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2023-2023第二學(xué)期彈性力學(xué)考試答案及評分標(biāo)準(zhǔn)概念問答題以應(yīng)力作未知量,應(yīng)滿足什么方程及什么邊界條件?答:以應(yīng)力作為未知量應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。(5分)2、平面問題的未知量有哪些?方程有哪些?答:平面問題有x、y、xy、x、y、xy、u、v八個,方程有兩個平衡方程,三個幾何方程,三個物理方程。(5分)3、已知,,及,,,試分別在圖中所示單元體畫出應(yīng)力狀態(tài)圖。(2分)(3分)4、簡述圣維南原理。答:如果把物體的一小部分邊界上的面力,變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同,對同一點(diǎn)的主矩也相同),那么,近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變,但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計。(5分)5、簡述應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義。答:⑴形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體→位移連續(xù)→幾何方程→形變協(xié)調(diào)條件。(2分)⑵形變協(xié)調(diào)條件是與形變對應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)→對應(yīng)的位移存在→位移必然連續(xù);形變不協(xié)調(diào)→對應(yīng)的位移不存在→不是物體實際存在的形變→微分體變形后不保持連續(xù)。(3分)6、剛體位移相應(yīng)于什么應(yīng)變狀態(tài)。答:剛體位移相應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài),對平面問題為x=y=xy=0(5分)7、簡述最小勢能原理,該原理等價于彈性力學(xué)的哪些基本方程?答:由位移變分方程可得或其中為物體得總勢能(形變勢能和外力勢能在之和),稱為最小勢能原理,它表明物體處于平衡位置時,總勢能的一階變分為零??梢宰C明:在線彈性體中,,即在所有幾何可能的位移中,實際的位移使總勢能取最小值。最小勢能原理等價于平衡微分方程和靜力邊界條件。(5分)二、已知下述應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時產(chǎn)生的,試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系(5分)答:應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件,即(2分)由題中給出的應(yīng)變可得:,,則由相容條件可得:上式對任意x,y均成立,則有:(3分)三、試寫出圖中所示各邊的精確邊界條件,圖中s、q均為均勻分布荷載,AF為固定邊界。(15分)解:AF邊:u=0,v=0(2分)AB邊:y=0,xy=0(2分)EF邊:y=0,xy=0(2分)BC邊:(4分),CD邊:(2分)DE邊:(3分),四、對于圖中所示結(jié)構(gòu),l遠(yuǎn)大于h,已知M是集中彎矩,q為均勻分布荷載,試證明它是圣維南條件下的解。(15)解:驗證相容方程:,這里顯然滿足。(1分)應(yīng)力分量:(3分)邊界條件左側(cè),成立(2分)右側(cè):,成立成立(2分)頂部,積分后為偶數(shù),故為0(2分),成立(2分),成立(3分)五、試按逆解法推導(dǎo)軸對稱問題的應(yīng)力解和位移解。(15分)解:應(yīng)力數(shù)值軸對稱—僅為的函數(shù),應(yīng)力方向軸對稱—相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù),應(yīng)力分量:(a)(3分)相容方程其中:相容方程成為常微分方程,積分四次得Φ的通解,(3分)(2)應(yīng)力通解:將式(c)代入式(a),(3分)(3)應(yīng)變通解:將應(yīng)力(d)代入物理方程,得對應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變也為軸對稱。(4)求對應(yīng)的位移:將應(yīng)變代入幾何方程,對應(yīng)第一、二式分別積分,將代入第三式,分開變量,兩邊均應(yīng)等于同一常量F,(3分)即得兩個常微分方程,代入,得軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的位移通解,(3分)其中I,K—為x、y向的剛體平移,H—為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁,其跨度為l,抗彎剛度EI為常數(shù),彈簧系數(shù)為k,承受分布荷載q(x)的作用(如圖所示)。試用位移變分方程(或最小勢能原理)導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件(15分)解:用位移變分方程推導(dǎo)梁內(nèi)總應(yīng)變能的改變?yōu)椋?分)外力總虛功為(1分)由位移變分方程得(a)(1分)對上式左端運(yùn)用分部積分得代入(a)式,經(jīng)整理得(b)(3分)由于變分的任意性,式(b)成立的條件為(c)(d)(e)(3分)式(c)就是以撓度v表示的平衡微分方程。下面討論邊界條件。由于梁的左端為固定端,因此有,(f)(2分)梁的右端為彈性支撐,則有,
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