電磁場與電磁波第3章

1第3章靜態(tài)電磁場及其邊值問題的解2

本章內(nèi)容

3.1靜電場分析

3.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

3.3恒定磁場分析

3.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理

3.5鏡像法

3.6

分離變量法

靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關(guān)聯(lián)，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立

33.1靜電場分析

學(xué)習(xí)內(nèi)容

3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件

3.1.2電位函數(shù)

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容與部分電容

3.1.4靜電場的能量

3.1.5靜電力42.邊界條件微分形式：本構(gòu)關(guān)系：1.基本方程積分形式：或若分界面上不存在面電荷，即ρS＝0，則或3.1.1靜電場的基本方程和邊界條件5

在靜電平衡的情況下，導(dǎo)體內(nèi)部的電場為0，則導(dǎo)體表面的邊界條件為

或

導(dǎo)體表面的邊界條件6由即靜電場可以用一個標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，標(biāo)量函數(shù)φ稱為靜電場的標(biāo)量電位或簡稱電位，單位為V（伏特）。1.電位函數(shù)的定義3.1.2

電位函數(shù)72.電位的表達(dá)式對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：故得點電荷的電位：線電荷的電位：83.電位差兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進(jìn)行積分，得關(guān)于電位差的說明

P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；電位差也稱為電壓，可用U表示；電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關(guān)，與積分路徑無關(guān)。P、Q兩點間的電位差9

靜電位不惟一，可以相差一個常數(shù)，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值

選擇電位參考點的原則

應(yīng)使電位表達(dá)式有意義；應(yīng)使電位表達(dá)式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠(yuǎn)作電位參考點；同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點

為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即10在均勻介質(zhì)中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標(biāo)量泊松方程拉普拉斯方程

116.靜電位的邊界條件

設(shè)P1和P2是介質(zhì)分界面兩側(cè)緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當(dāng)兩點間距離⊿l→0時

若介質(zhì)分界面上無自由電荷，即導(dǎo)體靜電平衡后內(nèi)部電場為零，導(dǎo)體為等位體，所以表面上電位的邊界條件：媒質(zhì)2媒質(zhì)1由和常數(shù)，12

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解利用在球坐標(biāo)系中用二項式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q13

由球坐標(biāo)系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)電場強(qiáng)度等位線電場線電偶極子的場圖14

解選定均勻電場空間中的一點o為坐標(biāo)原點，而任意點P的位置矢量為r，則若選擇點o為電位參考點，即，則

在球坐標(biāo)系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱面坐標(biāo)系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場的電位分布。15

例3.1.3兩塊無限大接地導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導(dǎo)體平板之間的電位和電場。

解在兩塊無限大接地導(dǎo)體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板利用邊界條件，有

處，最后得

處，

處，所以由此解得17

電容是導(dǎo)體系統(tǒng)的一種基本屬性，是描述導(dǎo)體系統(tǒng)儲存電荷能力的物理量。

孤立導(dǎo)體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容

孤立導(dǎo)體的電容

兩個帶等量異號電荷（q）的導(dǎo)體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質(zhì)的特性參數(shù)有關(guān)，而與導(dǎo)體的帶電量和電位無關(guān)。

3.1.3導(dǎo)體系統(tǒng)的電容18(1)假定兩導(dǎo)體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計算兩導(dǎo)體間的電場強(qiáng)度E；計算雙導(dǎo)體電容的步驟：(4)求比值，即得出所求電容。(3)由 ，求出兩導(dǎo)體間的電位差；或：(1)假定兩導(dǎo)體間電壓U；

(3)根據(jù)計算導(dǎo)體表面的電量；(2)由 ，求出電場強(qiáng)度E；(4)求比值，即得出所求電容。19

例3.1.4如圖所示的平行雙線傳輸線，導(dǎo)線半徑為a，兩導(dǎo)線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解設(shè)兩導(dǎo)線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認(rèn)為電荷分別均勻分布在兩導(dǎo)線的表面上。應(yīng)用高斯定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點P的電場強(qiáng)度為兩導(dǎo)線間的電位差故單位長度的電容為（無限長直導(dǎo)線）20

例3.1.5同軸線內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為為b，內(nèi)外導(dǎo)體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位差

解設(shè)同軸線的內(nèi)、外導(dǎo)體單位長度帶電量分別為和，應(yīng)用高斯定理可得到內(nèi)外導(dǎo)體間任一點的電場強(qiáng)度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線21

解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為q，則由高斯定理可求得內(nèi)外導(dǎo)體間的電場同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時，

例3.1.6

同心球形電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。求此球形電容器的電容。孤立導(dǎo)體球的電容22

如果充電過程進(jìn)行得足夠緩慢，就不會有能量輻射，充電過程中外加電源所作的總功將全部轉(zhuǎn)換成電場能量，或者說電場能量就等于外加電源在此電場建立過程中所作的總功。

靜電場能量來源于建立電荷系統(tǒng)的過程中外源提供的能量

靜電場最基本的特征是對電荷有作用力，這表明靜電場具有能量。

任何形式的帶電系統(tǒng)，都要經(jīng)過從沒有電荷分布到某個最終電荷分布的建立(或充電)過程。在此過程中，外加電源必須克服電荷之間的相互作用力而作功。3.1.4靜電場的能量

231.靜電場的能量

設(shè)系統(tǒng)從零開始充電，最終帶電量為q、電位為。充電過程中某一時刻的電荷量為αq、電位為α。(0≤α≤1)

當(dāng)α增加為(α+dα)時，外電源做功為:α(qdα)。對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電量為q的帶電體具有的電場能量We，即

對于電荷體密度為ρ的體分布電荷，體積元dV中的電荷ρdV具有的電場能量為24故體分布電荷的電場能量為對于面分布電荷，電場能量為對于多導(dǎo)體組成的帶電系統(tǒng)，則有——

第i個導(dǎo)體所帶的電荷——

第i個導(dǎo)體的電位式中：252.電場能量密度

從場的觀點來看，靜電場的能量分布于電場所在的整個空間。

電場能量密度：

電場的總能量：積分區(qū)域為電場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有26

例3.1.7半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算

根據(jù)高斯定理求得電場強(qiáng)度故27

方法二：利用計算

先求出電位分布

故28作業(yè)：3.1、3.8293.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場分析

恒定電場與靜電場重要區(qū)別：（1）恒定電場可以存在導(dǎo)體內(nèi)部。（2）恒定電場中有電場能量的損耗,要維持導(dǎo)體中的恒定電流，就必須有外加電源來不斷補(bǔ)充被損耗的電場能量。

恒定電場和靜電場都是有源無旋場，具有相同的性質(zhì)。

由

可知，導(dǎo)體中若存在恒定電流，則必有維持該電流的電場，雖然導(dǎo)體中產(chǎn)生電場的電荷作定向運動，但導(dǎo)體中的電荷分布是一種不隨時間變化的恒定分布，這種恒定分布電荷產(chǎn)生的電場稱為恒定電場。303.2.1恒定電場的基本方程和邊界條件1.基本方程

恒定電場的基本方程為微分形式：積分形式：

線性各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系

恒定電場的電位函數(shù)由若媒質(zhì)是均勻的，則均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中沒有體分布電荷

恒定電場的基本場矢量是電流密度和電場強(qiáng)度312.恒定電場的邊界條件媒質(zhì)2媒質(zhì)1

場矢量的邊界條件即即場矢量的折射關(guān)系32

恒定電場同時存在于導(dǎo)體內(nèi)部和外部，在導(dǎo)體表面上的電場既有法向分量又有切向分量，電場并不垂直于導(dǎo)體表面，因而導(dǎo)體表面不是等位面；

說明：33343.2.2恒定電場與靜電場的比擬

如果兩種場，在一定條件下，場方程有相同的形式，邊界形狀相同，邊界條件等效，則其解也必有相同的形式，求解這兩種場分布必然是同一個數(shù)學(xué)問題。只需求出一種場的解，就可以用對應(yīng)的物理量作替換而得到另一種場的解。這種求解場的方法稱為比擬法。35恒定電場與靜電場的比擬基本方程靜電場（區(qū)域）本構(gòu)關(guān)系位函數(shù)邊界條件恒定電場（電源外）對應(yīng)物理量靜電場恒定電場36

工程上常在電容器兩極板之間，同軸電纜的芯線與外殼之間，填充不導(dǎo)電的材料作電絕緣。這些絕緣材料的電導(dǎo)率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于金屬材料的電導(dǎo)率，但畢竟不為零，因而當(dāng)在電極間加上電壓U時，必定會有微小的漏電流J存在。

漏電流與電壓之比為漏電導(dǎo)，即其倒數(shù)稱為絕緣電阻，即3.2.3漏電導(dǎo)37

計算電導(dǎo)的方法一：

計算電導(dǎo)的方法二：

計算電導(dǎo)的方法三：靜電比擬法：(1)假定兩電極間的電流為I；計算兩電極間的電流密度矢量J；由J=E得到E;

由，求出兩導(dǎo)體間的電位差；(5)求比值，即得出所求電導(dǎo)。(1)假定兩電極間的電位差為U；

(2)計算兩電極間的電位分布；

(3)由得到E;(4)由J=E

得到J;(5)由 ，求出兩導(dǎo)體間電流；

(6)求比值，即得出所求電導(dǎo)。38

例3.2.1

求同軸電纜的絕緣電阻。設(shè)內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ、介電常數(shù)為ε。解：1)直接用恒定電場的計算方法電導(dǎo)絕緣電阻則設(shè)由內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I。392)用靜電比擬法求解根據(jù)例3.1.27（P97）得到同軸線單位長度的電容為因此，同軸線單位長度的漏電導(dǎo)為則絕緣電阻為403.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件3.3.2

恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位3.3.3

電感3.3.4

恒定磁場的能量3.3.5

磁場力

3.3恒定磁場分析41微分形式:1.基本方程2.邊界條件本構(gòu)關(guān)系：或若分界面上不存在面電流，即JS＝0，則積分形式:或3.3.1恒定磁場的基本方程和邊界條件42

矢量磁位的定義

磁矢位的任意性與電位一樣，磁矢位也不是惟一確定的，它加上任意一個標(biāo)量的梯度以后，仍然表示同一個磁場，即由即恒定磁場可以用一個矢量函數(shù)的旋度來表示。

磁矢位的任意性是因為只規(guī)定了它的旋度，沒有規(guī)定其散度造成的。為了得到確定的A，可以對A的散度加以限制，在恒定磁場中通常規(guī)定，并稱為庫侖規(guī)范。1.恒定磁場的矢量磁位矢量磁位或稱磁矢位,單位是T?m(特斯拉?米)

3.3.2恒定磁場的矢量磁位和標(biāo)量磁位43

磁矢位的微分方程在無源區(qū)：矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程

磁矢位的表達(dá)式面電流體電流線電流

磁矢位的邊界條件

利用磁矢位計算磁通量：45

例

3.3.1求小圓環(huán)電流回路的遠(yuǎn)區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a，回路中的電流為I。

解如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關(guān)，計算xz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIP46對于遠(yuǎn)區(qū)，有r>>a

，所以于是得到由于在=0面上，所以上式可寫成47式中S=πa2是小圓環(huán)的面積。或

載流小圓環(huán)可看作為磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則482.恒定磁場的標(biāo)量磁位一般情況下，恒定磁場只能引入磁矢位來描述，但在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，則有即在無傳導(dǎo)電流（J＝0）的空間中，可以引入一個標(biāo)量位函數(shù)來描述磁場。

標(biāo)量磁位的引入標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位

磁標(biāo)位的微分方程(均勻線性各向同性介質(zhì))49

標(biāo)量磁位的邊界條件和50靜電位 磁標(biāo)位

磁標(biāo)位與靜電位的比較靜電位

磁標(biāo)位

m

51作業(yè)：3.12、3.17521.磁通與磁鏈

3.3.3電感

單匝線圈形成的回路的磁鏈定義為穿過該回路的磁通量

多匝線圈形成的導(dǎo)線回路的磁鏈定義為所有線圈的磁通總和

CI細(xì)回路

粗導(dǎo)線構(gòu)成的回路，磁鏈分為兩部分：一部分是粗導(dǎo)線包圍的、磁力線不穿過導(dǎo)體的外磁通量o

；另一部分是磁力線穿過導(dǎo)體、只有粗導(dǎo)線的一部分包圍的內(nèi)磁通量i。iCIo粗回路53

設(shè)回路C中的電流為I，所產(chǎn)生的磁場與回路C交鏈的磁鏈為，則磁鏈與回路C中的電流I有正比關(guān)系，其比值稱為回路C的自感系數(shù)，簡稱自感?！庾愿?.自感——內(nèi)自感；粗導(dǎo)體回路的自感：L=Li+Lo

自感只與回路的幾何形狀、尺寸以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，與電流無關(guān)。

自感的特點：54

對兩個彼此鄰近的閉合回路C1和回路C2

，當(dāng)回路C1中通過電流I1時，不僅與回路C1交鏈的磁鏈與I1成正比，而且與回路C2交鏈的磁鏈21也與I1成正比，其比例系數(shù)稱為回路C1對回路C2的互感系數(shù)，簡稱互感。3.互感同理，回路C2對回路C1

的互感為C1C2I1I2Ro55

互感只與回路的幾何形狀、尺寸、兩回路的相對位置以及周圍磁介質(zhì)有關(guān)，而與電流無關(guān)。

滿足互易關(guān)系，即M12=M21

互感的特點：564.紐曼公式

如圖所示的兩個回路C1和回路C2

，回路C1中的電流I1在回路C2上的任一點產(chǎn)生的矢量磁位回路C1中的電流I1產(chǎn)生的磁場與回路C2交鏈的磁鏈為C1C2I1I2Ro故得同理紐曼公式573.3.4恒定磁場的能量1.

磁場能量

電流回路在恒定磁場中受到磁場力的作用而運動，表明恒定磁場具有能量。

磁場能量是在建立電流的過程中，由電源供給的。當(dāng)電流從零開始增加時，回路中的感應(yīng)電動勢要阻止電流的增加，因而必須有外加電壓克服回路中的感應(yīng)電動勢。

假定建立并維持恒定電流時，沒有熱損耗,在恒定電流建立過程中，電流的變化足夠緩慢，沒有輻射損耗。在恒定磁場建立過程中，電源克服感應(yīng)電動勢作功所供給的能量，就全部轉(zhuǎn)化成磁場能量。58

設(shè)回路從零開始充電，最終的電流為I、交鏈的磁鏈為。在時刻t的電流為i=αI、磁鏈為ψ=α。(0≤α≤1)

根據(jù)能量守恒定律，此功也就是電流為I

的載流回路具有的磁場能量Wm，即對α從0到1積分，即得到外電源所做的總功為外加電壓應(yīng)為當(dāng)α增加為(α+dα)時，所做的功根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢:592.磁場能量密度

從場的觀點來看，磁場能量分布于磁場所在的整個空間。

磁場能量密度：

磁場的總能量：積分區(qū)域為場所在的整個空間

對于線性、各向同性介質(zhì)，則有60

例3.3.7同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導(dǎo)體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定律，得61三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為62同軸線單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感內(nèi)外導(dǎo)體間的外自感外導(dǎo)體的內(nèi)自感633.4靜態(tài)場的邊值問題及解的惟一性定理3.4.1邊值問題的類型 已知場域邊界面上的位函數(shù)值，即

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數(shù)的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

已知場域一部分邊界面上的位函數(shù)值，而另一部分邊界面上則已知位函數(shù)的法向?qū)?shù)值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）64

自然邊界條件（無界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件，如65例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：66

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。3.4.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據(jù)為求解結(jié)果的正確性提供了判據(jù)

惟一性定理的表述67

解：先求內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。設(shè)同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.3求同軸線單位長度的自感。設(shè)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應(yīng)的磁鏈為68因此內(nèi)導(dǎo)體中單位長度總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導(dǎo)體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為69

例3.3.4計算平行雙線傳輸線單位的長度的自感。設(shè)導(dǎo)線的半徑為a，兩導(dǎo)線的間距為D，且D>>a。導(dǎo)線及周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0。穿過兩導(dǎo)線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為

解設(shè)兩導(dǎo)線流過的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認(rèn)為導(dǎo)線中的電流是均勻分布的。應(yīng)用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導(dǎo)線之間的平面上任一點P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為PII70于是得到平行雙線傳輸線單位的長度的外自感兩根導(dǎo)線單位的長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位的長度的自感為71由圖中可知長直導(dǎo)線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解設(shè)長直導(dǎo)線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定律，得到

例3.3.5如圖所示，長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路共面，求它們之間的互感。72因此故長直導(dǎo)線與三角形導(dǎo)體回路的互感為73

例3.3.6如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且74

若d>>a1，則于是

一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時，可進(jìn)行近似計算。75

當(dāng)有電荷存在于導(dǎo)體或介質(zhì)表面附近時，導(dǎo)體和介質(zhì)表面會出現(xiàn)感應(yīng)電荷或極化電荷，而感應(yīng)電荷或極化電荷將影響場的分布。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問題的提出幾個實例接地導(dǎo)體板附近有一個點電荷，如圖所示。qq′非均勻感應(yīng)電荷等效電荷

3.5鏡像法76接地導(dǎo)體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導(dǎo)體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應(yīng)電荷q′等效電荷

結(jié)論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？772.鏡像法的原理

用位于場域邊界外虛設(shè)的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復(fù)雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質(zhì)空間變換成無限大單一均勻媒質(zhì)的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。

在導(dǎo)體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質(zhì)幾何結(jié)構(gòu)、特性不變的前提條件下，根據(jù)惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應(yīng)用了這一基本原理、面向多種典型結(jié)構(gòu)的工程電磁場問題所構(gòu)成的一種有效的解析求解法3.

鏡像法的理論基礎(chǔ)——解的惟一性定理78

像電荷的個數(shù)、位置及其電量大小——“三要素”；4.鏡像法應(yīng)用的關(guān)鍵點5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；

像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。791.點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結(jié)果是正確的。3.5.1接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷電位函數(shù)因z=0時，q有效區(qū)域q80上半空間(z≥0）的電位函數(shù)q

導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷密度為導(dǎo)體平面上的總感應(yīng)電荷為812.線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數(shù)原問題有效區(qū)域當(dāng)z=0時，823.點電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導(dǎo)體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設(shè)置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數(shù)qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d183

例3.5.1一個點電荷q與無限大導(dǎo)體平面距離為d，如果把它移至無窮遠(yuǎn)處，需要做多少功？。q'qx=∞0d-d

解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷。可以先求電荷q移至無窮遠(yuǎn)時電場力所做的功。由鏡像法，感應(yīng)電荷的電場可以用像電荷q'＝－q替代。當(dāng)電荷q移至x時，像電荷q'應(yīng)位于－x，則有843.5.2導(dǎo)體球面的鏡像1.點電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像

如圖所示，點電荷q位于半徑為a的接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRdqPaq'rR'Rdd'θ

問題：

方法：利用導(dǎo)體球面上電位為零確定

和q′。

令r＝a，由球面上電位為零，即＝0，得qPaq'aR'Rdd'此式應(yīng)在整個球面上都成立。＝086qPaq'aR'Rdd'條件：若像電荷的位置像電荷的電量87可見，感應(yīng)電荷的分布是不均勻的，導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷也與所設(shè)置的鏡像電荷相等。球外的電位函數(shù)為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為球面上的感應(yīng)電荷面密度為882.點電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像

先設(shè)想導(dǎo)體球是接地的，則球面上只有總電荷量為q'的感應(yīng)電荷分布，則

導(dǎo)體球不接地時的特點：

導(dǎo)體球面是電位不為零的等位面

球面上既有感應(yīng)負(fù)電荷分布也有感應(yīng)正電荷分布，但總的感應(yīng)電荷為零

采用疊加原理來確定鏡像電荷

點電荷q位于一個半徑為a的不接地導(dǎo)體球外，距球心為d。PqarRd89

然后斷開接地線，并將電荷－q'加于導(dǎo)體球上，從而使總電荷為零。為保持導(dǎo)體球面為等位面，所加的電荷－q'可用一個位于球心的鏡像電荷q"來替代，即球外任意點的電位為qPaq'rR'Rdd'q"90作業(yè)：3.23913.5.3導(dǎo)體圓柱面的鏡像問題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導(dǎo)體圓柱圖2線電荷與導(dǎo)體圓柱的鏡像特點：在導(dǎo)體圓柱面上有感應(yīng)電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內(nèi)部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。1.線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像92由于上式對任意的φ都成立，因此，將上式對φ求導(dǎo)，可以得到由于導(dǎo)體圓柱接地，所以當(dāng)時，電位應(yīng)為零，即

所以有

設(shè)鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產(chǎn)生的電位函數(shù)93導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)：由時，故導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷為導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。94952.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸圖1兩平行圓柱導(dǎo)體圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸特點：由于兩圓柱帶電導(dǎo)體的電場互相影響，使導(dǎo)體表面的電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。分析方法：將導(dǎo)體表面上的電荷用線密度分別為、且相距為2b的兩根無限長帶電細(xì)線來等效替代，如圖2所示。問題：如圖1所示，兩平行導(dǎo)體圓柱的半徑均為a，兩導(dǎo)體軸線間距為2h，單位長度分別帶電荷和。96圖2兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸

通常將帶電細(xì)線的所在的位置稱為圓柱導(dǎo)體的電軸，因而這種方法又稱為電軸法。由

利用線電荷與接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像確定b

。思考：能否用電軸法求解半徑不同的兩平行圓柱導(dǎo)體問題？973.5.4點電荷與無限大電介質(zhì)平面的鏡像

圖1點電荷與電介質(zhì)分界平面特點：在點電荷的電場作用下，電介質(zhì)產(chǎn)生極化，在介質(zhì)分界面上形成極化電荷分布。此時，空間中任一點的電場由點電荷與極化電荷共同產(chǎn)生。圖2介質(zhì)1的鏡像電荷問題：如圖1所示，介電常數(shù)分別為和的兩種不同電介質(zhì)的分界面是無限大平面，在電介質(zhì)1中有一個點電荷q，距分界平面為h。分析方法：計算電介質(zhì)1中的電位時，用位于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。98介質(zhì)1中的電位為

計算電介質(zhì)2中的電位時，用位于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，如圖3所示。介質(zhì)2中的電位為圖3介質(zhì)2的鏡像電荷99可得到說明：對位于無限大電介質(zhì)分界平面附近、且平行于分界面的無限長線電荷（單位長度帶），其鏡像電荷為利用電位滿足的邊界條件100圖1線電流與磁介質(zhì)分界平面圖2磁介質(zhì)1的鏡像線電流特點：在直線電流I產(chǎn)生的磁場作用下，磁介質(zhì)被磁化，在分界面上有磁化電流分布，空間中的磁場由線電流和磁化電流共同產(chǎn)生。問題：如圖1所示，磁導(dǎo)率分別為和的兩種均勻磁介質(zhì)的分界面是無限大平面，在磁介質(zhì)1中有一根無限長直線電流平行于分界平面，且與分界平面相距為h。分析方法：在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)，如圖2所示。3.5.5線電流與無限大磁介質(zhì)平面的鏡像

101

因為電流沿軸方向流動，所以矢量磁位只有軸向分量，則磁介質(zhì)1和磁介質(zhì)2中任一點的矢量磁位分別為圖3磁介質(zhì)2的鏡像線電流

在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導(dǎo)率為