第四章 流體流動基本原理

14流體流動基本原理主要內(nèi)容系統(tǒng)與控制體輸運公式質(zhì)量守恒方程動量守恒方程能量守恒方程動量矩守恒方程

2

流體流動過程必然遵循物質(zhì)運動的基本原理:質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒等。本章采用控制體分析方法，建立流體流動系統(tǒng)質(zhì)量守恒、動量守恒、動量矩守恒和能量守恒的積分方程，分析研究流體運動的宏觀行為。4.1概述

在研究流體運動的宏觀行為時，既可在流場中選定部分流體即系統(tǒng)為對象，也可以選擇確定的流場空間即控制體為對象。34.1.1

系統(tǒng)與控制體

流體力學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的一對重要概念。（1）系統(tǒng)

——是一團(tuán)流體質(zhì)點的集合，在運動中系統(tǒng)的形狀和位置可以不斷變化，而它所包含的流體質(zhì)點卻始終不變。4

上圖示為一流道，t1時刻在位置1選取一個系統(tǒng)（虛線），在t2時刻這個系統(tǒng)運動到了位置2，t3時刻在位置3。在運動中系統(tǒng)的形狀和位置都發(fā)生了變化，但其所包含的流體質(zhì)點卻不變。

由于系統(tǒng)始終包含相同的流體質(zhì)點，所以系統(tǒng)是與拉格朗日方法相聯(lián)系的概念。

1235

系統(tǒng)以外的物質(zhì)稱為外界。系統(tǒng)與外界的分界面稱為邊界。系統(tǒng)可通過邊界與外界發(fā)生力的作用能量交換不發(fā)生質(zhì)量交換。

質(zhì)量不變是系統(tǒng)的特點。1236

以系統(tǒng)為對象研究流體運動，就必須隨時對系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤識別其邊界，這在實際流動過程中顯然是很困難的。

工程上所關(guān)心的問題也不在于跟蹤質(zhì)量確定的流體的運動，而在于確定的設(shè)備空間中流體的流動行為。所以在工程流體力學(xué)中，更多的是采用以控制體為對象而不是以系統(tǒng)為對象的研究方法。7泵活塞式壓縮機(jī)離心機(jī)8熱交換器9（2）控制體

——根據(jù)需要選擇的具有確定位置和體積形狀的流場空間。它是與歐拉方法相聯(lián)系的概念。

控制體的表面稱為控制面。在控制面上不僅可以有力的作用和能量交換，而且還可以有質(zhì)量的交換。10

圖中，實線即為控制體。一般來說，控制體的體積形狀不變，但控制體內(nèi)流體的質(zhì)量是隨時間而變化的。11系統(tǒng)控制體定義流體質(zhì)點集合流場空間特性形狀、位置變化位置、體積、形狀確定與外界關(guān)系力的作用能量交換無質(zhì)量交換力的作用能量交換質(zhì)量交換主要特征質(zhì)量不變質(zhì)量隨時間變化對應(yīng)方法拉格朗日方法歐拉方法系統(tǒng)與控制體對比12

由于有關(guān)物質(zhì)運動的基本原理都是針對具有確定質(zhì)量的系統(tǒng)而言的，所以，以控制體為研究對象時就存在這樣一個問題：

“系統(tǒng)”

“控制體”

輸運公式？13

關(guān)鍵問題是將

(dm/dt)系統(tǒng)(dmv/dt)系統(tǒng)

(dE/dt)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成與控制體相關(guān)的表達(dá)式。4.1.2雷諾輸運公式14t

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線

下面以(dm/dt)系統(tǒng)為例進(jìn)行推導(dǎo)。圖中陰影部分為固定于流場中的控制體，將控制體所包括的流體區(qū)域定義為系統(tǒng)的初始位置。

15

起始時刻t，系統(tǒng)的邊界與控制體表面相重合，系統(tǒng)所占據(jù)的空間與控制體空間相重合。在經(jīng)過Δt的時間后，系統(tǒng)的邊界移動到一個新的位置，所占據(jù)的空間變?yōu)閰^(qū)域II和區(qū)域III，但控制體空間是固定不動的，仍然是區(qū)域I和區(qū)域II。IIIIIIt

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線t+Δt時刻的系統(tǒng)邊界16

于是，在起始時刻t，系統(tǒng)的質(zhì)量m|t將等于該時刻區(qū)域I和區(qū)域II的流體質(zhì)量之和，即：在t+Δt時刻，系統(tǒng)的質(zhì)量m|t+Δt則等于該時刻區(qū)域II和區(qū)域III的質(zhì)量之和，即IIIIIIt

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線t+Δt時刻的系統(tǒng)邊界17

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，系統(tǒng)的質(zhì)量變化率為IIIIIIt

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線t+Δt時刻的系統(tǒng)邊界18引入t+Δt時刻區(qū)域I的質(zhì)量。于是上式得

IIIIIIt

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線t+Δt時刻的系統(tǒng)邊界19于是，對于控制體所包括的流體系統(tǒng)，其質(zhì)量變化率可表述為：(dm/dt)系統(tǒng)=輸入控制體的質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率控制體凈輸出的質(zhì)量流量—+輸出控制體的質(zhì)量流量IIIIIIt

時刻的系統(tǒng)邊界固定的控制體t時刻的流線t+Δt時刻的系統(tǒng)邊界20同理可表述動量mv、能量E：上述三式即為雷諾輸運公式。

(dmv/dt)系統(tǒng)=—+輸出控制體的動量流量輸入控制體的動量流量控制體內(nèi)的動量變化率控制體凈輸出的動量流量

(dE/dt)系統(tǒng)=—+輸出控制體的能量流量輸入控制體的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率控制體凈輸出的能量流量214.2

質(zhì)量守恒積分方程——連續(xù)性方程4.2.1控制體系統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程

根據(jù)質(zhì)量守恒原理，對于質(zhì)量為m的系統(tǒng)，其質(zhì)量守恒方程為由輸運公式，以控制體為研究對象時質(zhì)量守恒方程可表述為22輸出控制體的質(zhì)量流量輸入控制體的質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率控制體凈輸出的質(zhì)量流量—+=023任意時刻t的流線ρθnvdA→→→→

微元面上流體的法向速度為：

vcosθ=(v·n

)

流體流過dA單位面積的質(zhì)量①質(zhì)量流量

在流場中取一任意控制體。設(shè)在微元面積dA上，流體密度ρ，流體速度矢量與微元面外法線單位矢量n的夾角為θ。

→24稱為質(zhì)量通量，其單位為kg/（m2s）。于是通過微元面積dA的質(zhì)量流量可表示為：

ρ(v·n

)dA→→ρvcosθ=ρ(v·n

)→→n→ρθvdA→25②控制體凈輸出的質(zhì)量流量質(zhì)量流量有正負(fù)之分。若為輸出，則θ<90,若為輸入，則θ>90,

ρ(v·n)dA→→

ρ(v·n)dA>0；→→

ρ(v·n)dA<0?！捎谕ǔＧ闆r下，控制面上總有流體輸入面和輸出面兩部分，所以將沿整個控制面CS積分，即為

ρ(v·n)dA→→n→ρθvdA→26控制體凈輸出質(zhì)量流量=27③控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率

對于控制體內(nèi)密度為ρ的任意微元體積dV，其質(zhì)量為ρdV。將ρdV在整個控制體CV積分可得控制體內(nèi)的瞬時總質(zhì)量，再對時間求導(dǎo)得:控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率=ρdv28④質(zhì)量守恒方程

將上述各式集合在一起即可得到控制體系統(tǒng)的質(zhì)量守恒方程：輸出控制體的質(zhì)量流量輸入控制體的質(zhì)量流量控制體內(nèi)的質(zhì)量變化率控制體凈輸出的質(zhì)量流量—+=0294.2.2質(zhì)量守恒方程的常用表達(dá)形式設(shè)A1，A2分別為控制面上流體的輸入面和輸出面。由于輸入面A1上輸出面A2上這里用分別表示流體輸入、輸出控制體的質(zhì)量流量，則凈輸出質(zhì)量流量又可表達(dá)為

ρ(v·n)dA<0

。→→

ρ(v·n)dA>0

?！?0若用mCV表示控制體內(nèi)的瞬時總質(zhì)量，則質(zhì)量守恒方程可寫成31

對穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)，流體及流動參數(shù)均與時間無關(guān)，即因此，質(zhì)量守恒方程簡化為即穩(wěn)態(tài)流動，輸入與輸出的質(zhì)量必然相等。32即輸入與輸出的體積流量相等。對不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動，ρ=const，則33例題：不可壓縮流體在半徑為R的圓管內(nèi)作層流流動。已知進(jìn)口截面1-1上速度均勻分布。截面2-2上速度的分布為vmax為截面2-2上的最大速度。試確定vmax與v1之間的關(guān)系。v2v1zrR221134解：取1-1、2-2截面之間的管段間為控制體。

（θ=180°）截面1-1上：（θ=0°）截面2-2上：v2v1zrR221135于是v2v1zrR221136

由于控制體內(nèi)為不可壓縮流體，則控制體內(nèi)總質(zhì)量不隨時間變化,即則有

故有

vmax=2v137例題：一儲氣罐，罐中空氣經(jīng)管道向外界排出，已知管道出口處氣流密度和壓強為均勻分布，而速度呈拋物線規(guī)律分布：p0ρ0pρv已知排氣管r0=0.025m，當(dāng)儲氣罐中p0=0.14MPa，T0=277.8K，測得管道出口處氣流vmax=32m/s，儲氣罐和管道的總?cè)莘e0.32m3。試求此時從管口排出的空氣流量以及儲氣罐和排氣管中空氣密度隨時間的變化率。38解：從管口排出的空氣流量可表示為

管道中氣體流速很低，可認(rèn)為氣罐中和管道中的空氣密度相同，則出口處氣流密度可由氣體狀態(tài)方程求出，即p0ρ0pρv39p0ρ0pρv4041練習(xí)題：已知有密度為850kg/m3的液體，在內(nèi)徑為0.2m的輸油管道截面上的流速為2m/s，求在另一內(nèi)徑為0.05m的截面上的流速以及管道內(nèi)的質(zhì)量流量。32m/s；53.4kg/s42434.3

動量守恒方程對于質(zhì)量為m，速度為v的運動系統(tǒng)，其動量隨時間的變化率為思考題：系統(tǒng)上的作用力包括哪幾種力？44

對流動系統(tǒng)，以控制體為對象研究其動量守恒時，動量守恒方程可表述為輸出控制體的動量流量輸入控制體的動量流量控制體內(nèi)的動量變化率控制體凈輸出動量流量作用于控制體系統(tǒng)各力矢量之和=-+45ρθdAv→n→xyzG→F1→F2→

觀察如圖流場中的控制體。其中，表示作用于控制體上的表面力。表示體積力。表示力的矢量和。

G→∑F→①動量流量定義：動量流量=速度×質(zhì)量流量則流體通過微元面積dA的動量流量為：F2→F1→46單位：kg·m/s2，方向與速度方向相同。

動量流量的分量為：動量流量的正負(fù)與質(zhì)量流量的正負(fù)是一致的！思考題：可否表示成點積形式？47②控制體凈輸出的動量流量將動量流量沿整個控制面CS積分，得到輸出控制體的動量流量與輸入的動量流量之差：控制體凈輸出動量流量=48③控制體的動量變化率

對于控制體內(nèi)密度為ρ，速度為v的任意微元體積dV，動量為，則動量變化率為：vρdV→控制體內(nèi)的動量變化率=任意時刻t的流線ρθnvdv→→上式也可寫成三個分量式的形式→49④

動量守恒方程

由上述各式可得控制體系統(tǒng)的動量守恒方程：上式即為矢量形式的動量守恒積分方程。作用于控制體系統(tǒng)各力矢量之和輸出控制體的動量流量輸入控制體的動量流量控制體內(nèi)的動量變化率控制體凈輸出動量流量=-+50

實際應(yīng)用中常采用該方程的分量式。對直角坐標(biāo)系統(tǒng)，動量守恒方程的分量式為：514.3.2動量守恒方程的應(yīng)用①以平均速度表示的動量方程

工程實際應(yīng)用中，往往采用平均速度來計算進(jìn)出口截面上流體的動量。設(shè)控制體進(jìn)出口截面上流體的平均速度分別為v1和v2，質(zhì)量流量分別為qm1，qm2，52于是可得：同樣可得其余兩個表達(dá)式。則x方向動量的凈輸出流量為：53②穩(wěn)態(tài)流動

穩(wěn)態(tài)流動時，流體參數(shù)及流動參數(shù)與時間無關(guān)，控制體動量隨時間的變化率為零。54注意：①動量方程描述了流體的動量變化和導(dǎo)致這種變化的作用力之間的關(guān)系，在分析流體機(jī)械及管道受力中十分有用。②動量方程中的力指的是作用于流體上的力，而流體作用于管道設(shè)備上的力則是其反力。③在分析實際問題時，通常采用分量形式的動量方程，因而，首先要建立合適的坐標(biāo)系統(tǒng)，然后按方向逐一列出動量方程。55動量方程的解題步驟：1.選分離體（控制體）

根據(jù)問題的要求，將所研究的兩個斷面（通常為進(jìn)、出口）之間的流體取為分離體；

2.選坐標(biāo)系

選定坐標(biāo)軸的方向，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；

3.作計算簡圖

分析分離體受力情況，并在分離體上標(biāo)出全部作用力的方向；

4.列動量方程解題

將各作用力及流速在坐標(biāo)軸上的投影代入動量方程求解。計算壓力時，壓強采用相對壓強計算。

56例題1：流體穩(wěn)態(tài)流動，經(jīng)過x-y平面內(nèi)的彎頭，彎頭進(jìn)出口截面面積為A1，A2。試確定流體對彎頭的作用力。(考慮重力)βv2v1xy2157解：取1和2截面間的管道空間為控制體。流體受力分為：

1.進(jìn)出口壓力2.重力3.彎頭內(nèi)壁面對流體作用力的合力

RxRyGRyRxp2p1βv2v121xy58于是有GRyRxβp2p1v2v1xy2159控制體凈輸出動量流量為GRyRxβp2p1v2v1xy2160由于是穩(wěn)態(tài)流動，則得x，y方向的動量守恒方程分別為：61解得：流體對彎頭的作用力的分量正好與Rx，Ry相反。62例題2：如圖所示，噴水推進(jìn)船，從前艙進(jìn)水，然后用泵及直徑為d=15cm的排水管從后艙排向水中。已知船速v1=36km/h，推進(jìn)力F=2kN。試求水泵的排水量為多少m3/s?

v2Fv1v1dQ=0.29663解：取船內(nèi)流管的全部內(nèi)壁輪廓為控制體，已知進(jìn)水速度為v1=36km/h=10m/s，設(shè)相對于船艇的排水速度為v2，排水量為Q，則由動量方程得

代入數(shù)據(jù)得v2Fv1v1d64例題3：水從固定噴嘴定常噴出，垂直沖擊一塊平板。水離開噴嘴的速度為v1=20m/s，噴嘴出口面積為A1=0.005m2。假定水沖擊平板后沿平板流動。水的密度ρ=1000kg/m3，試確定支撐這塊平板所需的水平力。噴嘴2000N65解:如圖所示選擇控制體。由動量守恒定理有：Ryx

動量流項有三部分：一個流入和兩個流出。其中兩個流出動量流量由于與x向垂直，所以沿x向的分量為零，因而沿x向的動量流量只有進(jìn)口截面上的值。6667練習(xí)

如圖，水以v2=10m/s的速度從內(nèi)徑為d2=50mm的噴管中噴出，噴管的一端用四個螺栓固定在內(nèi)徑為d1=100mm水管的法蘭上。如不計損失，試求作用在每個螺栓上的拉力。其中p1=46875Pa（表）。xv2d1p1，v1水答案要點：v1=2.5m/s，F(xiàn)=55.2N684.4動量矩方程及其應(yīng)用

動量守恒方程闡明了流體運動的變化與所受外力的關(guān)系，但是當(dāng)系統(tǒng)還受到力矩的作用從而產(chǎn)生轉(zhuǎn)折或旋轉(zhuǎn)運動時，如葉輪，往往就需要用到動量矩定理。4.4.1動量矩定理①動量矩力矩為M=rF，大小為M=|r||F|sinβ動量矩為r

mv，大小為|r||mv|sinα→→→→→→→→→αFr0zyx→→mv→β69②

動量矩定理

為確定力矩與動量矩之間的關(guān)系，將動量方程兩邊同時叉乘矢徑rαFr0zyx→→mv→β→其中方程左側(cè)為,為系統(tǒng)所受力矩之和；而右邊可按矢量微分法則展開70

由于dr/dt=v

，所以有，于是可得：→→上式表明，系統(tǒng)所受力矩等于系統(tǒng)動量矩隨時間的變化率，即動量矩定理。71

4.4.2控制體系統(tǒng)的動量矩方程因此，如果將速度矩矢量(rv)暫用H表示，則動量矩方程可表示為→→→由于72按照動量守恒方程的形式可寫出動量矩守恒方程該方程的意義是：作用于控制體的總力矩控制體凈輸出的動量矩流量控制體內(nèi)動量矩變化率73則動量矩方程在x方向的分量式為y、z方向分量式只須改變相應(yīng)下標(biāo)即可。74

二維穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)的動量矩方程

動量矩方程常應(yīng)用于二維穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)，如葉輪機(jī)械中的流動和力矩分析。①

二維條件下動量矩方程只剩下一個分量式。？作為工程計算，不計進(jìn)出口截面上速度的具體分布，按平均速度計算。由于是穩(wěn)態(tài)流動，所以有75葉輪76風(fēng)扇：77高速泵葉輪78高速泵葉輪速度矢量圖79整體流動顯示模擬結(jié)果80zyxov1→α1r1→r2→v2→α2

設(shè)平面流道系統(tǒng)平行于x-y平面，與z軸垂直。在流道進(jìn)口截面上，流體質(zhì)量流量為qm1，流體的平均速度為v1，則進(jìn)口截面上速度v1對z軸的矩為：→→看詳圖81zyxov1→α1r1→r2→v2→α2流道82

若出口截面上流體質(zhì)量流量為qm2，平均速度為v2，則有zyxov1→α1r1→r2→v2→α283

所以有zyxov1→α1r1→r2→v2→α284

于是根據(jù)動量矩方程第三式，可得x-y二維平面系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)流動情況下的動量矩方程：zyxov1→α1r1→r2→v2→α285應(yīng)用上式應(yīng)特別注意：①式中取Mz的正方向為軸的正方向，所以式中的α必須是由矢徑r的延伸線逆時針轉(zhuǎn)動到與速度v相重合時的角度。②工程實際中，有時可能不知道出口面上的絕對速度v2，但知道其分速度v21和v22以及r2與它們的夾角α21，α22，這時可用→代替r2v2sinα2。zyxov1→α1r1→r2→v2→α286于是有③該式多用于葉輪機(jī)械的流動分析中，因為直接知道的是葉輪流道進(jìn)出口截面上流體的相對速度和牽連速度，而不是絕對速度。該式也可應(yīng)用于有多個進(jìn)出口的系統(tǒng)。87v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→88例題：密度ρ=1200kg/m3，質(zhì)量流量qm=60kg/s的海水通過離心泵穩(wěn)態(tài)流動。葉片流道進(jìn)出口圓半徑分別為R1=0.05m和R2=0.20m，進(jìn)出口葉片寬度分別為b1=0.02m和b2=0.015m，角速度ω=124rad/s，葉片出口角θ2=135o，設(shè)流體進(jìn)入流道時的絕對速度沿葉輪徑向方向。試確定：1）流體在葉輪中受到的力矩；2）為使流體進(jìn)入葉片流道時的相對速度與葉片相切的葉片進(jìn)口角θ1。v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→89解：取控制體為葉輪半徑R1和R2包括的流體空間?？刂企w進(jìn)出口截面面積分別為由于是穩(wěn)態(tài)流動，有qm1=qm2=qm。葉輪僅在垂直于z軸的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，所以屬于二維穩(wěn)態(tài)流動系統(tǒng)，僅有Mz。v2T））ωv2Rr2θ2θ1R2R1→v1Tv1Rr1→90對于出口截面：

出口截面上流體的絕對速度的兩個分量為：牽連速度v2T=R2ω相對速度v2R與葉片相切，與矢徑的夾角為θ2-90o，未知。））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R91

由于只有徑向速度才能使流體流出葉輪流道，因此，相對速度的徑向分量乘以出口面積等于流體體積流量則有））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R92由此可得出口截面上流體動量對z軸的矩為））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R93對進(jìn)口截面：

由于假設(shè)絕對速度沿葉輪徑向，所以相對速度不一定與進(jìn)口處葉片相切。設(shè)相對速度與牽連速度的夾角為θ1，則有））ωv2Rrθ2θ1R2R1→v2Tv1Tv1R94進(jìn)口流體動量對z軸的矩為由于進(jìn)口截面流體的絕對速度沿徑向，所以該面上流體對z軸的動量矩必然為零，即(a)95于是，根據(jù)二維穩(wěn)定流動的動量方程有代入數(shù)據(jù)得：Mz=-265.77N·m。這說明流體所受的矩指向z軸反向。96

根據(jù)進(jìn)口截面上動量矩為零的條件，可得進(jìn)口相對速度和牽連速度的夾角為即為葉片進(jìn)口角。注：由于1算完只能為銳角，所以用π來減。97例題2：對稱臂灑水器，旋轉(zhuǎn)半徑R=200mm,噴口直徑d=8mm,θ=45°,總流量qv=5.6×10-3m3/s,不計摩擦阻力矩，求旋轉(zhuǎn)角速度。若噴水時不讓其旋轉(zhuǎn)，應(yīng)受到多大的力矩？θRR196.944.1N.m98θRRv（θω99解：每個噴嘴的出口速度為這一速度的切向分量即為旋臂的切向圓周速度100θRRv（θω101練習(xí)Rrω已知：總流量qv，R、r、出口面積A。求ω及水所受力矩。ω=qv/(R+r)A102例題3：不可壓縮理想流體平面射流（單位寬度），沖擊在如圖所示的擋板上。射流厚度為d，在擋板兩端流出的兩股分流厚度為d1,d2，射流速度為v，不計重力和摩擦力。假設(shè)轉(zhuǎn)折流速度v1=v2=v。求流體作用在平板上的合力和合力中心。vv2v1d2d1d103解：取控制體如圖。vv2v1d2d1dFbEeyx104

由流體的連續(xù)性及不可壓縮性，進(jìn)入與排出控制體的流量應(yīng)該相等。則有：

由于是理想流體，擋板與水流之間的作用力與擋板相垂直。以Fb表示擋板對控制體的作用力。vv2v1d2d1dFbEeyx105對控制體應(yīng)用動量方程：vv2v1d2d1dFbEeyx106107vv2v1d2d1dFbEeyx1084.5能量守恒積分方程

流體在流動過程中將發(fā)生壓強變化、速度變化、位置變化及流動損失，因此要遵守能量守恒。4.5.1能量守恒方程對于流體系統(tǒng)，熱力學(xué)第一定律可表達(dá)為：系統(tǒng)從外界吸熱的速率與系統(tǒng)對外界做功的速率之差等于系統(tǒng)能量的變化率。109式中，Q為單位時間內(nèi)控制體系統(tǒng)的吸熱速率，單位為J/s或W。并規(guī)定系統(tǒng)從外界吸熱時為正，向外界放熱時為負(fù)；W為單位時間內(nèi)控制體系統(tǒng)對外界的做功功率，單位為W，并規(guī)定系統(tǒng)對外界做功為正，外界對系統(tǒng)做功為負(fù)；E為控制體系統(tǒng)的瞬時能量，單位為J。˙˙110①控制體系統(tǒng)能量方程的表達(dá)根據(jù)輸運公式可表述為：控制體系統(tǒng)從外界吸熱速率控制體系統(tǒng)對外界做功速率輸出控制體的能量流量輸入控制體的能量流量控制體內(nèi)的能量變化率控制體凈輸出能量流量111②能量流量以e表示單位質(zhì)量流體所具有的能量，則流體通過微元面積dA時的能量流量為θnvdA→→xyzQ˙W˙(a)112③控制體凈輸出的能量流量

有流體輸出的控制面上，能量流量將（a）式沿整個控制面CS積分，則得有流體輸入的控制面上，能量流量113控制體凈輸出能量流量④控制體內(nèi)的能量變化率

對控制體內(nèi)任意微元體積dV，其能量為eρdV，則有控制體內(nèi)的能量變化率114⑤能量守恒方程

將上述各表達(dá)式代入控制體系統(tǒng)能量守恒方程表達(dá)式可得：上式為流動系統(tǒng)中通用的能量守恒積分方程，各項單位為J/s。115幾點說明：一、做功功率W包括三部分：˙①Ws是軸功率:流體對機(jī)械設(shè)備做功功率為正；反之為負(fù)。②Wμ是流體克服控制面上的粘性力（如剪切力）做功功率，即粘性功功率。對于理想流體，粘性功功率為零。˙˙116

流體輸出控制面，其為正，表示系統(tǒng)對外做功；流體輸入控制面，其為負(fù)，表示系統(tǒng)獲得流動功。③

Wp流體克服控制面上的壓力做功的功率，稱為流動功功率。在微元面dA上，壓力的作用力為pdA，單位時間內(nèi)流體在作用力方向(n方向)移動的距離為vcosθ，所以單位時間內(nèi)流體所作的流動功為˙→117則控制體系統(tǒng)凈輸出的流動功功率為于是，能量守恒方程又可表達(dá)為118二、單位質(zhì)量流體具有的能量e

e通常由內(nèi)能u、動能v2/2和位能gz組成：于是能量守恒方程表示為119例題：滑動軸承，軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，軸表面受到的切應(yīng)力為τ，軸承在軸線方向的寬度為W。假設(shè)潤滑油無外漏，確定保持油溫恒定所需要的散熱速率。分析：這個問題是穩(wěn)定散熱問題。取軸瓦間潤滑油空間為控制體，由于控制體無流體進(jìn)出，潤滑油本身也不存在軸功的輸入或輸出ωτR1R120解：由分析可知能量方程可簡化為此時粘性功功率為軸對流體做功的功率，因此有即為所求的散熱速率。ωτR1R121

對能量方程的討論：

對穩(wěn)態(tài)流動,控制體內(nèi)的能量不隨時間變化，此時能量方程為下面再看一個例題。122例題：設(shè)有瀑布從高處大的水體流入低處另一大的水體，瀑布的落差為100m，試求流下后水的溫升。水的比熱c=4186J/(kg·k)。截面1截面2100m123解：取一小截面流管控制體如圖所示，流管上端從上部的水體表面起始，下端到下部水體表面為止。水流為自由流動，因此僅有流動功。對該控制體應(yīng)用能量方程得截面1截面2100m124忽略流動過程的熱傳遞，即Q=0，又p1/ρ1=

p2/ρ2，v1=v2=0，則有?由于Δu=c(T2-T1)，所以則有可見，對于水來說，很大的落差才能產(chǎn)生很小的溫度增加。125①無熱量傳遞，即Q=0②無軸功輸出，即Ws=0③流體不可壓縮，即ρ=常數(shù)④穩(wěn)態(tài)流動，即?ECV/?t=0⑤理想流體，即Wμ=0???4.5.2伯努利方程及其應(yīng)用

下面討論能量方程在管流時的應(yīng)用。對能量方程，假設(shè)：126則方程可簡化為：進(jìn)口截面上，出口截面上，對于理想不可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動，可認(rèn)為流體參數(shù)與進(jìn)出口截面無關(guān)。無熱量傳遞意味著u為常數(shù)，則上式可寫成127由于穩(wěn)態(tài)流動，所以有這就是伯努利方程，第一項為動能，第二項為位能，第三項為壓力能?！獧C(jī)械能守恒方程。128丹尼爾·伯努利，(DanielBernoulli1700～1782)

瑞士物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、醫(yī)學(xué)家。生于荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最杰出的一位。1716年獲藝術(shù)碩士學(xué)位；1721年又獲醫(yī)學(xué)博士學(xué)位。伯努利在25歲時(1725)就應(yīng)聘為圣彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。1727年，20歲的歐拉到圣彼得堡成為丹尼爾的助手。8年后回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學(xué)教授，后任動力學(xué)教授，1750年成為物理學(xué)教授。

129關(guān)于伯努利方程應(yīng)用的說明：①適用條件：質(zhì)量力為重力；不可壓縮；理想流體；穩(wěn)態(tài)流動。②伯努利方程應(yīng)用于管流時，一般要求管流進(jìn)出口處于均勻流段或等直徑管段。③方程的物理意義：沿著同一根流線流體的動能，位能和壓力能可以相互轉(zhuǎn)變，三者之和保持不變。130上式表明，沿同一根流線，流體的總水頭即：速度水頭、位置水頭和壓強水頭之和為常數(shù)。⑤對于粘性流體流動，應(yīng)計入內(nèi)摩擦導(dǎo)致的機(jī)械能損耗，通常單位質(zhì)量流體的摩擦能耗又叫阻力損失，以hf表示。于是粘性不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)流動的機(jī)械能守恒方程可表示為：④方程的幾何意義：將方程改寫成131若流動過程中同時有軸功的輸出或輸入，則伯努利方程可表示為Ws為流體輸出的軸功。⑥對于可壓縮流體的穩(wěn)態(tài)流動，只要流體的速度v與當(dāng)?shù)匾羲賏之比（馬赫數(shù)）Ma=v/a≤0.3且與外界無能量交換，則可近似按不可壓縮流動處理。132例：變徑彎管，軸線位于同一水平面，轉(zhuǎn)角=60°，直徑由dA=200mm變?yōu)閐B=150mm，Q=0.1m3/s，pA=18kN/m2。求水對彎管的作用力。不計彎管水頭損失和水的重量。ABQαyx133解：1.用質(zhì)量守恒方程計算vA、vB2.由能量方程計算pB1343.將流段AB作為控制體，分別寫出x、y向動量方程帶入數(shù)據(jù)得：ABQαyx135伯努利方程的應(yīng)用1.皮托管（Pitot.Henri：1695.5-1771.12，法國數(shù)學(xué)家、水利工程師

）

當(dāng)水流受到迎面物體的阻礙，被迫向兩邊（或四周）分流時，在物體表面上受水流頂沖的A點流速等于零，稱為滯止點（或駐點）。在滯止點處水流的動能全部轉(zhuǎn)化為壓力能。駐點的壓強稱為滯止壓強或總壓。皮托管就是利用這個原理制成的一種測量流速的儀器。

136ABhH0

簡單的皮托管是一根兩端開口彎成直角的玻璃管。1773年，皮托首次用這樣的玻璃管測量了塞納河水的流速。137其方法是：將玻璃管的一端放入水深為H0處，開口面向來流，另一端開口向上，管內(nèi)液面上升，高出水面h。A點速度為零，是水中的駐點。在A點的上游同一水平流線上取一點B，B點未受測管的影響，B點的速度即水流的速度。ABhH0138對A、B兩點應(yīng)用伯努利方程ABhH0由于vA=0，zA=zB，則有（a）139又由于pB=ρgH0，pA=ρg(H0+h)，帶入上式得：這樣測得了河水的流速。討論：式（a）指出了A點的總壓和B點的壓強及速度的關(guān)系。實際上A點的總壓和B點的總壓必定相等，因此點B的總壓同樣等于式（a）左端的兩項之和。ABhH0140對任意一點都有：總壓或滯止壓強靜壓動壓值得注意的是：

靜壓不是靜止流體的壓強，而是流動流體真實的壓強。所以稱為靜壓是由于為了測量流動流體的壓強，可以讓測壓計隨同流體一起運動，與流體保持相對靜止，這樣流體不受任何擾動，就可以測出流動流體的真實壓強。1412.文丘里管（羅伯特·文丘里是世界著名的建筑師，1925年，他出生于美國賓夕法尼亞州費城）

文丘里管在工程上用于測量管道中流體的流量。它由收縮和擴(kuò)散管連接在一起組成，收縮和擴(kuò)散管連接處稱為喉部。?h12Venturi142

測量原理為，管道收縮，流通截面變小，流體流速增加，從而使壓強降低。根據(jù)壓強降低的程度確定流速大小，計算出流體的流量。測量時，在文丘里管入口前的直管段截面1和喉部界面2兩處測量靜壓強，在中心流線和這兩個截面的交點1和交點2間建立伯努利方程?