒng)，如儀表指示和記錄系統(tǒng)，則采用ξ=1的臨界阻尼系統(tǒng)。

二階系統(tǒng)的單位斜坡(速度)響應(yīng)當輸入信號為單位斜坡(速度)函數(shù)時，相應(yīng)的拉普拉斯變換。則二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為：

這個方程的拉普拉斯反變換，就是單位斜坡的時域響應(yīng)。

0<<1：

=0：

=1：

>1：二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

當輸入信號為單位脈沖函數(shù)時，相應(yīng)的拉普拉斯變換。則二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：

這個方程的拉普拉斯反變換，就是單位脈沖的時域響應(yīng)。

>1：

=1：

0<<1：

=0：對ζ≥1的情況，單位脈沖響應(yīng)總是正值或在t=∞時為零。

單位脈沖響應(yīng)曲線

單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題意Xi(S)=1，所以：

例題1解：1）單位階躍輸入時已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。從而：

例題22）單位脈沖輸入時，由于因此：圖a)所示機械系統(tǒng)，當在質(zhì)量塊m上施加fi(t)=8.9N的階躍力后，m的位移時間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量m、彈性系數(shù)k和粘性阻尼系數(shù)μ的值。

00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)

例題3a)解：根據(jù)牛頓第二定律：

其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：由于Fi(S)=L[fi(t)]=L[8.9]=8.9/S，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo()=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入，可得n=1.96rad/s根據(jù)解得m=77.3Kg，μ

=181.8Nm/s

已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動態(tài)性能指標。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態(tài)性能指標的變化情況。

例題4解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

1）K=200時

n=31.6rad/s，=0.5452）K=1500時

n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化

即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時

n=8.22rad/s，=2.1，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：

對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調(diào)整時間ts間可以通過其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進行估算，即：

ts=3T1=1.443s(=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調(diào)，但過渡過程緩慢。對圖示系統(tǒng)，要使系統(tǒng)的最大超調(diào)量等于0.2，峰值時間等于1s，試確定增益K和Kh的數(shù)值，并確定此時系統(tǒng)的上升時間tr和調(diào)整時間ts。1+KhSXo(S)Xi(S)解：例5由題意：又：已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

2）系統(tǒng)阻尼比和無阻尼固有頻率n。解：1）

例62）對比二階系統(tǒng)的標準形式：

有：

原控制系統(tǒng)如圖3-23(a)所示，引入速度反饋后的控制系統(tǒng)如圖3-23(b)所示，已知在圖3-23(b)中，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量Mp%=16.4%，峰值時間tp=1.14s，試確定參數(shù)K和Kt，并計算系統(tǒng)(a)和(b)的單位階躍響應(yīng)h(t)。例7(a)(b)解：對于系統(tǒng)(b)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)相比較，有而已知Mp=16.4%tp=1.14s根據(jù)

求得（1）求得其單位階躍響應(yīng)為將代入(1)得對于系統(tǒng)(a)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)比較有系統(tǒng)的最大超調(diào)量峰值時間其單位階躍響應(yīng)為三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)閉環(huán)主導(dǎo)極點Part4.4高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)二階因子引起的阻尼振蕩一階因子引起的非周期指數(shù)衰減三階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)例其中：1）當=，系統(tǒng)即為二階系統(tǒng)響應(yīng)曲線；2）附加一個實數(shù)極點（0<<），原二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 超調(diào)量上升時間峰值時間>1,

即1/T>n

呈二階系統(tǒng)特性；實數(shù)極點S3距離虛軸遠；共軛復(fù)數(shù)極點S1、S2距離虛軸近特性主要取決于S1、S2。

<1,即1/T<n

呈一階系統(tǒng)特性；實數(shù)極點S3距離虛軸近；共軛復(fù)數(shù)極點S1、S2距離虛軸遠特性主要取決于S3。當系統(tǒng)高于二階時，將其稱為高階系統(tǒng)。N階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式：

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

其中，a,aj，bk、ck是常數(shù)。當X

(S)=1/S時，假定極點互不相同，并假定極點中有實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點。其中，=arctg(bk/ck)。

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。

如果所有閉環(huán)極點都在s平面的左半平面內(nèi)，即所有閉環(huán)極點都具有負實部(pj<0、-kk<0)則隨著時間t