（文） 第2講 集合 教案

第二講集合適用學科數(shù)學適用年級高三（文）適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120知識點集合的含義與表示集合間的基本關(guān)系集合間的基本運算教學目標(1)集合的含義與表示①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系②能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題(2)集合間的基本關(guān)系①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集②在具體情境中，了解全集與空集的含義(3)集合的基本運算①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集③能使用韋恩圖（Venn）表達集合的關(guān)系及運算教學重點集合是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，命題重點呈現(xiàn)三個方面：一是以函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集為背景考查集合之間的交、并、補集的基本運算和集合之間包含關(guān)系，這是歷年高考的熱點，難度一般為低檔；二是以新定義集合以及集合運算為背景考查元素與集合之間的關(guān)系教學難點難度一般為中檔或中偏高檔；三是集合與其它知識相交匯，常與函數(shù)、方程、不等式、平面向量、幾何概型、三角等知識相結(jié)合。教學過程一、知識講解考點/易錯點1集合有關(guān)概念1、集合的含義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。2、集合三要素：確定性、互異性、無序性。說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、常見集合：自然數(shù)集：N，正整數(shù)集合：N＊或N+，整數(shù)集合：Z，有理數(shù)集合：Q，實數(shù)集合：R，復數(shù)集合：C.4、集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.5、集合的表示方法（1）自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.（2）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.（3）描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.（4）圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.6、集合的分類（1）含有有限個元素的集合叫做有限集.（2）含有無限個元素的集合叫做無限集.（3）不含有任何元素的集合叫做空集().考點/易錯點2集合間的基本關(guān)系1、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱集合A是集合B的子集。記作.真子集：如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集.記作：AB.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作：.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2、子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集（或中的任一元素都屬于（1）（2）（3）若且，則（4）若且，則或真子集（或），且中至少有一元素不屬于（1）（為非空子集）（2）若且，則集合相等中的任一元素都屬于，中的任一元素都屬于（1）（2）3、已知集合有個元素，則它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有個非空真子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有個子集，個真子集.考點/易錯點3集合間的基本運算1、并集：一般地，由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集.記作：.2、交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集.記作：.3、全集、補集：4、交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3）并集或（1）（2）（3）補集（1）（2）二、例題精析【例題1】【題干】（2023·福建卷3）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A．2B．3C．4D．16【答案】C【解析】A∩B＝{1，3}，子集共有22＝4個，故選C.【例題2】【題干】集合,，若，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】∵,,∴∴,故選D.【例題3】【題干】設(shè)集合，若，則下列關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于中只能取到所有的奇數(shù)，而中18為偶數(shù)。則。【例題4】【題干】已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（Venn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．無窮多個【答案】B【解析】由得，則，有2個，選B.【例題5】【題干】設(shè)集合，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，所以，故選B.【例題6】【題干】設(shè)P、Q為兩個非空集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q＝________________.【答案】{1,2,3,4,6,7,8,11}【解析】P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．【例題7】【題干】(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值組成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值組成的集合．【答案】(1){0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}；(2){m|m≤3}．【解析】(1)P＝{－3,2}．當a＝0時，S＝，滿足S?P；當a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－eq\f(1,a),為滿足S?P可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合為{0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}．(2)當m＋1>2m－1，即m<2時，B＝，滿足B?A；若B≠，且滿足B?A，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.故m<2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．三、課堂運用【基礎(chǔ)】1．（2023·北京卷1）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，則A∩B＝（）A．{0}B．{－1，0}C．{0，1}D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故選B.2．（2023·安徽卷2）已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1，0，1}，則＝（）A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1，0，1}D．{0，1}【答案】A【解析】因為A＝{x|x>－1}，所以＝{x|x≤－1}，所以＝{－2，－1}．3．（2023·天津卷1）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，則A∩B＝（）A．(－∞，2]B．[1，2]C．[－2，2]D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．【鞏固】1．（2023·福州模擬3）設(shè)集合A＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))4x＋y＝6}，B＝{eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(（x，y）))3x＋2y＝7}，則A∩B＝（）A．{x＝1或y＝2}B．{1，2}C．{(1，2)}D．(1，2)【答案】C【解析】解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋y＝6，,3x＋2y＝7，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))故得到一個公共點，則交集為單元素點集，故選C.2．（2023·惠州三調(diào)1）已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B?A，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為（）A．{－1}B．{1}C．{－1，1}D．{－1，0，1}【答案】D【解析】因為B?A，所以考慮B≠即a≠0時B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,a)))))，因此有－eq\f(1,a)∈A，所以a＝±1.特殊地，B＝即a＝0時滿足條件，所以實數(shù)a的所有可能取值的集合是{－1，0，1}．3．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝_______.【答案】1【解析】∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.4．設(shè)全集U是實數(shù)集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|eq\f(2,x－1)≥1}，則如圖中陰影部分所表示的集合是________．【答案】{x|1<x≤2}【解析】題圖中陰影部分可表示為(?UM)∩N，集合M為{x|x>2或x<－2}，集合N為{x|1<x≤3}，由集合的運算，知(?UM)∩N＝{x|1<x≤2}．【拔高】1．（2023·廣州模擬5）已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}與B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}，若A?B，則a的取值范圍是________．【答案】[3，＋∞)【解析】集合A＝{x|1≤x≤4}，由A?B得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2a＋a＋2≤0，,42－2×4a＋a＋2≤0，))解得a≥3.2．已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－eq\f(1,2)<x≤2}．若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】－eq\f(1,2)<a≤2.【解析】當a＝0時，顯然B?A；當a<0時，若B?A，如圖，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)≤－\f(1,2)，,－\f(1,a)>2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－8，,a>－\f(1,2).))∴－eq\f(1,2)<a<0；當a>0時，如圖，若B?A，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)≤－\f(1,2)，,\f(4,a)≥2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，,a≤2.))∴0<a≤2.綜上知，當B?A時，－eq\f(1,2)<a≤2.3．已知集合A=，B=，若，求實數(shù)m的取值范圍?！敬鸢浮俊窘馕觥坎浑y求出A=，由，又，①若，即，則②若，即，，故由①②知：m的取值范圍是課程小結(jié)1．注意集合中元素的性質(zhì)——互異性的應(yīng)用，解答時注意檢驗．2．注意描述法給出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．注意的特殊性．在利用A?B解題時，應(yīng)對A是否為進行討論．4．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．在進行集合運算時要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖表示，元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，同時注意端點的取舍．5．注意補集思想的應(yīng)用．在解決A∩B≠時，可以利用補集思想，先研究A∩B＝.的情況，然后取補集.6．在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避免出錯的一個有效手段即是合理運用數(shù)軸幫助分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進行討論，分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答．課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1．（2023·四川卷1）設(shè)集合A＝{1，2，3}，集合B＝{－2，2}，則A∩B＝（）A．B．{2}C．{－2，2}D．{－2，1，2，3}【答案】B【解析】集合A與B中公共元素只有2.2．（2023·廣東卷1）設(shè)集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，則S∩T＝（）A．{0}B．{0，2}C．{－2，0}D．{－2，0，2}【答案】A【解析】S＝{－2，0}，T＝{0，2}，S∩T＝{0}，故選A.3．（2023·新課標全國卷Ⅰ1）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，則A∩B＝（）A．{1，4}B．{2，3}C．{9，16}D．{1，2}【答案】A【解析】集合B＝{1，4，9，16}，所以A∩B＝{1，4}．【鞏固】1．（2023·江蘇卷4）集合{－1，0，1}共有________個子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3個元素，故子集的個數(shù)為8.2．（2023·陜西卷1）設(shè)全集為R，函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x)的定義域為M，則?RM為（）A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)【答案】B【解析】M＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，故?RM＝(1，＋∞)．3．設(shè)集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝，則實數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】a≤0或a≥6【解析】由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由圖可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.4．已知集合A＝{x|eq\f(x－5,x＋1)≤0}，B＝{x|x2－2x－m<0}(1)當m＝3時，求A∩(?RB)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求實數(shù)m的值．【答案】(1)A∩(?RB)＝{x|3≤x≤5}；(2)8【解析】由eq\f(x－5,x＋1)≤0，所以－1<x≤5，所以A＝{x|－1<x≤5}