第四章位移計算

第四章結(jié)構(gòu)位移計算§4.1概述一結(jié)構(gòu)的位移在荷載、溫度改變、支座移動等外因作用下，結(jié)構(gòu)上各點各截面發(fā)生移動、轉(zhuǎn)動，這些移動和轉(zhuǎn)動統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)位移以上位移統(tǒng)稱位移△，△為廣義位移θAθBABA′B′△A△BθABAA′AA′△AθA△Ax△Ay二位移計算的目的1驗算結(jié)構(gòu)的剛度結(jié)構(gòu)變形不得超過容許值

2結(jié)構(gòu)設(shè)計、制作、養(yǎng)護過程中，常需預先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取相應的施工措施3位移計算是超靜定結(jié)構(gòu)計算的基礎(chǔ)超靜定結(jié)構(gòu)計算要同時滿足平衡條件和變形連續(xù)條件三位移計算中的基本假定１材料處于彈性階段，應力與應變之間成正比（物理線性）２結(jié)構(gòu)變形微小，不影響力的作用（幾何線性）可用結(jié)構(gòu)原尺寸計算力的作用與位移３體系所有約束為理想約束，即位移過程中體系約束力不作功即本章討論的是線性變形體系的位移計算問題，體系位移與荷載呈線性關(guān)系，位移計算可以應用疊加原理FP§4.2剛體體系虛功原理及應用一實功與虛功1實功△在常力FP作用下，物體沿力的方向發(fā)生位移△，則常力FP在位移過程中作的功為:W=FP△力偶M在物體轉(zhuǎn)動θ過程中作的功為:W=Mθ廣義力P：作功的可以是一個集中力、一個力偶、一組集中力、一組集中力偶，統(tǒng)稱為廣義力P廣義力P由于相應廣義位移△作功：W=P△力在其本身引起位移中作的功(realwork)FP力在其它因素引起位移上作的功叫虛功①稱虛功是為了強調(diào)作功的力與產(chǎn)生位移的原因無關(guān)這一特點②實功恒為正值，虛功可為正也可為負值③虛功中的力、位移兩個要素互不相關(guān)，它們分別屬于同一體系的兩種獨立無關(guān)的狀態(tài)W12=P△力狀態(tài)位移狀態(tài)+t1+t2△+t1+t2二剛體體系的虛功原理任意平衡力系作用下的剛體體系，設(shè)體系發(fā)生任一符合約束條件的無限小的剛體位移，則體系上所有外力在位移上作的虛功總和恒等于零W12=０1虛設(shè)位移狀態(tài)，求未知力應用于實際力狀態(tài)與虛設(shè)位移狀態(tài)間的虛功原理，稱虛位移原理力狀態(tài)位移狀態(tài)δX=1δP=b/aFX·1-FP·b/a

=０FX=

b/aFPFXFPab２虛設(shè)力狀態(tài)，求未知位移1△位移狀態(tài)力狀態(tài)C應用于實際位移狀態(tài)與虛設(shè)力狀態(tài)間的虛功原理，稱虛力原理二支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算1單位荷載法用虛設(shè)單位荷載求結(jié)構(gòu)位移的方法單位荷載應與擬求位移對應1·Δ-

b/a·

C

=０Δ=b/aCab２計算步驟KK′ii△Kii位移狀態(tài)力狀態(tài)FP=1C1C2C3②虛力狀態(tài)外力由于實際位移所作虛功，按剛體體系虛功原理①在Ｋ點沿擬求位移方向虛設(shè)相應的單位荷載，求出單位荷載作用下的支座反力式中為支座反力在相應支座位移上所作虛功，當兩者方向一致時為正

DBCA6m6mDBCA例4-1圖示剛架支座發(fā)生圖示位移，求Ｃ點位移1.5cm1cmDBCA解一求△CX1取虛力狀態(tài)如圖，求支座反力２求△CXFP=1FP=1二求△Cy12求△Cy三求△C11§4.3變形體系虛功原理一變形體虛功原理+t2+t1C任意平衡力系作用下的變形體系，給其以幾何可能的變形和位移，則體系上外力所作虛功恒等于體系內(nèi)力虛功W12=Wi12外力虛功內(nèi)力虛功dθ=κdsFNFNFQFQdsdsdsdλ=εdsdη=γ0dsγ0ds微段dwi12=FNds+FQ0ds

+M

ds

整根桿w’i12=∫(FNds+FQ0ds

+M

ds)

變形體系wi12=∑∫(FNds+FQ0ds

+M

ds)

MMKii該式即為結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式二位移計算的一般公式+t2+t1CKK′ii△FP=1①在Ｋ點沿擬求位移方向虛設(shè)相應的單位荷載，求出單位荷載作用下的支座反力及結(jié)構(gòu)內(nèi)力、、②虛力狀態(tài)外力由于實際位移所作虛功，按變形體虛功原理1適用范圍：①靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)；②彈性體系和非彈性體系；

③各種因素產(chǎn)生的位移計算2單位荷載AA′θ△AFP=1AM=1求某點線位移求某截面角位移若求結(jié)構(gòu)上某截面角位移在截面處加一單位力偶ABA′B′AB求結(jié)構(gòu)上兩點水平(豎向或連線方向)相對線位移FP=1FP=1ABFP=1FP=1求結(jié)構(gòu)上兩點水平(豎向或連線方向)相對線位移，在兩點沿水平(豎向或連線方向)加上兩個方向相反的單位力若求結(jié)構(gòu)兩個截面的相對角位移在兩個截面上加兩個方向相反單位力偶若求桁架中AB桿的角位移，應加一單位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個集中力取1/d，垂直作用于桿端CM=1M=1BdAC求結(jié)構(gòu)兩個截面的相對角位移求AB桿的角位移式中——虛設(shè)單位荷載引起的內(nèi)力

§4.４荷載作用下的位移計算一計算公式荷載作用下，微段變形由內(nèi)力引起，當材料處于彈性工作階段，其拉伸、剪切應變和彎曲曲率：式中k—考慮剪應力沿截面分布不均勻的修正系數(shù)，與截面形狀有關(guān)

——實際荷載引起的內(nèi)力

一計算公式１梁、剛架２桁架３組合結(jié)構(gòu)４拱拱軸線與合理軸線較接近或扁平拱計算水平位移時，考慮軸向變形對位移的影響

荷載作用下，結(jié)構(gòu)彈性位移計算公式例4-2求圖示懸臂梁A端的豎向位移，矩形截面梁BALq解一

取虛力狀態(tài)如圖ABFP=1二

求單位荷載及實際荷載作用下的內(nèi)力xx三

求A端的豎向位移剪切變形對深梁位移的影響不容忽視，但對一般梁可以忽略不計當時當時BALq解一取虛力狀態(tài)如圖二求FPFPFPFP-FP00FP=11/21/21/2-1三求結(jié)點C豎向位移dFPddddFPC例4-5計算圖示桁架結(jié)點C豎向位移，設(shè)各桿EA相同一圖乘法應用條件與計算公式梁和剛架在荷載作用下的位移計算式（1）桿軸為直線；（2）各段EI＝常數(shù)；（3）兩個彎矩圖中至少有一個是直線圖形則可用下述圖乘法來代替積分運算，從而簡化計算工作§4.５圖乘法GraphicMultiplicationMethod

當結(jié)構(gòu)的各桿段符合下列條件時：x以桿軸為x

軸，以直線彎矩圖的延長線與x

軸交點O為坐標原點ABBAMKMiyαxMiMkdx式中為微面積對y軸的面積矩

即為整個圖的面積對y

軸的面積矩xcCOEI＝常數(shù)為常數(shù)根據(jù)合力矩定理，它應等于圖的面積乘以其形心c到y(tǒng)軸的距離，即x以桿軸為x

軸，以直線彎矩圖的延長線與x

軸交點O為坐標原點ABBAMKMiyαxxcCOEI＝常數(shù)為常數(shù)xCtanα=y0ABBAMKMiCOy0由此可見，上述積分式等于一個彎矩圖的面積乘以其形心處所對應的另一個直線彎矩圖上的縱距，再除以EI。這就是圖形相乘法的計算位移的方法，簡稱為圖乘法根據(jù)上面的推證過程，可知在使用圖乘法時應注意下列各點：

（2）縱距只能取自直線圖形（3）與若在桿件的同側(cè)則乘積取正號，否則取負號（1）必須符合上述三個條件頂點lhl/2A常用的幾種圖形的面積和形心二次拋物線lh2l/3l/3形心Alhab（l+a)/3(l+b)/3形心AAAlh3l/4l/43l/85l/8A1A2頂點二次拋物線A例4-6用圖乘法求例4-2懸臂梁A端的豎向位移BALq解一取虛力狀態(tài)如圖ABFP=1二作單位彎矩圖及荷載彎矩圖BALqABFP=1三求A端的豎向位移y2I1I2y1二圖乘分段和疊加當各桿段的截面不相等時，應分段圖乘再進行疊加當y０所屬圖形不是一段直線而是若干段直線組成時，應分段圖乘，再進行疊加y1y2y31圖乘分段例4-7用圖乘法求圖示簡支梁C點豎向位移解一取虛力狀態(tài)如圖FP=1二作單位彎矩圖及荷載彎矩圖CEIl/2l/2q三求C點豎向位移豎標不是取自直線彎矩圖形y1復雜的圖形分解成幾個簡單的圖形，然后將分解得簡單圖形分別與另一圖形相乘再疊加cdy2cdy1y22圖乘疊加均布荷載作用下的任何直桿段AB，其彎矩圖均可看成一個梯形與一個標準拋物線圖形的疊加

y0y0例4-8用圖乘法求圖示梁C點豎向位移解一取虛力狀態(tài)如圖qll/2ABCCFP=1二作單位彎矩圖及荷載彎矩圖l/2三求C點豎向位移例4-9用圖乘法求圖示剛架C點豎向位移EI/2qll/2EIEIAl/2BC解一取虛力狀態(tài)如圖ABCFP=1二作單位彎矩圖及荷載彎矩圖ABCDABCFP=1D三求C點豎向位移ABCDABCFP=1DABCDABCFP=1Dhh1h2+t1+t2+t0ds假定溫度沿截面高度按直線規(guī)律變化dλ由于溫度變化，微段ds變形為：dθ按變形體虛功原理§4.6溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)位移計算一計算公式hh1h2+t1+t2+t0dsdλdθ§4.6溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)位移計算一計算公式一般情況下,各桿均為等截面，Δt、t0、h沿每一桿為常量式中t0—桿軸線溫度變化值

Δt—桿上下邊緣溫度變化差值

—單位力與溫度變化引起的桿件變形方向相同時取正號

例4-10圖示剛架內(nèi)側(cè)溫度升高100C，求C端豎向位移

（各桿截面為矩形，截面高度為h=600mm，α=0.00001）解一取虛力狀態(tài)如圖+100C+100CFP=1FP=1二作、圖-116m6m三求Δcy6m6mCFN§4.7線性變形體系的互等定理一功的互等定理F1狀態(tài)ⅠF2狀態(tài)Ⅱ在線性變形體系中，第一種狀態(tài)的外力在第二種狀態(tài)的位移上所作虛功，等于第二種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)的位移上所作虛功δ12二位移互等定理在線性變形體系中，由第二個單位力引起的第一個單位力作用點沿其作用方向上的相應位移，等于由第一個單位力引起的第二個單位力作用點沿其作用方向上的相應位移FP1=1①FP2=1②δ211這里荷載是廣義荷載，位移是相應的廣義位移2δ12與δ