【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第七章第三節(jié) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 A

1．以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是(

)①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面；③若直線a、b共面，直線a、c共面，則直線b、c共面；④首尾依次相接的四條線段必共面．A．0

B．1C．2D．3解析：①正確，可以用反證法證明；②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確，共面不具有傳遞性；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面內(nèi)．答案：B2．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是(

)A．平行或異面

B．相交或異面C．異面

D．相交解析：假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行．(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)；因此c與b可能相交或異面．答案：B3．對(duì)于直線m、n和平面α，下列命題中的真命題是(

)A．如果m?α、n?α，m，n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α、n?α，m，n是異面直線，那么n與α相交C．如果m?α、n∥α，m，n是共面直線，那么n∥mD．如果m?α、n∥α，m，n是異面直線，那么n與m相交解析：由圖可知，A錯(cuò)誤；由圖可知，n與α可以平行，所以B錯(cuò)誤；D顯然錯(cuò)誤，故選C.答案：C4．若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是____________．解析：當(dāng)這兩點(diǎn)在α的同側(cè)時(shí)，l與α平行；當(dāng)這兩點(diǎn)在α的異側(cè)時(shí)，l與α相交．答案：平行或相交5．一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．解析：把正方體的平面展開(kāi)圖還原成原來(lái)的正方體如圖所示，則AB⊥EF，EF與MN為異面直線，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正確．答案：①③1．平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理1如果一條直線上的

在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?兩點(diǎn)l?α名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理2過(guò)

上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A、B、C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α，使A、B、C∈α不在一條直線名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們

過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l有且只有一條2．空間兩直線的位置關(guān)系相交平行任何(1)(2)平行公理公理4：

的兩條直線互相平行——空間平行線的傳遞性．(3)等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角

．平行于同一直線相等或互補(bǔ)(4)異面直線所成的角①定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的

叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．②范圍：．銳角(或直角)3．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l在平面α內(nèi)直線l與平面α相交直線l與平面α平行l(wèi)?αl∩α＝Al∥α無(wú)數(shù)個(gè)一個(gè)0個(gè)4.平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩平面平行兩平面相交

＝l無(wú)數(shù)個(gè)(這些公共點(diǎn)均在交線l上)α∥βα∩β0個(gè)考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過(guò)E、F、G的平面交AD于H，連接EH.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)．考點(diǎn)二空間兩條直線位置關(guān)系的判定如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)．問(wèn)：(1)AM和CN是否是異面直線？說(shuō)明理由．(2)D1B和CC1是否是異面直線？說(shuō)明理由．(2)是異面直線，理由如下：∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴B、C、C1、D1不共面．假設(shè)D1B與CC1不是異面直線，則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，∴D1、B、C、C1∈α，∴與ABCD－A1B1C1D1是正方體矛盾．∴假設(shè)不成立，∴D1B與CC1是異面直線．本例中，條件N改為：N分B1C1的比為1∶2則AM和CN是否是異面直線？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：是異面直線，理由如下：假設(shè)AM和CN共面，即AM和CN同在一個(gè)平面AMNC內(nèi)，∵M(jìn)N?平面A1C1，AC?平面AC，又MN，AC?平面AMNC，平面A1C1∥平面AC，∴MN∥AC，而A1C1∥AC，∴A1C1∥MN，又M為A1B1中點(diǎn)，∴N為B1C1中點(diǎn)，這與已知條件N分B1C1之比為1∶2矛盾，∴假設(shè)不成立．故AM和CN是異面直線．a(chǎn)，b，c是空間中的三條直線，下面四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線；④若a，b與c成等角，則a∥b.上述命題中正確的命題是________．(只填序號(hào))解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故②不正確；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故③不正確；當(dāng)a，b與c成等角時(shí)，a與b可以相交、平行，也可以異面，故④不正確．答案：①如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中點(diǎn)．(1)求異面直線AE和PB所成角的余弦值．(2)求三棱錐A－EBC的體積．考點(diǎn)三(理)異面直線所成角的計(jì)算(2011·寧波質(zhì)檢)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．異面直線的判定、異面直線所成的角是高考對(duì)這部分內(nèi)容的常考題型，難度屬中、低檔題，重點(diǎn)考查空間直線、平面間的位置關(guān)系的概念，異面直線所成角的定義及求法，同時(shí)考查反證法，以及學(xué)生的空間想象能力．[考題印證]

(2010·湖南高考)(12分)如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點(diǎn)．(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)證明：平面ABM⊥平面A1B1M.1．三點(diǎn)共線的證明(1)證明三點(diǎn)共線通常有兩種方法：一是首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，于是可得這三點(diǎn)都在交線上，即三點(diǎn)共線；二是選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在這條直線上，從而得三點(diǎn)共線．(2)證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過(guò)這點(diǎn)，把問(wèn)題化歸到證明點(diǎn)在直線上的問(wèn)題．通常是先證兩條直線的交點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上而第三條直線恰好是兩個(gè)平面的一條交線．2．異面直線的證明(1)定義法(不易操作)；(2)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到；(3)客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．3．異面直線所成角的求法(1)常用的解法．①平移法：即選點(diǎn)平移其中一條或兩條使其轉(zhuǎn)化為平面角問(wèn)題．②補(bǔ)形法：即采用補(bǔ)形法作出平面角．(2)求異面直線所成角的一般步驟．①一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；②二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；③三求：在三角形中求得直線所成的角的某個(gè)三角函數(shù)值．4．公理4的應(yīng)用公理4是證明兩條直線平行的一種重要方法，即要證兩線平行，只要找(作)第三線．再分別證明兩線均與該線平行即可．1．有以下命題：①若平面α與平面β相交，則它們只有有限個(gè)公共點(diǎn)；②經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；③經(jīng)過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；④兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面．其中，真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)

D．1個(gè)解析：①錯(cuò)，因?yàn)橛袩o(wú)限個(gè)公共點(diǎn)，②、③、④均正確，故選B.答案：B2．(2011·珠海模擬)下列四個(gè)命題：①若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；②若直線a、b相交，b、c相交，則a、c相交；③若a∥b，則a、b與c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，則a∥c.其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A．4B．3C．2D．1解析：只有③正確，故選D.答案：D答案：C4．空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，那么四邊形EFGH的形狀是________．答案：平行四邊形5．(2011·黃浦模擬)關(guān)于直線m，n與平面α，β，有以下四個(gè)命題：①若m∥α，