2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點直線平面之間的位置關(guān)系3.3直線與平面垂直的性質(zhì)1作業(yè)含解析新人教版必修220220226145

PAGEPAGE8直線與平面垂直的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定[答案]C2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線l⊥平面A1CA．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B與l異面 D．B1B與l相交[答案]B[解析]因為B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，則l∥B3．(2013·浙江高考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．()A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥βC．若m∥n，m⊥α，則n⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β[答案]C4.如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PA≠PC[答案]C5．(2015·杭州高二檢測)如下圖，設(shè)平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，這個條件不可能是下面四個選項中的()A．AC⊥βB．AC⊥EFC．AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上D．AC與α、β所成的角相等[答案]D6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動，并且總是保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是()A．線段B1B．線段BC1C．BB1中點與CC1中點連成的線段D．BC中點與B1C1[答案]A[解析]∵DD1⊥平面ABCD，∴D1D⊥AC，又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C又∵B1C∴BD1⊥平面AB1C而AP⊥BD1，∴AP?平面AB1C又P∈平面BB1C1C，∴P點軌跡為平面AB1C與平面BB二、填空題7．線段AB在平面α的同側(cè)，A、B到α的距離分別為3和5，則AB的中點到α的距離為________.[答案]4[解析]如圖，設(shè)AB的中點為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.8．AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的動點(點C不與A，B重合)，過動點C的直線VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分別是VA，VC的中點，則下列結(jié)論中正確的是________(填寫正確結(jié)論的序號)．(1)直線DE∥平面ABC；(2)直線DE⊥平面VBC；(3)DE⊥VB；(4)DE⊥AB．[答案](1)(2)(3)三、解答題9．(2013·陜西)如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).證明：A1C⊥平面BB1D1D．[分析]先把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直，再通過計算得出另一組線線垂直，最后可以得到線面垂直．[證明]∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C又OA1是AC的中垂線，∴A1A＝A1C＝eq\r(2)，且AC＝2，∴AC2＝AAeq\o\al(2,1)＋A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D10．如右圖，已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN⊥AB；(2)若PA＝AD，求證：MN⊥平面PCD．[證明](1)取CD的中點E，連接EM、EN，則CD⊥EM，且EN∥PD．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又AD⊥DC，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD，從而CD⊥EN.又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.因此，MN⊥CD，而CD∥AB，故MN⊥AB．(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，取PD的中點K，連接AK，KN，則KN綊eq\f(1,2)DC綊AM，且AK⊥PD．∴四邊形AMNK為平行四邊形，從而MN∥AK.因此MN⊥PD．由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD．能力提升一、選擇題1．(2015·深圳高一檢測)直線l垂直于梯形ABCD的兩腰AB和CD，直線m垂直于AD和BC，則l與m的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．不確定[答案]D[解析]∵AD∥BC，∴梯形ABCD確定一個平面α.∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．∴l(xiāng)⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，則m⊥α或m∥α或m?α或m與α相交，則l∥m或l與m異面或l與m相交．2．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，必存在直線與m垂直D．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直[答案]C3．下列命題正確的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))?b⊥α；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))?b∥α；④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))?b⊥α.A．①② B．①②③C．②③④ D．①②④[答案]A[解析]由性質(zhì)定理可得(1)(2)正確．4．(2015·河北衡水中學(xué)六模)如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為H，則以下命題中，錯誤的命題是()A．點H是△A1BD的垂心 B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延長線經(jīng)過點C1 D．直線AH和BB1所成角為45°[答案]D[解析]A中，△A1BD為等邊三角形，∴四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各頂點的距離相等，∴A正確；易知CD1∥BA1，CB1∥DA1，又CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正確；連接AC1，則AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，又BA1∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三點共線，∴C正確，利用排除法選D．二、填空題5．三棱錐P－ABC中，O是P在底面內(nèi)的射影．①若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的________心；②若P到△ABC三條邊的距離相等，則O是△ABC的________心；③若PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，則O是△ABC的________心．[答案]①外②內(nèi)③外6．△ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2cm、3cm、4cm，且它們在α的同側(cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為________.[答案]3cm[解析]如圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連接CG并延長交AB于中點E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝eq\f(1,2)(A′A＋B′B)＝eq\f(5,2)，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.三、解答題7．(2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC求證：(1)DE∥平面AA1C(2)BC1⊥AB1.[答案](1)詳見解析；(2)詳見解析．[分析](1)由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面BB1C1C為平面四邊形，因此點E為B1C的中點，從而由三角形中位線性質(zhì)得DE∥AC，再由線面平行判定定理得DE(2)因為直三棱柱ABC－A1B1C1中BC＝CC1，所以側(cè)面BB1C1C為正方形，因此BC1⊥B1C，又AC⊥BC，AC⊥CC1(可由直三棱柱推導(dǎo))，因此由線面垂直判定定理得AC⊥平面BB1C1C，從而AC⊥BC1，再由線面垂直判定定理得BC1⊥[解析](1)由題意知，E為B1C的中點，又D為AB1的中點，因此DE∥AC．又因為DE?平面AA1C1C，AC?所以DE∥平面AA1C(2)因為棱柱ABC－A1B1C1所以CC1⊥平面ABC．因為AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.又因為AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1，又因為BC1?平面BCC1B1，所以B1C⊥因為BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C因為AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥又因為AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB18．(2015·浙江模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°.G為線段PC上的點．(1)證明：BD⊥平面APC；(2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成角的正切值；(3)若G滿足PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．[解析](1)證明：設(shè)點O為AC，BD的交點．由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分線段AC．所以O(shè)為AC的中點，BD⊥AC．又因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD．又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面APC．(2)連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面PAC所成的角．由題意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，因為AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，所以∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝60°，所以AO＝OC＝AB·sin60°＝eq\r(3).在Rt△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝2.在Rt△OGD中，tan∠OGD＝eq\f