圖形的放大與縮小-位似變換

圖形的放大與縮小---位似變換1.前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的哪些變換？平移：平移的方向,平移的距離.旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)方向,旋轉(zhuǎn)角度.相似：相似比.對(duì)稱(軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形,中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形)：對(duì)稱軸,對(duì)稱中心.注：圖形這些不同的變換是我們學(xué)習(xí)幾何必不可少的重要工具,它不但裝點(diǎn)了我們的生活,而且是學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ).下面請(qǐng)欣賞如下圖形的變換請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察下列兩幅圖有什么共同特點(diǎn)？位位位位圖圖圖圖似似似似形形形形CDE下面兩副圖是相似形嗎？認(rèn)真觀察看它們還有什么特征？ABCDEFOMN哇!果真奇特這不過(guò)是冰山一角原來(lái)是一組景觀呀?jīng)]那么簡(jiǎn)單哦,它們是相似圖形還有更奇特的呢!位似圖形

大家好,今天我?guī)銈內(nèi)ヌ矫叵嗨茍D形王國(guó)最奇特的景觀圖形的放大與縮小

幻燈機(jī)的膠片和屏幕上的畫(huà)面也形成一種位似關(guān)系．

下列圖形中，每個(gè)圖中的四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′都是相似圖形.分別觀察這五個(gè)圖，你發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖中的兩個(gè)四邊形各對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線有什么特征？

1、每組圖形的形狀有什么關(guān)系？

2、每組圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線有什么關(guān)系？共同發(fā)現(xiàn)形狀相同——相似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)。

如果一組圖形不僅相似,而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心。

關(guān)鍵詞：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)相似位似圖形1、這樣的圖形叫位似圖形1．兩圖形相似．

同時(shí)滿足下面三個(gè)條件的兩個(gè)圖形才叫做位似圖形．三條件缺一不可．

顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形，其相似比又叫做它們的位似比.

2．每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)．

3.對(duì)應(yīng)邊互相平行或重合.明晰新知位似圖形特征：1、位似圖形一定是相似形，反之不一定。2、判斷位似圖形時(shí)要注意：首先，它們必須是相似形，其次，每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)?？匆豢碈’CB’BA’ABAA’EDCE’D’C’B’CABD’C’B’A’D想一想在位似圖形中，位似中心位置可能有幾種情況呢？

可以在圖形內(nèi)部，也可以在圖形外部，還可以在圖形的某個(gè)頂點(diǎn)上或在圖形的某條邊上。1.下列圖形是否是位似圖形？如果是請(qǐng)指出位似中心，如果不是請(qǐng)說(shuō)明理由。BACEDFEDCBAHG位似的判斷培養(yǎng)逆向思維在下圖中,(1),(3)中的兩個(gè)圖形是位似圖形,(2)中的兩個(gè)圖形不是位似圖形.分別指出圖(1),(3)各自的位似中心;OP(1)(3)(2)靈感智慧BAA’EDCE’D’C’B’做一做1.判斷下列各對(duì)圖形是不是位似圖形.(1)相似五邊形ABCDE與五邊形A’B’C’D’E’;(是)(2)正方形ABCD與正方形A’B’C’D’;(是)CABD’C’B’A’D(3)等邊三角形ABC與等邊三角形A’B’C’.C’CB’BA’A(是)2、如圖P，E，F(xiàn)分別是AC，AB，AD的中點(diǎn)，四邊形AEPF與四邊形ABCD是位似圖形嗎？如果是位似圖形，說(shuō)出位似中心和位似比.做一做四邊形AEPF與四邊形ABCD是位似圖形.位似中心是:點(diǎn)A位似比是:123、判斷下面的正方形是不是位似圖形？（1）不是ACDBFEG顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形.相似圖形不一定是位似圖形，可位似圖形一定是相似圖形思考：位似圖形有何性質(zhì)？OABA`C`B`CD`D4、已知:如圖在同一平面內(nèi)△ABC和△

A`B`C`是位似圖形,AA`、BB`、CC`的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)O，OB交AC，A`C`于點(diǎn)D和D`。試問(wèn)：①對(duì)應(yīng)邊有什么位置關(guān)系？②位似中心到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段比與相似比有什么關(guān)系？探究題1、每組圖形的對(duì)應(yīng)邊有什么關(guān)系？AA`BB`CC`DD`1、對(duì)應(yīng)邊互相平行或在一條直線上ABDCA`B`D`C`O1.53OA=5,OA`=10OC=3.5,OC`=7OB=6,OB`=12位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.OABA`C`B`CD`D證明：①∵△ABC和△A`B`C`是位似圖形OB交AC，A`C`于點(diǎn)D和D`∴△ABC∽△A`B`C`

且D和D`是對(duì)應(yīng)點(diǎn)∴△ABD∽△A`B`D`∴∠ABD=∠A`B`D`∴AB∥A`B`OABA`C`B`CD`D證明：②∵AB∥A`B`∴∠BAO=∠B`A`O，∠ABO=∠A`B`O∴△OAB∽△OA`B`做一做2.位似圖形的性質(zhì)性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

概念與性質(zhì)C`A`B`BAOC（1）兩個(gè)位似形一定是相似形；

（2）各對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；（二）位似圖形的性質(zhì)（二）位似圖形的性質(zhì)3、對(duì)應(yīng)邊互相平行或在一條直線上4、位似比等于位似圖形的相似比。

位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比叫位似比.如何對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行放大或縮小呢？

四邊形ABCD，現(xiàn)要對(duì)其放大兩倍，該如何操作？ABCDA1B1C1D1如圖四邊形ABCD，現(xiàn)要對(duì)其放大兩倍，該如何操作？小結(jié)：我們可以先畫(huà)一個(gè)格點(diǎn)圖，通過(guò)它來(lái)輔助畫(huà)圖。但這樣做有什么不好的地方呢？能不能再找更為簡(jiǎn)便的方法呢？看一看，想一想我們?cè)谖锢砩隙紝W(xué)過(guò)了小孔成像，從中你能得到什么啟示呢？ABA’B’O做一做如圖，已知△ABC，求作△A’B’C’，使得△ABC的邊長(zhǎng)縮小到原來(lái)的一半.連AO,并延長(zhǎng)至A’，使連BO,并延長(zhǎng)至B’，使連CO,并延長(zhǎng)至C’，使連接三個(gè)頂點(diǎn)就可以得到△A’B’C’.你能解釋原因嗎?A’B‘C‘做一做也可以這樣來(lái)處理：ABCO1、連OA，在OA上取A’，使連OB，在OB上取B’，使連OC，在OC上取C’，使A’B’C’2、3、

現(xiàn)在要把多邊形ABCDE放大到1.5倍，即新圖與原圖的相似比為1.5．按照下面的方法畫(huà)圖，看看能不能將原來(lái)的多邊形放大？1．任取一點(diǎn)O；

2．以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OA、OB、OC、…；

3．分別在射線OA、OB、OC、…上取點(diǎn)A’、

B’、C’、…，使：

OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC=…=1.5;

4．連接A’B’、B’C’、…，得到所要畫(huà)的多邊形A’B’C’D’E’.畫(huà)一畫(huà)

要畫(huà)四邊形ABCD的位似圖形，還可以任取一點(diǎn)O，如圖24.4.2，作直線OA、OB、OC、OD，在點(diǎn)O的另一側(cè)取點(diǎn)A′、B′、C′、D′，使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四邊形A′B′C′D′．觀察一觀察二

實(shí)際上，如圖18.4.3所示，如果把位似中心取在多邊形內(nèi)，那么也可以把一個(gè)多邊形放大或縮小，而且較為簡(jiǎn)便．O.ABC.

練習(xí)與拓展

1．如圖，已知△ABC和點(diǎn)O.以O(shè)為位似中心，求作△ABC的位似圖形，并把△ABC的邊長(zhǎng)擴(kuò)大到原來(lái)的兩倍.OA:OA’

=OB:OB’=OC:OC’=1:2B’A'C’作位似圖形，要用尺規(guī)作圖：1、若指定位似中心，一般可作兩個(gè)，位于位似中心兩側(cè)；2、若不指定位似中心，一般可作無(wú)數(shù)個(gè)。

問(wèn)：你們能得到的是正立放大的“像”、正立縮小的“像”、倒立縮小的“像”嗎？應(yīng)用ABA`C`B`CO

以任意點(diǎn)O為位似中心，在O點(diǎn)與△ABC的同側(cè)畫(huà)出邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的一半的△A`B`C`

。1、選取中心點(diǎn)2、連結(jié)OA、OB、OC。3、在OA、OB、OC上分別選取A`、B`、C`，使OA`/OA=1/2、OB`/OB=1/2、OC`/OC=1/2。步驟：4、連結(jié)A`B`，A`C`，B`C`，得△A`B`C`觀看：位似圖形的畫(huà)圖題2ABA`C`B`CO

以O(shè)為位似中心把△ABC在O點(diǎn)的異側(cè)畫(huà)出邊長(zhǎng)縮小為原來(lái)的一半的三角形。A`B`C`ABCO觀看：位似圖形的畫(huà)圖題3

如圖：△ABC以任意點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)出正立的邊長(zhǎng)放大為原來(lái)的兩倍的三角形。結(jié)論：△A`B`C`為所求的三角形1.利用位似可以把一個(gè)圖形放大或縮小。2、利用位似可以作一個(gè)圖形正像與倒像.（2）、兩個(gè)圖形在位似中心的異側(cè)得可以得到一個(gè)圖形的倒像。（1）、兩個(gè)圖形在位似中心的同側(cè)得可以得到一個(gè)圖形的正像。位似的作用AHGFEDCBOLKAHKFEDCBOLGAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKAHGFEDCBOLKABDCA/B/D/C/OA/B/D/C/ABDCOABDCA/B/D/C/OABDCA/B/D/C/ABDCA/B/D/C/觀察下圖中的五個(gè)圖，回答下列問(wèn)題：在各圖中，位似圖形的位似中心與這兩個(gè)圖形有什么位置關(guān)系？位置不一樣，位似中心就不一樣.典例解析如圖，D，E分別AB，AC上的點(diǎn).（1）如果DE∥BC，那么?ADE和?ABC是位似圖形嗎？為什么？ABCDE解：（1）?ADE和?ABC是位似圖形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE和＝∠B，∠AED＝∠C.所以?ADE∽?ABC.又因?yàn)辄c(diǎn)A是?ADE和?ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)A，所以?ADE和?ABC是位似圖形.典例解析如圖，D，E分別AB，AC上的點(diǎn).（1）如果DE∥BC，那么?ADE和?ABC是位似圖形嗎？為什么？ABCDE（2）如果?ADE和?ABC是位似圖形，那么DE∥BC嗎？為什么？解：（2）DE∥BC.理由是：?ADE和?ABC是位似圖形，?ADE∽?ABC∠ADE＝∠BDE∥BC.畫(huà)位似圖形的步驟步驟：（1）確定位似中心點(diǎn)；

（2）將圖形各頂點(diǎn)與位似中心連接（或延長(zhǎng)）；

（3）按位似比進(jìn)行取點(diǎn)；

（4）順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的圖形.注意：

（1）位似中心可以是任意一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以在多邊形的內(nèi)部或外部或在多邊形上，但具體問(wèn)題一般要考慮畫(huà)圖方便且符合要求；（2）一般情況下，畫(huà)已知圖形的位似圖形的結(jié)果不唯一；（3）將一個(gè)圖形放大或縮小而保持形狀不變.想一想利用作位似圖形的方法，你能將下面的三角形縮小，使縮小后的三角形與原三角形對(duì)應(yīng)線段的比為1：2嗎？與同伴進(jìn)行交流.O.ABCA'C’B’.將三角形ABC放大一倍。實(shí)踐O.ABA'C’B’CACBOOAA’BCB’C’以0為中心把△ABC縮小為原來(lái)的一半。ABA’C’B’CO以0為中心把△ABC縮小為