2021-2022年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程1.2兩條直線平行與垂直的判定2作業(yè)含解析新人教版必修220220226161

PAGEPAGE6兩條直線平行與垂直的判定一、選擇題1．下列命題①如果兩條不重合的直線斜率相等，則它們平行；②如果兩直線平行，則它們的斜率相等；③如果兩直線的斜率之積為－1，則它們垂直；④如果兩直線垂直，則它們的斜率之積為－1.其中正確的為()A．①②③④ B．①③C．②④ D．以上全錯[答案]B[解析]當(dāng)兩直線l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合時，l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1，故①③正確；當(dāng)兩直線都與x軸垂直時，其斜率不存在，但它們也平行，故②錯；當(dāng)兩直線中一條直線與x軸平行(或重合)，另一條直線與x軸垂直時，它們垂直，但一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在，故④錯．2．滿足下列條件的直線l1與l2，其中l(wèi)1∥l2的是()①l1的斜率為2，l2過點(diǎn)A(1,2)，B(4,8)②l1經(jīng)過點(diǎn)P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x軸，但不經(jīng)過P點(diǎn)；③l1經(jīng)過點(diǎn)M(－1,0)，N(－5，－2)，l2經(jīng)過點(diǎn)R(－4，3)，S(0,5)．A．①② B．②③C．①③ D．①②③[答案]B3．已知直線l1和l2互相垂直且都過點(diǎn)A(1,1)，若l1過原點(diǎn)O(0,0)，則l2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．(2,0) B．(0,2)C．(0,1) D．(1,0)[答案]B[解析]設(shè)l2與y軸交點(diǎn)為B(0，b)，∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.∴kOAkAB＝－1.∴eq\f(1－0,1－0)×eq\f(b－1,0－1)＝－1，解得b＝2，即l2與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2)．4．已知直線l1經(jīng)過兩點(diǎn)(－1，－2)，(－1,4)，直線l2經(jīng)過兩點(diǎn)(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，則y＝()A．2 B．－2C．4 D．1[答案]D[解析]∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故選D．5．直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點(diǎn)(－1,1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)[答案]D[解析]設(shè)P(0，y)，∵l1∥l2，∴eq\f(y－1,0＋1)＝2，∴y＝3，故選D．6．已知兩點(diǎn)A(2,0)、B(3,4)，直線l過點(diǎn)B，且交y軸于點(diǎn)C(0，y)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且O、A、B、C四點(diǎn)共圓，那么y的值是()A．19 B．eq\f(19,4)C．5 D．4[答案]B[解析]由于A、B、C、O四點(diǎn)共圓，所以AB⊥BC，∴eq\f(4－0,3－2)·eq\f(4－y,3－0)＝－1，∴y＝eq\f(19,4).故選B．二、填空題7．經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)和點(diǎn)Q(3，a)的直線與傾斜角是45°的直線平行，則a＝_________.[答案]4[解析]由題意，得tan45°＝eq\f(a＋1,3＋2)，解得a＝4.8．已知△ABC的三個頂點(diǎn)分別是A(2,2)，B(0,1)，C(4,3)，點(diǎn)D(m,1)在邊BC的高所在的直線上，則實(shí)數(shù)m＝_________.[答案]eq\f(5,2)[解析]由題意得AD⊥BC，則有kADkBC＝－1，所以有eq\f(1－2,m－2)·eq\f(3－1,4－0)＝－1，解得m＝eq\f(5,2).三、解答題9．已知在?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)試判定?ABCD是否為菱形？[解析](1)設(shè)D(a，b)，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴kAB＝kCD，kAD＝kBC，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3),\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝6))，∴D(－1,6)．(2)∵kAC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，∴kAC·kBD＝－1.∴AC⊥BD．∴?ABCD為菱形．10．△ABC的頂點(diǎn)A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．[解析](1)若∠A＝90°，則AB⊥AC，kAB·kAC＝－1，kAB＝eq\f(1＋1,1－5)＝－eq\f(1,2)，kAC＝eq\f(m＋1,2－5)＝－eq\f(m＋1,3).∴－eq\f(1,2)×(－eq\f(m＋1,3))＝－1，∴m＝－7.(2)若∠B＝90°，則BA⊥BC，kBA·kBC＝－1，kBC＝eq\f(m－1,2－1)＝m－1，kBA＝－eq\f(1,2)，∴(m－1)×(－eq\f(1,2))＝1，∴m＝3.(3)若∠C＝90°，則CA⊥CB，kCA·kCB＝－1，kCA＝eq\f(m＋1,2－5)＝－eq\f(m＋1,3)，kCB＝eq\f(m－1,2－1)＝m－1，kCA·kCB＝－1，∴(－eq\f(m＋1,3))×(m－1)＝－1，∴m2＝4，∴m＝±2.綜上所述，m＝－2,2，－7,3.能力提升一、選擇題1．下列各對直線不互相垂直的是()A．l1的傾斜角為120°，l2過點(diǎn)P(1,0)，Q(4，eq\r(3))B．l1的斜率為－eq\f(2,3)，l2過點(diǎn)A(1,1)、B(0，－eq\f(1,2))C．l1的傾斜角為30°，l2過點(diǎn)P(3，eq\r(3))、Q(4,2eq\r(3))D．l1過點(diǎn)M(1,0)、N(4，－5)、l2過點(diǎn)A(－6,0)、S(－1,3)[答案]C[解析]A選項(xiàng)中，k1＝tan120°＝－eq\r(3)，k2＝eq\f(\r(3),3)，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；B選項(xiàng)中，k1＝－eq\f(2,3)，k2＝eq\f(3,2)，k1·k2＝－1，故l1⊥l2；C選項(xiàng)中，k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，k2＝eq\r(3)，k1·k2≠－1，故l1與l2不垂直；D選項(xiàng)中，k1＝－eq\f(5,3)，故k2＝eq\f(3,5)，k1·k2＝－1，故l1⊥l2.2．若直線l1、l2的傾斜角分別為α1、α2，且l1⊥l2，則()A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°C．α1＋α2＝180° D．|α1－α2|＝90°[答案]D[解析]如圖，如圖可知|α1－α2|＝90°.3．已知，過A(1,1)，B(1，－3)兩點(diǎn)的直線與過C(－3，m)，D(n,2)兩點(diǎn)的直線互相垂直，則點(diǎn)(m，n)有()A．1個 B．2個C．3個 D．無數(shù)個[答案]D[解析]∵由條件知過A(1,1)，B(1，－3)兩點(diǎn)的直線的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即eq\f(2－m,n＋3)＝0，得m＝2，n≠－3，∴點(diǎn)(m，n)有無數(shù)個．4．(2013·遼寧)已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB為直角三角形，則必有()A．b＝a3 B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)(b－a3－eq\f(1,a))＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－eq\f(1,a)|＝0[答案]C[分析]△OAB為直角三角形，沒有指明哪個角為直角，所以要對A，B，O角分別為直角進(jìn)行討論，利用斜率的定義，兩條直線相互垂直的條件找出參數(shù)，a，b的關(guān)系．[解析]顯然角O不能為直角(否則得a＝0，不能組成三角形)．若A為直角，則根據(jù)A，B縱坐標(biāo)相等，所以b－a3＝0.若b為直角，則利用kOBkAB＝－1，得b－a3－eq\f(1,a)＝0.二、填空題5．直線l過點(diǎn)A(0,1)和B(－2,3)，直線l繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得直線l1，那么l1的斜率是_______；直線l繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)15°得直線l2，則l2的斜率是_______.[答案]1－eq\f(\r(3),3)[解析]∵kAB＝－1，∴直線l的傾斜角α＝135°.(1)∵l1與l垂直，∴kl1＝1.(2)∵∠ABC＝15°，∠CDB＝135°，∴∠β＝135°＋15°＝150°，∴kl2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－eq\f(\r(3),3).6．直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－3k－b＝0的兩根，若l1⊥l2，則b＝_________；若l1∥l2，則b＝_________.[答案]2－eq\f(9,8)[解析]當(dāng)l1⊥l2時，k1k2＝－1，∴－eq\f(b,2)＝－1.∴b＝2.當(dāng)l1∥l2時，k1＝k2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b＝0.∴b＝－eq\f(9,8).三、解答題7．直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(m,1)，B(－3,4)，直線l2經(jīng)過點(diǎn)C(1，m)，D(－1，m＋1)，當(dāng)l1∥l2或l1⊥l2時，分別求實(shí)數(shù)m的值．[解析]當(dāng)l1∥l2時，由于直線l2的斜率存在，則直線l1的斜率也存在，則kAB＝kCD，即eq\f(4－1,－3－m)＝eq\f(m＋1－m,－1－1)，解得m＝3；當(dāng)l1⊥l2時，由于直線l2的斜率存在且不為0，則直線l1的斜率也存在，則kABkCD＝－1，即eq\f(4－1,－3－m)·eq\f(m＋1－m,－1－1)＝－1，解得m＝－eq\f(9,2).綜上，當(dāng)l1∥l2時，m的值為3；當(dāng)l1⊥l2時，m的值為－eq\f(9,2).8．已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．[分析]分類討論直角梯形ABCD的腰和底，利用直線平行和垂直的斜率關(guān)系解決．[解析](1)如下圖，當(dāng)∠A＝∠D＝90°時，∵四邊形ABCD為直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB．∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1.(2)如下圖，當(dāng)∠A＝∠B＝