初中八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培優(yōu)講義全套專題29幾何變換精品

專題29幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形F變換成另一個(gè)幾何圖形F的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)是常見(jiàn)的合同變換.平移變換如圖1，如果把圖形F上的各點(diǎn)都按一定方向移動(dòng)一定距離得到圖形F2后，則由勺到F2的變換叫平移變換.平移變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等且平行，對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.對(duì)稱變換如圖2,將平面圖形F變換到與它成軸對(duì)稱的圖形F，這樣的幾何變換就叫做關(guān)于直線/（對(duì)稱軸）1 2的對(duì)稱變換.對(duì)稱變換前后的對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，其對(duì)稱軸是連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)線段的垂直平分線.旋轉(zhuǎn)變換如圖3,將平面圖形勺繞這一平面內(nèi)一定點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角a，得到圖形F2，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，a叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角例題與求解【例1】如圖，NAO氏450,角內(nèi)有點(diǎn)P,PO=10，在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,R（均不同于0）,則△PQR的周長(zhǎng)的最小值為. （黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：作P點(diǎn)關(guān)于0A,0B的對(duì)稱點(diǎn)，確定Q,R的位置，化折線為直線，求^PQR的最小值.

【例2】如圖，P是等邊^(qū)ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，NAPB,NBPC,NCPA的大小之比是5:6:7，則以PA,PB,PC為邊的三角形的三個(gè)角的大小之比（從小到大）是（）A.2:3:4 B,3:4:5C.4:5:6 D.不能確定（全國(guó)通訊賽試題）解題思路：解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB,^PBC，^PCA中的任個(gè)，繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.【例3】如圖，在^ABC中,AD^BC于D，NB=2NC，求證:AB+BD=CD.（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法證明，實(shí)質(zhì)都利用AD翻折造全等.【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB〃DE，BC〃FE，CD〃AF，對(duì)邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CA0，求證:

該六邊形的各角都相等.該六邊形的各角都相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)法能將復(fù)雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CA0，用一個(gè)基本圖形表示，題設(shè)條件有平行條件，考慮實(shí)施平移變換.【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC,ZACB=900，/MCN=45。（1）如圖1,當(dāng)M、N在AB上時(shí)，求證：MN2=AM2+BN2（2）如圖2,將NMCN繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長(zhǎng)線時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（天津市中考試題）圖1圖2圖1圖2解題思路：MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將4ACM沿直線CM對(duì)折，得△DCM連DN,只需證DN=BN,NMDN=90。；或?qū)ACM（或^BCM）旋轉(zhuǎn).【例6】如圖，NDAC=12。，/DBC=240，/CAB=360，/ABD:480,求/DCA的度數(shù).

（日本算術(shù)奧林匹克試題）解題思路：已知角的度數(shù)都是12的倍數(shù)，360+240=600，這使我們想到構(gòu)作正三角形.能力訓(xùn)練.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將4ABC向右平移3個(gè)單位后得到△AB'。'，則/BAA的度數(shù)是（泰安市中考試題）（第1題）A（第3（第1題）A（第3題）.如圖，P是等邊4ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=6,PB=8,PC=10,則NAPB=.4 k? 4 9.如圖，直線J=x與雙曲線J=（k>0）交于點(diǎn)A,將直線J=x向右平移三個(gè)單位后，與雙曲13 2x 13 2

（武漢市中考試題）k AOn（武漢市中考試題）線y廣-交于點(diǎn)民與，軸交于點(diǎn)c.若前二2，則k= .如圖，^ABC中，NBAC=450,AD±BC,DB=3,DC=2,則4ABC的面積是,.如圖，P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若PA:PB:PC=1:2:3，則NAPB的度數(shù)是（）.A.1200 B.135。 C.145。 D.1500（第5題）（第6（第5題）（第6題）.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,把邊BA、CD分別繞點(diǎn)B、C同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600,得1四邊形A'BCD'，下列結(jié)論：①四邊形A'BCD'為菱形；②S=S；③線段OD'的長(zhǎng)四邊形A'BCD' 2正方形ABCDTOC\o"1-5"\h\z為％a-1.其中正確的結(jié)論有（ ）.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè).如圖，A,B兩個(gè)電話機(jī)離電話線/的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點(diǎn)分別向A,B連電話線，最短為（ ）.A.11米 B.10米 C.9米 D.8米.如圖，在4ABC中，NBAC=1200,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若記x=PA+PB+PC,y=AB+AC/（（ ）.A.x<y B.x=y C.x>y D.x與y的大小關(guān)系不確定CDA第CDA第7題圖第8題圖.如圖，已知D是4ABC中BC邊的中點(diǎn)，過(guò)D作DE±DF,分別交AB于E,交AC于F,求證：BE+CF>EF.（天津市競(jìng)賽試題）

.如圖，4ABC,△ABC其各邊交成六邊形DEFGHK,且EF〃KH,GH#DE,FG〃KD,KH—EF=FG—KD=DE—GH>0,求證：4慶8^^A'BC均為為正三角形.（“縉云杯”邀請(qǐng)賽試題）.如圖，已知△ABC中，AB=AC,P,Q分別為AC,AB上的點(diǎn)，且AP=PQ=QB二BC求NPCQ.（北京市競(jìng)賽試題）

.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3),B(4,-1).(1)若P(x,0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4PAB的周長(zhǎng)最短時(shí)，求x的值;(2)若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，求a的值;(3)設(shè)M,N分別為x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)M(m,0)和N(0,n)，使四邊形ABMN的周長(zhǎng)最短？若存在，求出m,n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(浙江省湖州市中考試題).如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,分別以兩腰AB,CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF,設(shè)線段AD的垂直平分線佼線段EF于點(diǎn)M,EP±Z^P,FQ±/于Q,求證：EP=FQ.(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題).如圖所示，已知Rt4ABC中，AB=BC,在Rt^ADE中，AD=DE,連結(jié)EC,取EC中點(diǎn)M,連結(jié)DM和BM

（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖1,求證：BM=DM,且BM