正方形的性質(zhì)與判定（第2課時） 【教材精講精研】 九年級數(shù)學上冊 （北師大版）

第一章特殊平行四邊形北師大版八年級數(shù)學上冊崇德尚禮篤學求真3.2正方形的性質(zhì)與判定學習&目標1．探索并證明正方形的判定，了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別；2．會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算.3.探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.（重點）4.會運用正方形的判定條件進行有關的論證和計算.（難點）正方形的定義有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。平行四邊形一組鄰邊相等一個角是直角正方形情境&導入正方形的對角線相等并且互相垂直平分.正方形的四個角都是直角，四條邊相等.正方形的定義情境&導入如圖，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個角，打開．怎樣剪才能剪出一個正方形？提示：剪口線與折痕成45°角即可。探索&交流滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結論，并與同伴交流．

議一議有一個角是直角有一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線垂直探索&交流活動1

準備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，折疊部分得到一個正方形，可量一量驗證驗證.正方形猜想

滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形一組鄰邊相等對角線互相垂直正方形活動2

把可以活動的菱形框架的一個角變?yōu)橹苯?，觀察這時菱形框架的形狀.量量看是不是正方形.正方形猜想

滿足怎樣條件的菱形是正方形？菱形一個角是直角對角線相等正方形探索&交流定理：有一組鄰邊相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流定理：對角線互相垂直的矩形是正方形.定理：有一個角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流定理：對角線相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，試證明，ABCD是正方形.證明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形對角線互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定義）.探索&交流例題&解析

例題欣賞?例1.已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求證：四邊形BECF是正方形.45°45°例題&解析證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.探索&交流

做一做如圖，任意畫一個四邊形，以四邊的中點為頂點組成一個新四邊形，這個新四邊形的形狀有什么特征？正方形的中點四邊形會是什么形狀？任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形.三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半．已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD各邊的中點.求證：四邊形EFGH為正方形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形PFQO為平行四邊形.探索&交流

議一議菱形的中點四邊形會是什么形狀？矩形的中點四邊形會是什么形狀？菱形的中點四邊形是矩形.你能試著證明嗎？矩形的中點四邊形是菱形.探索&交流已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD各邊的中點.求證：四邊形EFGH為矩形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點，∴EF∥AC，同理可證HG∥AC，EH∥BD，F(xiàn)G∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四邊形EFGH，PFQO為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的對角線互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四邊形EFGH是矩形（矩形的定義）探索&交流已知：如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是矩形ABCD各邊的中點.求證：四邊形EFGH為菱形.證明：連接AC，BD，∵E，F(xiàn)分別是AB和BC邊中點，∴EF∥AC且EF=AC，同理可證HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，F(xiàn)G∥BD且FG=BD.∴四邊形EFGH為平行四邊形.又∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的對角線相等），∴EF=EH∴四邊形EFGH是菱形（菱形的定義）例題&解析

例題欣賞?例2.在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?例題&解析∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,AN=BE=CF=DM,練習&鞏固1.下列命題正確的是（）A.四個角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對角線相等的平行四邊形是正方形D.對角線互相垂直的矩形是正方形練習&鞏固2.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是___________（只填寫序號）．②③或①④練習&鞏固3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC,對角線BD平分ABC,

P是BD上一點,過點P作PMAD,

PNCD,垂足分別為M、N.(1)