【創(chuàng)新方案】高考數學 第七章第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關系 A

1．以下四個命題中，正確命題的個數是(

)①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、B、C、D共面，點A、B、C、E共面，則點A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④首尾依次相接的四條線段必共面．A．0

B．1C．2D．3解析：①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個公共點A、B、C，但是若A、B、C共線，則結論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面內．答案：B2．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是(

)A．平行或異面

B．相交或異面C．異面

D．相交解析：假設a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行．(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)；因此c與b可能相交或異面．答案：B3．對于直線m、n和平面α，下列命題中的真命題是(

)A．如果m?α、n?α，m，n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α、n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交C．如果m?α、n∥α，m，n是共面直線，那么n∥mD．如果m?α、n∥α，m，n是異面直線，那么n與m相交解析：由圖可知，A錯誤；由圖可知，n與α可以平行，所以B錯誤；D顯然錯誤，故選C.答案：C4．若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關系是____________．解析：當這兩點在α的同側時，l與α平行；當這兩點在α的異側時，l與α相交．答案：平行或相交5．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．解析：把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體如圖所示，則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③1．平面的基本性質名稱圖示文字表示符號表示公理1如果一條直線上的

在一個平面內，那么這條直線在此平面內A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?兩點l?α名稱圖示文字表示符號表示公理2過

上的三點，有且只有一個平面A、B、C三點不共線?有且只有一個平面α，使A、B、C∈α不在一條直線名稱圖示文字表示符號表示公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們

過該點的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l有且只有一條2．空間兩直線的位置關系相交平行任何(1)(2)平行公理公理4：

的兩條直線互相平行——空間平行線的傳遞性．(3)等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角

．平行于同一直線相等或互補(4)異面直線所成的角①定義：設a、b是兩條異面直線，經過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：．銳角(或直角)3．直線與平面的位置關系位置關系圖示符號表示公共點個數直線l在平面α內直線l與平面α相交直線l與平面α平行l(wèi)?αl∩α＝Al∥α無數個一個0個4.平面與平面的位置關系位置關系圖示符號表示公共點個數兩平面平行兩平面相交

＝l無數個(這些公共點均在交線l上)α∥βα∩β0個考點一平面的基本性質及平行公理的應用如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點．考點二空間兩條直線位置關系的判定如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點．問：(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由．(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．(2)是異面直線，理由如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴B、C、C1、D1不共面．假設D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴與ABCD－A1B1C1D1是正方體矛盾．∴假設不成立，∴D1B與CC1是異面直線．本例中，條件N改為：N分B1C1的比為1∶2則AM和CN是否是異面直線？請說明理由.解：是異面直線，理由如下：假設AM和CN共面，即AM和CN同在一個平面AMNC內，∵MN?平面A1C1，AC?平面AC，又MN，AC?平面AMNC，平面A1C1∥平面AC，∴MN∥AC，而A1C1∥AC，∴A1C1∥MN，又M為A1B1中點，∴N為B1C1中點，這與已知條件N分B1C1之比為1∶2矛盾，∴假設不成立．故AM和CN是異面直線．a，b，c是空間中的三條直線，下面四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；④若a，b與c成等角，則a∥b.上述命題中正確的命題是________．(只填序號)解析：由公理4知①正確；當a⊥b，b⊥c時，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個平面內”，故③不正確；當a，b與c成等角時，a與b可以相交、平行，也可以異面，故④不正確．答案：①如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點．(1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱錐A－EBC的體積．考點三(理)異面直線所成角的計算(2011·寧波質檢)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．異面直線的判定、異面直線所成的角是高考對這部分內容的常考題型，難度屬中、低檔題，重點考查空間直線、平面間的位置關系的概念，異面直線所成角的定義及求法，同時考查反證法，以及學生的空間想象能力．[考題印證]

(2010·湖南高考)(12分)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)證明：平面ABM⊥平面A1B1M.1．三點共線的證明(1)證明三點共線通常有兩種方法：一是首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，于是可得這三點都在交線上，即三點共線；二是選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在這條直線上，從而得三點共線．(2)證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過這點，把問題化歸到證明點在直線上的問題．通常是先證兩條直線的交點在兩個平面的交線上而第三條直線恰好是兩個平面的一條交線．2．異面直線的證明(1)定義法(不易操作)；(2)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經常用到；(3)客觀題中，也可用下述結論：過平面外一點和平面內一點的直線，與平面內不過該點的直線是異面直線．3．異面直線所成角的求法(1)常用的解法．①平移法：即選點平移其中一條或兩條使其轉化為平面角問題．②補形法：即采用補形法作出平面角．(2)求異面直線所成角的一般步驟．①一作：即據定義作平行線，作出異面直線所成的角；②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；③三求：在三角形中求得直線所成的角的某個三角函數值．4．公理4的應用公理4是證明兩條直線平行的一種重要方法，即要證兩線平行，只要找(作)第三線．再分別證明兩線均與該線平行即可．1．有以下命題：①若平面α與平面β相交，則它們只有有限個公共點；②經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；③經過兩條相交直線有且只有一個平面；④兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面．其中，真命題的個數是(

)A．4個B．3個C．2個

D．1個解析：①錯，因為有無限個公共點，②、③、④均正確，故選B.答案：B2．(2011·珠海模擬)下列四個命題：①若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；②若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；③若a∥b，則a、b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中真命題的個數是(

)A．4B．3C．2D．1解析：只有③正確，故選D.答案：D答案：C4．空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點，那么四邊形EFGH的形狀是________．答案：平行四邊形5．(2011·黃浦模擬)關于直線m，n與平面α，β，有以下四個命題：①若m∥α，