【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 第十章第一節(jié) 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 A

1．在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有(

)A．24個B．28個C．36個

D．48個解析：法一：按十位數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個，由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個．法二：按個位數(shù)字分別是2,3,4,5,6,7,8,9的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，由分類加法計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個．答案：C2．從－2、－1、0、1、2、3這六個數(shù)字中任選3個不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a、b、c，

則可以組成頂點在第一象限且過原點的拋物線的條數(shù)

為(

)A．6B．20C．100D．120解析：分三步：第一步確定c，由拋物線過原點知c＝0，只有1種方法；第二步確定a，由拋物線頂點在第一象限知，拋物線開口向下，a從－2、－1中任選一個，有2種不同的方法；第三步確定b,從1,2,3中任選一個，有3種不同的方法．根據(jù)分步計數(shù)原理，所求的拋物線條數(shù)共有1×2×3＝6.答案：

A3．(2010·全國卷Ⅰ)某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有(

)A．30種

B．35種C．42種

D．48種答案：A4．4名學(xué)生報名參加數(shù)學(xué)、生物、英語三項比賽，每人限報一項，報名方法有________種；若每個項目均有人參賽，則報名方法有________種(用數(shù)字作答)．答案：81

365.如圖用6種不同的顏色把圖中A、

B、C、D四塊區(qū)域分開，若相

鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則

不同的涂法共有__________種．解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480種．

答案：4801．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．m＋nm×n2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法．考點一分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用[自主解答]

以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類，分為五類．第一類：m＝1時，使n>m，n有6種選擇；第二類：m＝2時，使n>m，n有5種選擇；第三類：m＝3時，使n>m，n有4種選擇；第四類：m＝4時，使n>m，n有3種選擇；第五類：m＝5時，使n>m，n有2種選擇．∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20(種)方法，即有20個符合題意的橢圓．若將“焦點在y軸”改為“焦點在x軸”呢？解：當(dāng)m＝2時，n＝1，有1種選擇；當(dāng)m＝3時，n＝1，2，有2種選擇；當(dāng)m＝4時，n＝1，2，3，有3種選擇；當(dāng)m＝5時，n＝1,2,3,4，有4種選擇；∴共有1＋2＋3＋4＝10種方法，即有10個符合題意的橢圓．高三一班有學(xué)生50人，男30人，女20人；高三二班有學(xué)生60人，男30人，女30人；高三三班有學(xué)生55人，男35人，女20人．(1)從高三一班、二班或三班學(xué)生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？(2)從高三一班、二班的男生中，或從高三三班的女生中選一名學(xué)生任校學(xué)生會體育部部長，有多少種不同的選法？解：(1)50＋60＋55＝165(種)，即所求選法有165種．(2)30＋30＋20＝80(種)，即所求選法有80種．從1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)是多少？考點二分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用某乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，要派5名參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五的位置，其余7名隊員中有2名被安排在第二、四位置，求不同的出場安排有多少種．解：按出場順序逐一安排．第一位置隊員的安排有3種方法，第二位置隊員的安排有7種方法，第三位置隊員的安排有2種方法，第四位置隊員的安排有6種方法．第五位置隊員的安排只有一種方法．由分步乘法計數(shù)原理，得不同的出場安排種數(shù)為3×7×2×6×1＝252.即共有252種出場方式．某電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中有3個不同的商業(yè)廣告、2個不同的世博會宣傳廣告、1個公益廣告，要求最后播放的不能是商業(yè)廣告，且世博會宣傳廣告與公益廣告不能連續(xù)播放，兩個世博會宣傳廣告也不能連續(xù)播放，則有多少種不同的播放方式？考點三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用[自主解答]

用1、2、3、4、5、6表示廣告的播放順序，則完成這件事有3類方法．第一類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是2、4、6.分6步完成這件事共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第二類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、4、6，分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．第三類：宣傳廣告與公益廣告的播放順序是1、3、6，同樣分6步完成這件事，共有3×3×2×2×1×1＝36種不同的播放方式．由分類加法計數(shù)原理得：6個廣告不同的播放方式有36＋36＋36＝108種．用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的比2000大的4位偶數(shù)？解：完成這件事可分為3類方法：第一類是用0做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分步計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有4×4×3＝48個；第二類是用2做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾兩數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可供選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，還有3種選法．依據(jù)分步計數(shù)原理，這類數(shù)的個數(shù)有3×4×3＝36個；第三類是用4做結(jié)尾的比2000大的4位偶數(shù)，其步驟同第二類．對以上三類結(jié)論用分類計數(shù)原理，可得所求無重復(fù)數(shù)字的比2000大的4位偶數(shù)有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120個．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用是高考對本節(jié)內(nèi)容的重要考查點，其中分類加法計數(shù)原理體現(xiàn)了分類討論的思想，是高考的一個重要考向，其考查方式多以選擇題或解答題為主．[考題印證]

(2010·天津高考)如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色．則不同的涂色方法共有(

)A．288種B．264種C．240種D．168種[答案]

B1．兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系兩個原理是處理排列、組合問題的理論依據(jù)，它們都是把一個事件分解成若干個事件來完成，其區(qū)別在于分類計數(shù)原理中各類辦法是相互獨立的，而分步計數(shù)原理中各個步驟是相互依存的．2．兩個計數(shù)原理的應(yīng)用(1)分類時要注意“類”與“類”之間的獨立性和并列性；分步時要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性．分類加法計數(shù)原理中的各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理中的各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成．(2)運用兩個原理解決相關(guān)問題時，究竟先分類后分步，還是先分步后分類這應(yīng)視具體問題而定．1．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是(

)A．60B．48C．36D．24解析：長方體的每一個面對應(yīng)6個“平行線面組”，共有6×6＝36個；長方體的第一個對角面對應(yīng)2個“平行線面組”，共有6×2＝12個．∴共有36＋12＝48個．答案：B解析：把8名運動員看作8家“店”，3項冠軍看作3位“客”，它們都可住進任意一家“店”，每位“客”有8種可能．根據(jù)乘法原理，共有8×8×8＝83(種)不同的結(jié)果．答案：A3．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙兩人所選的課程中含有1門相同的選法有(

)A．6種

B．12種C．16種

D．24種答案：D4．甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是________(用數(shù)字作答)．答案：3365.某人有3種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多)要在如圖所示的6個點

A、B、C、A1、B1、C1上各安裝一

個燈泡，要求同一條線段兩端的燈

泡不同色，則不同的安裝方法共有

________種．(用數(shù)字作答)答案：126．現(xiàn)有高一四個班學(xué)生共34人，其中一、二、三、四班各

7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小

組．(1)選其中一人為負責(zé)人，有多少種不同的選法？(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？(3)推選二人作中心發(fā)言，這二人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？解：(1)分四類，第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法，所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長，所以共有不同的選法N