測(cè)量的不確定度

3.誤差及不確定度3.1誤差的基本知識(shí)3.2不確定度的計(jì)算3.1誤差的基本知識(shí)

誤差定義：=|-x|或r=|-x|/

測(cè)量值x與真值之差稱(chēng)為誤差。由于真值不可知,

故誤差不可知，所以測(cè)量都是對(duì)真值的近似描述。多用相對(duì)真值（理論值、約定真值、算術(shù)平均值）代替真值，并從統(tǒng)計(jì)的角度估算誤差的大小。**誤差存在一切測(cè)量之中。它的大小反映了人們的認(rèn)識(shí)接近客觀真實(shí)的程度。誤差來(lái)源：由系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩部分組成。（1）系統(tǒng)誤差：來(lái)源于測(cè)量系統(tǒng)的不完善(如:儀器、方法、環(huán)境等)，使x偏離。

特點(diǎn):以恒定偏大（?。┗蛑芷谛孕问匠霈F(xiàn)。

消除方法:針對(duì)產(chǎn)生的原因加以消除。（2）偶然誤差：由大量微小干擾因素產(chǎn)生的，使x偏離

如讓n個(gè)同學(xué)依次測(cè)某人身高X，得(X1、X2、……Xn)，但不能保證X1X2

……

Xn。再次測(cè)量得(X'1、X'2、……X'n)，除不能保證X'1X'2……

X'n外，還不能保證X1=

X'1、

X2=

X'2

……Xn=X'n。若X1=X1ˉ+，……，Xn=

Xn

ˉ。因X可正，可負(fù)，可為零。這表明：

偶然誤差的特點(diǎn)：隨機(jī)性。

消除方法：因X可正，可負(fù)，可為零，多次測(cè)量可以減小偶然誤差。

X(長(zhǎng)度值)1.011.021.031.041.051.061.071.081.091.101.11N(相同值出現(xiàn)的次數(shù))13610151184321對(duì)某一長(zhǎng)度X測(cè)量了64次，其數(shù)據(jù)如下：概率分布圖n=64當(dāng)n

時(shí)，反應(yīng)x值出現(xiàn)次數(shù)的值n(x)變成連續(xù)函數(shù)，即多次測(cè)量服從正態(tài)分布：?jiǎn)畏?；有界；近似?duì)稱(chēng)和正、負(fù)相消的特點(diǎn)?？捎谜龖B(tài)分布函數(shù)來(lái)描述。f(x)xi正態(tài)分布曲線多次測(cè)量服從正態(tài)分布：?jiǎn)畏?；有界；近似?duì)稱(chēng)和正、負(fù)相消的特點(diǎn)?？捎谜龖B(tài)分布函數(shù)來(lái)描述。

23其幾何意義為分布曲線的寬度。曲線的總面積為1，在范圍內(nèi)包含68.3%的面積；2范圍內(nèi)包含95.4%的面積；3范圍內(nèi)包含99.7%的面積；而3范圍以外，僅包含了0.3%的面積。大部分測(cè)量值分布在由決定的范圍內(nèi)。f(x)X

不同，表明偶然誤差的影響不同。 分布為1的曲線其測(cè)量值離散性大些，分布為2的曲線測(cè)量值相對(duì)集中些，表明前者偶然誤差的影響要大。

可用來(lái)描述偶然誤差的大小。

f(x)2X在實(shí)際中，我們對(duì)物理量的測(cè)量都是有限次測(cè)量，偶然誤差對(duì)測(cè)量值的影響，是通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)偏差S來(lái)估算的。偏差=|平均值–測(cè)量值|

=|

–

|（3）偶然誤差的估算：

在有限次測(cè)量條件下，我們可用S對(duì)偶然誤差進(jìn)行估算。由公式知，S從統(tǒng)計(jì)的角度反映了平均值和某一次測(cè)量值X之間的偏離程度，稱(chēng)為測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差，簡(jiǎn)稱(chēng)測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)差。統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)簲?shù)據(jù)列中任一值X出現(xiàn)在（S）區(qū)間的概率為68.3%?？勺C明：當(dāng)n時(shí)，S但在測(cè)量時(shí)，我們更關(guān)心、且經(jīng)常利用測(cè)量列平均值X的標(biāo)準(zhǔn)差S來(lái)估算平均值與真實(shí)值之間的偶然誤差。在XS范圍內(nèi)有68.3%的可能包含了真值;在X2S范圍內(nèi)有95%的可能包含了真值;在X3S范圍內(nèi)有99.7%的可能包含了真值;在X3S范圍外,僅有0.3%的可能包含了真值。3S稱(chēng)為誤差的極限，也叫壞值剔除的標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)差公式推導(dǎo):有一組測(cè)量值,，各次測(cè)量值的誤差為兩邊求和取平均得：或代入偏差定義式，得：兩邊平方求和得：因?yàn)樵跍y(cè)量中正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率接近相等，故展開(kāi)后，交叉項(xiàng)為正為負(fù)的數(shù)目接近相等，彼此相消，故得：因而即等式右邊若取n→∞時(shí)的極限，即是標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的定義式。等式左邊是任意一次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，記作σx即

它表示測(cè)量次數(shù)有限多時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差σ的一個(gè)估算值。

物理意義：如果多次測(cè)量的偶然誤差遵從正態(tài)分布，則任意一次測(cè)量的誤差落在-σx到+σx區(qū)域之間的可能性（概率）為68.3%?；蛘哒f(shuō)，它表示這組數(shù)據(jù)的誤差有68.3%的概率出現(xiàn)在-σx到+σx的區(qū)間內(nèi)。又稱(chēng)測(cè)量列的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

同樣可以得到算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差即

物理意義：真值處于區(qū)間內(nèi)的概率為68.3%。（4）系統(tǒng)誤差的估算(只考慮儀器產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差)

由儀器的極限誤差來(lái)估算系統(tǒng)誤差。極——儀器在使用時(shí)所能產(chǎn)生的最大誤差范圍。可由如下三種途徑獲取：

1）由儀器說(shuō)明書(shū)查詢

2）無(wú)法查詢時(shí)可按最小刻度一半考慮

3）指針式電表：極＝量程等級(jí)%

系統(tǒng)誤差的估算：U儀=極/CC為置信系數(shù)對(duì)誤差均勻分布的儀器，通常等刻度儀器，C取,米尺、儀表均是這種情況;對(duì)誤差服從正態(tài)分布的儀器（如數(shù)顯表）C取3。等差細(xì)分類(lèi)儀器:

U儀卡尺=0.02mm;U儀分光計(jì)=1′指針式電表：U儀電表=極電表=（量程等級(jí)%）

U儀米尺

U儀千分尺

秒表：

U儀秒表=0.01s

數(shù)顯儀器：

U儀數(shù)顯=

極/3數(shù)字秒表:最小分度=0.01sC.未給出儀器誤差時(shí)非連續(xù)可讀儀器U儀電表=極電表=（量程等級(jí)%）/

=0.2/=0.115

0.23.2不確定度的計(jì)算

由于誤差僅僅是對(duì)測(cè)量過(guò)程的理想描述，為此，國(guó)際度計(jì)量局于上個(gè)世紀(jì)80年代提出用不確定度一詞取代誤差來(lái)評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的建議，得到了各國(guó)的采納。不確定度定義

：不確定度U是指由于測(cè)量誤差的存在，對(duì)被測(cè)量值的不能肯定的程度。不確定度的意義

：它是測(cè)量結(jié)果質(zhì)量的指標(biāo)。不確定度愈小，所述結(jié)果與被測(cè)量的真值愈接近，測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量越高。不確定度存在于實(shí)驗(yàn)的各個(gè)環(huán)節(jié)之中.

方法人儀器；環(huán)境理論即U由U方、U理、U儀、U環(huán)、U人等部分組成。分別介紹如下3.2.1由方法產(chǎn)生的不確定度－－U方。伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)中，因電流表內(nèi)接分得一部分電壓，使電壓表讀數(shù)值較真實(shí)值偏大；若電流表外接，又因電壓表分得一部分電流，而使電流表讀數(shù)值較真實(shí)值偏大。這顯然是由實(shí)驗(yàn)方法這一環(huán)節(jié)引起的，表明:任何實(shí)驗(yàn)方法都會(huì)對(duì)測(cè)量產(chǎn)生或大或小的影響。VRVRR>>RgR<RgAA

3.2.2由理論產(chǎn)生的不確定度－－U理以自由落體運(yùn)動(dòng)公式為例h=gt2/2可以精確地描述兩個(gè)鐵球同時(shí)落地，但不能解釋高空特技跳傘員從機(jī)艙魚(yú)貫而出，但能同時(shí)落地的事實(shí)。這是因?yàn)楣奖旧碜隽撕雎钥諝庾枇Φ慕?！這就使得用該公式描述下落物體運(yùn)動(dòng)距離時(shí)實(shí)際值永遠(yuǎn)小于等于理論值?？梢?jiàn)，由于任何理論都是對(duì)真實(shí)過(guò)程的近似描述，理論對(duì)測(cè)量產(chǎn)生影響，就不足為奇了。3.2.3由儀器產(chǎn)生的不確定度－－U儀

任何儀器在它所能提供的最小讀數(shù)以下，都無(wú)法提供更準(zhǔn)確的信息。比如照相機(jī)在拍攝人物時(shí)，由于鏡頭本身是一個(gè)有限大小的孔徑，人物發(fā)出的光經(jīng)過(guò)鏡頭產(chǎn)生衍射，使得形成的人物像無(wú)法很清晰（比如不能清晰分辨出每一根眼睫毛）。3.2.4由環(huán)境產(chǎn)生的不確定度－－U環(huán)

許多儀器對(duì)其工作環(huán)境都有一定的要求，環(huán)境的變化對(duì)測(cè)量結(jié)果有著直接的影響。比如收音機(jī)接受短波信號(hào)時(shí),其周?chē)姶泡椛鋾?huì)產(chǎn)生噪音的影響；3.2.5由人自身產(chǎn)生的不確定度－－U人

視覺(jué)的影響：由于兩眼存在著主輔視力現(xiàn)象，使得兩眼接受的信息在大腦中產(chǎn)生的視覺(jué)有差異。比如，帶眼鏡的同學(xué)眼鏡片反射的身后的光線往往會(huì)被主視力一側(cè)的眼睛感知。所以為避免視覺(jué)的影響，在一些測(cè)量、讀數(shù)時(shí)，會(huì)要求用一只眼睛來(lái)進(jìn)行。

色覺(jué)的影響：人眼能識(shí)別的光約在400——700nm范圍內(nèi)。我們對(duì)這些光“亮”、“暗”的判斷并不是客觀的。比如，你面前有7盞100W的燈，分別是紅、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫，白天看來(lái)似乎黃、綠兩燈亮些；晚上看來(lái)似乎藍(lán)、綠兩燈亮些。這表明主觀亮度和客觀亮度是有差別的。

聽(tīng)覺(jué)的影響：人們能感知的聲波頻率范圍約為20——20KHz，小孩能聽(tīng)到電視在22－24KHz范圍的高頻振蕩噪聲；老人只能識(shí)別聲音中的高頻成分；某某同學(xué)耳音好、壞等等，都是聽(tīng)覺(jué)方面的差異造成的。

還有嗅覺(jué)、觸覺(jué)……不一一舉例。說(shuō)這些的目的是，人在接受信息時(shí)除了心理因素的影響外，其生理感官各環(huán)節(jié)上也存在著或大或小的影響，使你描述的信息偏離客觀。只有客觀地認(rèn)識(shí)自己，才能客觀地描述世界。上述不確定度共分兩類(lèi):A類(lèi):上述各部分中滿足統(tǒng)計(jì)分布的成分,構(gòu)成A類(lèi)不確定度的各個(gè)分量用Si來(lái)表示。(用來(lái)估算偶然誤差)B類(lèi):不滿足統(tǒng)計(jì)分布的各不確定度成分用UBi表示。（用來(lái)估算系統(tǒng)誤差）