大學(xué)物理第二章氣體動理論

第二章氣體分子運動論

(Kinetictheoryofgases)§2.1理想氣體的壓強與溫度§2.2溫度的微觀意義§2.3能量均分定理§2.4麥克斯韋速率分布律§2.5麥克斯韋速率分布律的實驗驗證（自學(xué)）§2.6玻耳茲曼分布律（自學(xué)）§2.7實際氣體等溫線（自學(xué)）§2.8范德瓦爾斯方程（自學(xué)）§2.9氣體分子的平均自由程§2.10輸運過程（自學(xué)）§2.1理想氣體的壓強與溫度本節(jié)是典型的微觀研究方法。

一般氣體分子熱運動的概念：分子的密度31019

個分子/cm3=3千億個億；分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；分子熱運動的平均速度約v=500m/s；

分子的平均碰撞次數(shù)約z=1010

次/秒。一.微觀模型二．理想氣體壓強公式的推導(dǎo)三．理想氣體的溫度和分子平均平動動能1.對單個分子的力學(xué)性質(zhì)的假設(shè)一.微觀模型分子當作質(zhì)點，不占體積；（因為分子的線度<<分子間的平均距離）分子之間除碰撞的瞬間外，無相互作用力（忽略重力）彈性碰撞（動能不變）服從牛頓力學(xué)分子數(shù)目太多，無法解那么多的聯(lián)立方程。即使能解也無用，因為碰撞太頻繁，運動情況瞬息萬變，必須用統(tǒng)計的方法來研究。(理想氣體的微觀假設(shè))定義:某一事件i發(fā)生的概率為Pi

Ni----事件i發(fā)生的次數(shù)

N----各種事件發(fā)生的總次數(shù)統(tǒng)計規(guī)律有以下幾個特點:（1）只對大量偶然的事件才有意義.（2）它是不同于個體規(guī)律的整體規(guī)律(量變到質(zhì)變).（3）總是伴隨著漲落.NNPiNilim￥?=例:扔硬幣2.對分子集體的統(tǒng)計假設(shè)什么是統(tǒng)計規(guī)律性大量偶然事件從整體上反映出來的一種規(guī)律性。對大量分子組成的氣體系統(tǒng)的統(tǒng)計假設(shè)：VNdVdNn==dV----體積元（宏觀小，微觀大）（1）分子的速度各不相同，而且通過碰撞不斷變化著；（2）平衡態(tài)時分子按位置的分布是均勻的，即分子數(shù)密度到處一樣，不受重力影響；（3）平衡態(tài)時分子的速度按方向的分布是各向均勻的Axyz123lllimvixi分子與器壁碰撞一次獲得的動量增量

2mvmvmvixixix=i分子一次碰撞給予器壁的沖量2mvix每1秒鐘給予器壁的沖量等于i分子給器壁的沖力ixixixv21=2mvmv21ll碰撞一次所需時間:vix21lmvix二、壓強公式的推導(dǎo)123llli分子給予器壁的沖力:N個分子給予器壁的壓強=FSPFSv2=nmx（n：分子數(shù)密度）mvix21lmvixFΣ21=lmvixΣ221=3=lllmvixΣ213NNi=1N2lllN個分子的平均沖力：v=x222++vvvyz2可證明：x2vv=32由統(tǒng)計假設(shè)：222vvv==xyzv=12Pmn3=23n()2mv2壓強公式：說明：1.壓力公式是統(tǒng)計規(guī)律，不是經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。壓強公式將宏觀量P

和分子熱運動平動動能（微觀量）的統(tǒng)計平均值聯(lián)系起來，從而說明了壓強的微觀本質(zhì)。2.對于其它形狀的容器，經(jīng)過一定的推算，也能得出同一結(jié)論。3.分子熱運動平均平動動能M=0mNmolmolPTR=VMM,=MmN,VTR0N()N玻爾茲曼恒量

kPTRV==MMmolk0==RN23×11.3810J.KRTV0NNmm=Pn=kTVTR0=N()N§2.2溫度的微觀意義比較這兩式得：t=32kTT理想氣體溫標或熱力學(xué)溫標v2=33kTm=RTMmol=1.73RTMmolmv122=32kT方均根速率:溫度的統(tǒng)計意義：溫度（宏觀量）是分子熱運動平均平動動能大小的量度。溫度是統(tǒng)計概念，只能用于大量分子，溫度標志物體內(nèi)部分子無規(guī)則運動的劇烈程度。t=32kT例.在0oC時，H2分子

smv/18361002.227331.8332==-O2分子

smv/461103227331.8332==-確定一質(zhì)點在空間的位置需要三個坐標：M(x,y,z)確定一剛性桿子在空間位置需要六個坐標：約束條件：6個坐標中只有5個是獨立的。12222111MM())(xxyyzz,,,,,2MM1l自由度:確定一物體在空間位置所需之獨立坐標數(shù)。

1.質(zhì)點及剛性桿子的自由度一、自由度y111=xzzxy()))((222222++l研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質(zhì)點，微觀模型要修改，因為分子有平動動能，還有轉(zhuǎn)動動能，振動動能。§2.3能量均分定理GαβγxyzoPθG：x,y,zGP:αβγ,,繞GP轉(zhuǎn)角：θ約束條件：αγβcoscoscos2221=++剛體自由度數(shù)6{平動自由度3個轉(zhuǎn)動自由度3個

2.

剛體的自由度獨立坐標數(shù)——6個飛機：自由度為3（經(jīng)度、緯度、高度）火車：被限制在一曲線上運動，自由度為1；（經(jīng)度、緯度）輪船：被限制在一曲面上運動，自由度為2，自由度轉(zhuǎn)動平動雙原子分子523三原子多原子分子633單原子分子3033.

剛性分子的自由度iv2==zxyvv22kT1mvyzmvmv22211=x2kTkT22+++111222+xmvmvzy21mv===222221112kT能量按自由度均分原理：處于平衡態(tài)的氣體kT21分子每一自由度所占有的能量都為

二、能量按自由度均分原理分子熱運動的平均動能1mol理想氣體的內(nèi)能：==kTEiiNmol02RT2M

kg理想氣體的內(nèi)能：=MimolM2ERTε=2kTi

三、理想氣體的內(nèi)能理想氣體內(nèi)能：系統(tǒng)中所有分子熱運動動能之總和。（不包括分子間相互作用的能量）可以證明，當討論：1.內(nèi)能是氣體狀態(tài)的單值函數(shù)理想氣體：E=E(T)2.在實際上當TT=0E,0!量子力學(xué)=0時仍有零點能存在?！?.4麥克斯韋速率分布律單個分子速率不可預(yù)知，大量分子的速率分布是遵循統(tǒng)計規(guī)律，是確定的，這個規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。速率分布函數(shù)：按統(tǒng)計假設(shè)分子速率通過碰撞不斷改變，不好說正處于哪個速率的分子數(shù)多少，但用某一速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比例為多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。設(shè)總分子數(shù)N，速率區(qū)間v~v+dv，該區(qū)間內(nèi)分子數(shù)dNv則dNvN=f(v)dv速率分布函數(shù)速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。顯然f(v)dv=1

0歸一化條件釷方向選擇φωωL速率選擇器屏金屬蒸汽vt=Lvφ12ωt=,L1vωφ=tt=令得：2通過改變ω可獲得不同速率區(qū)間的分子。只有滿足此條件的分子才能同時通過兩縫。二、分子速率分布的測定——斯特恩實驗分子實速驗率數(shù)分據(jù)布的100~200速率區(qū)間百分數(shù)200~300300~400400~500500~600600~700700~800800~900900100＜＞20.6%1.4%8.1%16.5%21.4%15.1%9.2%4.8%2.0%0.9%(m/s)

1859年麥克斯韋從理論上得到速率分布定律。1920年斯特恩從實驗上證實了速率分布定律。速率分布函數(shù)：dN=N1dv(v)vfo24mv=vπ()mπ32e2kT22kTNfv(v)=limΔΔΔ0NvΔΔvNN+vv的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比：ΔΔvvv+的分子數(shù)N：三、麥克斯韋分子速率分布定律圖中小矩形面積f(v)=dvNdN(v)fvdvv歸一化條件：物理意義：所有速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)百分比之和應(yīng)等于1。f(v)dv=dNdvdNN=dN.v的表示vvdv+速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。在vf(v)0m大m小四、三種速率

1.

平均速率v1NNNΣ1vv2=2=ΔΔΔ+++vvΔ...NNNNNii12表示vv的分子總數(shù)。vf(v)dvv12Nvf(v)0T小T大當ΔNi0時

2.方均根速率=23RTMmolvvNΣv=ΔNii8RTπMmolvf(v)dv=08=vf(v)dv

v22=80=3RTMmolv=vdNN=dNv()Ndvdv得：vvvvp2f(v)o由ef(v)=0evvp=2RTMmolvvv2＞＞p3.最可幾速率f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高，速率大的分子數(shù)越多麥克斯韋速率分布函數(shù)f(v)=4

m2kT3/2v2e-mv/2kT2最概然速率vp不要問速率剛好等于某一值的分子數(shù)多少，沒有意義。vp=2RTMmol例1.20個質(zhì)點的速率如下：2個具有速率v0,3個具有速率2v0,5個具有速率3v0,4個具有速率4v0,3個具有速率5v0,2個具有速率6v0,1個具有速率7v0。試計算:(1)平均速率；(2)方均根速率；(3)最概然速率。NviΣ=iNv=v0++++++2v012v07v06v015v016v015v20=3.99v0=2v02+3(2v0)2+5(3v0)2+4(4v0)2+3(5v0)2+2(6v0)2+(7v0)220iv2NΣ=iNv2=vp3v0解：MH2=2×10-3kg/mol

MHg=0.20

kg/mol

TR3Mv2==v2=o23×

8.31×300

32×10-3

484m/s=v2=Hg3×

8.31×300

0.20193m/sMo2=32×10-3kg/mol

解：(1)=6.21×10-21JEk23==×1.38×10-23×300

kT23(2)平均平動動能=v2=H23×

8.31×300

2×10-3

1934m/s

例2.計算在300K溫度下，氫、氧和水銀蒸汽分子的方均根速率和平均平動動能。例3.設(shè)N個粒子的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)為：>0，NVvkd()=vdv>k為常量()Nd=v0>Vv(1)畫出分布函數(shù)圖；(2)用N和V定出常量K；(3)用V表示出算術(shù)平均速率和方均根速率。=ò0ò0VNdvNkvdk=NvkNdvvdVvO==13v2ò0ò0VNdNkvdv221V==ò0ò0VNdNkvdvv2V(3)k=Ndvvd(2)解：(1)分布函數(shù)Nf(v)如圖k=NV∴dNvN=f(v)dv§2.9氣體分子的平均自由程氣體分子自由程線度~10-8m一個分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均自由路程叫平均自由程一個分子單位時間里受到平均碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率Z單位時間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離v，平均碰撞Z次

Zv=凡是分子中心位于管內(nèi)的分子（例如B、C分子）都將與A分子進行碰撞。

一秒鐘內(nèi)分子將與分子中心位于管內(nèi)的所有分子進行碰撞，所以平均碰撞次數(shù)為：（n：分子數(shù)密度）π2z=vnd以A分子運動路徑（折線）為軸線，作一半徑為d，總長度為v

的圓管。D2dvdAA平均碰撞頻率ZBCEFG考慮到其它分子都在運動，經(jīng)過精確計算得到分子平均碰撞次數(shù)為：nd2z=π2vPn=kTdλπkTnP2=π2=122d22nnddz=v==vvππ122λ平均自由程對空氣分子

d~3.510-10mnd2z=π2v分子平均碰撞次數(shù)標準狀態(tài)下

Z~6.5109，