條件異方差模型-9

1第六章條件異方差模型

EViews中的大多數(shù)統(tǒng)計(jì)工具都是用來(lái)建立隨機(jī)變量的條件均值模型。本章討論的重要工具具有與以往不同的目的——建立變量的條件方差或變量波動(dòng)性模型。我們想要建模并預(yù)測(cè)其變動(dòng)性通常有如下幾個(gè)原因:首先，我們可能要分析持有某項(xiàng)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)；其次，預(yù)測(cè)置信區(qū)間可能是時(shí)變性的，所以可以通過(guò)建立殘差方差模型得到更精確的區(qū)間；第三，如果誤差的異方差是能適當(dāng)控制的，我們就能得到更有效的估計(jì)。2

§6.1自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來(lái)建立條件方差模型并對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)的。

ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發(fā)展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。尤其在金融時(shí)間序列分析中。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時(shí)間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。但在時(shí)間序列數(shù)據(jù)中，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)異方差呢？會(huì)是怎樣出現(xiàn)的？

3

恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時(shí)間序列模型中的擾動(dòng)方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說(shuō)明在分析通貨膨脹模型時(shí)，大的及小的預(yù)測(cè)誤差會(huì)大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測(cè)誤差的方差取決于后續(xù)擾動(dòng)項(xiàng)的大小。

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從事于股票價(jià)格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時(shí)間序列預(yù)測(cè)的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對(duì)這些變量的預(yù)測(cè)能力隨時(shí)期的不同而有相當(dāng)大的變化。預(yù)測(cè)的誤差在某一時(shí)期里相對(duì)地小，而在某一時(shí)期里則相對(duì)地大，然后，在另一時(shí)期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場(chǎng)的波動(dòng)性易受謠言、政局變動(dòng)、政府貨幣與財(cái)政政策變化等等的影響。從而說(shuō)明預(yù)測(cè)誤差的方差中有某種相關(guān)性。為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是時(shí)刻

t的ut的方差(=t2

)依賴于時(shí)刻(t1)的擾動(dòng)項(xiàng)平方的大小，即依賴于

?t2-1

。

5

6.1.1ARCH模型

為了說(shuō)得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(6.1.1)

如果ut的均值為零，對(duì)yt取基于(t-1)時(shí)刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系：

(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估計(jì)值，所以式（6.1.1）也稱為均值方程。6

在這個(gè)模型中，變量yt的條件方差為

（6.1.3）其中：var(ytYt-1)表示基于(t-1)時(shí)刻的信息集合Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}的yt的條件方差，

假設(shè)在時(shí)刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動(dòng)項(xiàng)

ut的條件分布是：

~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0為均值，(0+1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。7

由于(6.1.7)中ut的方差依賴于前期的平方擾動(dòng)項(xiàng)，我們稱它為ARCH(1)過(guò)程：通常用極大似然估計(jì)得到參數(shù)0,1,2,,k,0,1的有效估計(jì)。

容易加以推廣，ARCH

(p)過(guò)程可以寫為：

(6.1.8)這時(shí)方差方程中的(p+1)個(gè)參數(shù)0,1,2,,p也要和回歸模型中的參數(shù)0,1,2,,k一樣，利用極大似然估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。8

如果擾動(dòng)項(xiàng)方差中沒有自相關(guān)，就會(huì)有

H0：這時(shí)

從而得到擾動(dòng)項(xiàng)方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過(guò)以下的回歸去檢驗(yàn)上述虛擬假設(shè)：其中，?t表示從原始回歸模型（6.1.1）估計(jì)得到的OLS殘差。9

在ARCH(p)過(guò)程中，由于ut是隨機(jī)的，ut2不可能為負(fù)，所以對(duì)于{ut}的所有實(shí)現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使ut2協(xié)方差平穩(wěn)，所以進(jìn)一步要求相應(yīng)的特征方程（6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果i（i=1,2,…,p）都非負(fù)，式（6.1.9）等價(jià)于1+2+…+p1。106.1.2ARCH的檢驗(yàn)

下面介紹檢驗(yàn)一個(gè)模型的殘差是否含有ARCH效應(yīng)的兩種方法：ARCHLM檢驗(yàn)和殘差平方相關(guān)圖檢驗(yàn)。

1.ARCHLM檢驗(yàn)

Engle在1982年提出檢驗(yàn)殘差序列中是否存在ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM檢驗(yàn)。自回歸條件異方差性的這個(gè)特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時(shí)間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標(biāo)準(zhǔn)的OLS估計(jì)無(wú)效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。11ARCHLM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由一個(gè)輔助檢驗(yàn)回歸計(jì)算。為檢驗(yàn)原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運(yùn)行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個(gè)對(duì)常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。這個(gè)檢驗(yàn)回歸有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：（1）F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個(gè)省略變量檢驗(yàn)；（2）TR2統(tǒng)計(jì)量是Engle’sLM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，它是觀測(cè)值個(gè)數(shù)T乘以回歸檢驗(yàn)的R2

；12

普通回歸方程的ARCH檢驗(yàn)都是在殘差檢驗(yàn)下拉列表中進(jìn)行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計(jì)的方程才有此項(xiàng)檢驗(yàn)。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustomTestWizard…圖6.4普通方程的ARCH檢驗(yàn)列表132.殘差平方相關(guān)圖

顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方?t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，計(jì)算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計(jì)量。殘差平方相關(guān)圖可以用來(lái)檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)應(yīng)為0，且Q統(tǒng)計(jì)量應(yīng)不顯著。可適用于LS，TSLS，非線性LS方程。在圖6.4中選擇ResidualsTests/CorrelogramSquaredResiduals項(xiàng)，它是對(duì)方程進(jìn)行殘差平方相關(guān)圖的檢驗(yàn)。單擊該命令，會(huì)彈出一個(gè)輸入計(jì)算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對(duì)話框，默認(rèn)的設(shè)定為36，單擊OK按鈕，得到檢驗(yàn)結(jié)果。

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例6.1滬市股票價(jià)格指數(shù)波動(dòng)的ARCH檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)股票價(jià)格指數(shù)的波動(dòng)是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價(jià)格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因?yàn)樯虾９善笔袌?chǎng)不僅開市早，市值高，對(duì)于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價(jià)格波動(dòng)具有一定代表性。在這個(gè)例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價(jià)格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計(jì)時(shí)，對(duì){sp}進(jìn)行自然對(duì)數(shù)處理，即將序列{ln(sp)}作為因變量進(jìn)行估計(jì)。15

由于股票價(jià)格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過(guò)程——隨機(jī)游動(dòng)（RandomWalk）模型描述，所以本例進(jìn)行估計(jì)的基本形式為：

(6.1.12)

首先利用最小二乘法，估計(jì)了一個(gè)普通的回歸方程，結(jié)果如下：(6.1.13)

(2.35)(951)

R2=0.997

16

可以看出，這個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，而且，擬合的程度也很好。但是需要檢驗(yàn)這個(gè)方程的誤差項(xiàng)是否存在條件異方差性，。17

圖6.1

股票價(jià)格指數(shù)方程回歸殘差

觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動(dòng)的“成群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)非常小，在其他一些較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)非常大，這說(shuō)明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。18

因此，對(duì)式(6.1.26)進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p=3時(shí)的ARCHLM檢驗(yàn)結(jié)果如下。此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。

可以計(jì)算式（6.1.26）的殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果說(shuō)明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。19

例6.2中國(guó)CPI模型的ARCH檢驗(yàn)本例建立CPI模型，因變量為中國(guó)的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長(zhǎng)率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對(duì)cpit和m1rt進(jìn)行了調(diào)整，結(jié)果如下：

t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)

R2=0.99對(duì)數(shù)似然值

=-167.79AIC=2.045SC=2.12

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這個(gè)方程的統(tǒng)計(jì)量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動(dòng)的“成群”現(xiàn)象：波動(dòng)在一些時(shí)期內(nèi)較小，在其他一些時(shí)期內(nèi)較大，這說(shuō)明誤差項(xiàng)可能具有條件異方差性。21

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。再進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了在滯后階數(shù)p=1時(shí)的ARCHLM檢驗(yàn)結(jié)果：

因此計(jì)算殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：

22

從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。因此利用ARCH(1)模型重新估計(jì)模型（6.1.14），結(jié)果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)

方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對(duì)數(shù)似然值

=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項(xiàng)的系數(shù)是統(tǒng)計(jì)顯著的，并且對(duì)數(shù)似然值有所增加，同時(shí)AIC和SC值都變小了，這說(shuō)明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。23

再對(duì)這個(gè)方程進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗(yàn)，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時(shí)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：此時(shí)的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認(rèn)為該殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式（6.1.15）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗(yàn)結(jié)果為：

自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個(gè)結(jié)果也說(shuō)明了殘差序列不再存在ARCH效應(yīng)。

24

6.1.3

GARCH模型

擾動(dòng)項(xiàng)ut的方差常常依賴于很多時(shí)刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。因此必須估計(jì)很多參數(shù)，而這一點(diǎn)很難精確的做到。但是如果我們能夠意識(shí)到方程(6.1.8)不過(guò)是t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個(gè)或兩個(gè)t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，簡(jiǎn)記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個(gè)不同的設(shè)定：一個(gè)是條件均值，另一個(gè)是條件方差。

25

在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：

(6.1.18)其中：xt是

(k+1)×1維外生變量向量，是(k+1)×1維系數(shù)向量。

(6.1.17)中給出的均值方程是一個(gè)帶有擾動(dòng)項(xiàng)的外生變量函數(shù)。由于t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測(cè)方差，所以它被稱作條件方差，式（6.1.18）也被稱作條件方差方程。26

(6.1.18)中給出的條件方差方程是下面三項(xiàng)的函數(shù)：

1．常數(shù)項(xiàng)（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的擾動(dòng)項(xiàng)平方的滯后來(lái)度量從前期得到的波動(dòng)性的信息：ut2-1（ARCH項(xiàng)）。

3．上一期的預(yù)測(cè)方差：

t2-1

（GARCH項(xiàng)）。

GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第一項(xiàng)）和階數(shù)為1的ARCH項(xiàng)（括號(hào)中的第二項(xiàng)）。一個(gè)普通的ARCH模型是GARCH模型的一個(gè)特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測(cè)方差t2-1的說(shuō)明。

27

在EViews中ARCH模型是在擾動(dòng)項(xiàng)是條件正態(tài)分布的假定下，通過(guò)極大似然函數(shù)方法估計(jì)的。例如，對(duì)于GARCH(1,1)，t

時(shí)期的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：(6.1.19)

其中(6.1.20)

這個(gè)說(shuō)明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因?yàn)榇砩袒蛸Q(mào)易商可以通過(guò)建立長(zhǎng)期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項(xiàng)）和在以前各期中觀測(cè)到的關(guān)于變動(dòng)性的信息（ARCH項(xiàng)）來(lái)預(yù)測(cè)本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會(huì)增加對(duì)下期方差的預(yù)期。這個(gè)模型還包括了經(jīng)?？梢栽谪?cái)務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動(dòng)組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進(jìn)一步的巨大變化。28

有兩個(gè)可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個(gè)模型：

1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動(dòng)項(xiàng)平方的加權(quán)平均：

（6.1.21）我們看到GARCH(1,1)方差說(shuō)明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動(dòng)項(xiàng)的加權(quán)條件方差。29

2．設(shè)vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到關(guān)于擾動(dòng)項(xiàng)平方的模型：

（6.1.22）因此，擾動(dòng)項(xiàng)平方服從一個(gè)異方差A(yù)RMA(1,1)過(guò)程。決定波動(dòng)沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個(gè)根非常接近1，所以沖擊會(huì)逐漸減弱。30

方差方程的回歸因子

方程(6.1.18)可以擴(kuò)展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（6.1.23）注意到從這個(gè)模型中得到的預(yù)測(cè)方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負(fù)的預(yù)測(cè)值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：31

高階GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過(guò)選擇大于1的p或q得到估計(jì)，記作GARCH(q,p)。其方差表示為：（6.1.24）

這里，q是GARCH項(xiàng)的階數(shù)，p是ARCH項(xiàng)的階數(shù)，p>0并且,

(L)和(L)是滯后算子多項(xiàng)式。

32

為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應(yīng)的ARCH(∞)模型（6.1.25）的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要(L)和(L)沒有相同的根并且(L)的根全部位于單位圓外，那么當(dāng)且僅當(dāng)0=0/(1-(L))，(L)=(L)/(1-(L))的所有系數(shù)都非負(fù)時(shí)，這個(gè)正數(shù)限定條件才會(huì)滿足。例如，對(duì)于GARCH(1,1)模型

（6.1.26）這些條件要求所有的3個(gè)參數(shù)都是非負(fù)數(shù)。336.1.4IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的參數(shù)和等于1，并且去掉常數(shù)項(xiàng)：（6.1.27）其中（6.1.28）這就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的單整GARCH模型（IntergratedGARCHModel，IGARCH）。346.1.5約束及回推

1．約束在估計(jì)一個(gè)GARCH模型時(shí)，有兩種方式對(duì)GARCH模型的參數(shù)進(jìn)行約束（restrictions）。一個(gè)選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參數(shù)之和限定為1。另一個(gè)就是方差目標(biāo)（variancetarget）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數(shù)項(xiàng)設(shè)定為GARCH模型的參數(shù)和無(wú)條件方差的方程：（6.1.29）這里的是殘差的無(wú)條件方差。352．回推在計(jì)算GARCH模型的回推初始方差時(shí)，首先用系數(shù)值來(lái)計(jì)算均值方程中的殘差，然后計(jì)算初始值的指數(shù)平滑算子（6.1.30）其中：?t

是來(lái)自均值方程的殘差，是無(wú)條件方差