概率統(tǒng)計和隨機(jī)過程假設(shè)檢驗一

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第九章假設(shè)檢驗(一)12§9.1假設(shè)檢驗的基本概念

假設(shè)檢驗：對一個或多個總體的概率分布或參數(shù)的假設(shè).所作的假設(shè)可以是正確的,也可以是錯誤的.

為判斷所作的假設(shè)是否正確,從總體中抽取樣本,根據(jù)樣本的取值,按一定的原則進(jìn)行檢驗,然后,作出接受或拒絕所作假設(shè)的決定.何為假設(shè)檢驗?23

例1.

某廠有一批產(chǎn)品,按國家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn),次品率不得超過4％才能出廠?，F(xiàn)從中任取10件進(jìn)行檢驗(每次取1件，取后放回)，發(fā)現(xiàn)有4件次品，問該批產(chǎn)品能否出廠？1.問題的提出假設(shè)該批產(chǎn)品的次品率為p，問題：檢驗假設(shè)p4%是否成立？利用抽樣的結(jié)果來判斷這一假設(shè)是否成立。3若以X表示折斷力，那么這個例子的問題就化為：如何根據(jù)抽樣的結(jié)果來判斷等式：“EX＝570”是否成立。例2.某車間生產(chǎn)的一種銅絲，其折斷力服從N(570,64)?，F(xiàn)改變生產(chǎn)工藝，并從新產(chǎn)品中抽取10個樣品進(jìn)行測量，得＝575.2(N),問折斷力大小與原來是否相同？(假定方差不會改變)。5

上述例子的共同特點(diǎn)是：先對總體的參數(shù)或總體的分布函數(shù)的形式作某種假設(shè)H0，然后由抽樣結(jié)果對假設(shè)H0是否成立進(jìn)行推斷。在數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中，稱檢驗假設(shè)H0的方法為假設(shè)檢驗。56在假設(shè)檢驗中，通常把那個需要我們?nèi)z驗是否為真的假設(shè)H0稱為原假設(shè)或者零假設(shè)。如例1中的假設(shè)H0：p4%，例2中的假設(shè)H0：EX＝570,等等。例1，例2是對總體參數(shù)的假設(shè)進(jìn)行判斷，這類問題稱為參數(shù)的假設(shè)檢驗。67檢驗假設(shè)的依據(jù)是“小概率事件在一次試驗中實際上是不可能發(fā)生”原理(概率論中稱它為實際推斷原理).它是指這樣一個信念：概率很小的事件在一次實際試驗中是不可能發(fā)生的。如果發(fā)生了，人們寧愿認(rèn)為該事件的前提條件起了變化。2.假設(shè)檢驗的基本思想78

小概率原理又稱實際推斷原理，它是概率論中一個基本而有實際價值的原理，在日常生活中也有廣泛應(yīng)用。人們出差，旅行可以放心大膽地乘坐火車，原因是｛火車出事故｝這事件的概率很小，在一次試驗（乘坐一次火車）中，這個小概率事件實際上不會發(fā)生的。89假設(shè)檢驗的基本思想...因此我們拒絕假設(shè)

=50...如果這是總體的假設(shè)均值樣本均值m=50抽樣分布H0這個值不像我們應(yīng)該得到的樣本均值...20910總體假設(shè)檢驗的過程抽取隨機(jī)樣本均值

x

=20我認(rèn)為人口的平均年齡是50歲

提出假設(shè)

拒絕假設(shè)別無選擇!

作出決策1011假設(shè)檢驗所以可行，其理論背景為實際推斷原理，即“小概率原理”假設(shè)檢驗的內(nèi)容參數(shù)檢驗非參數(shù)檢驗總體均值、均值差的檢驗總體方差、方差比的檢驗分布擬合檢驗符號檢驗等假設(shè)檢驗的理論依據(jù)1112

某廠生產(chǎn)的螺釘,按標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度為68克/mm2,而實際生產(chǎn)的螺釘強(qiáng)度

X服從

N(,3.62).若

E(X)==68,則認(rèn)為這批螺釘符合要求,否則認(rèn)為不符合要求.為此提出如下假設(shè):H0:=68稱為原假設(shè)或零假設(shè)

原假設(shè)的對立面:H1:

68稱為備擇假設(shè)現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的螺釘中抽取容量為36的樣本,其樣本均值為

,問原假設(shè)是否正確?

引例1213若原假設(shè)正確,則故

取較大值是小概率事件因而,即偏離68不應(yīng)該太遠(yuǎn),是小概率事件,偏離較遠(yuǎn)由于1314規(guī)定為小概率事件的概率大小,通常取

=0.05,0.01,…例如,取=0.05,

則因此,可以確定一個常數(shù)c,使得1415由(,66.824)與(69.18,+)為檢驗的拒絕域

而區(qū)間現(xiàn)落入接受域,則接受原假設(shè)

H0:=68為檢驗的接受域(實際上沒理由拒絕),稱的取值區(qū)間

(66.824,69.18)1516顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平1617顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值

a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平1718顯著性水平和拒絕域

(雙側(cè)檢驗)0臨界值臨界值a/2

a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕H0拒絕H0抽樣分布1-置信水平1819

由引例可見,在給定的前提下,接受還是拒絕原假設(shè)完全取決于樣本值,因此所作檢驗可能導(dǎo)致以下兩類錯誤的產(chǎn)生：第一類錯誤棄真錯誤第二類錯誤取偽錯誤1920H0

為真H0

為假真實情況所作判斷接受H0拒絕H0正確正確第一類錯誤

(棄真)第二類錯誤

(取偽)

假設(shè)檢驗的兩類錯誤犯第一類錯誤的概率通常記為犯第二類錯誤的概率通常記為20H0:無罪假設(shè)檢驗中的兩類錯誤(決策結(jié)果)陪審團(tuán)審判裁決實際情況無罪有罪無罪正確錯誤有罪錯誤正確H0檢驗決策實際情況H0為真H0為假未拒絕H0正確決策(1–a)第Ⅱ類錯誤(b)拒絕H0第Ⅰ類錯誤(a)正確決策(1-b)假設(shè)檢驗就好像一場審判過程統(tǒng)計檢驗過程22

錯誤和

錯誤的關(guān)系你不能同時減少兩類錯誤!和的關(guān)系就像翹翹板，小就大，大就小2223

希望所用的檢驗方法盡量少犯錯誤,但不能完全排除犯錯誤的可能性.在樣本的容量給定的情形下,不可能使兩者都很小,降低一個,往往使另一個增大.

假設(shè)檢驗的指導(dǎo)思想是:控制犯第一類錯誤的概率不超過,然后,若有必要,通過增大樣本容量的方法,減少

.

2324所以,拒絕H0的概率為

,又稱為顯著性水平,越大,犯第一類錯誤的概率越大,即越顯著.本引例中

犯第一類錯誤的概率

=P(拒絕H0|H0為真)若H0為真,則2425/2/2H0

真H0

不真2526

一般,作假設(shè)檢驗時,先控制犯第一類錯誤的概率,

在保證的條件下使

盡量地小.要降低一般要增大樣本容量.本課程僅考慮控制

.

備擇假設(shè)可以是單側(cè)的,也可以是雙側(cè)的.引例中的備擇假設(shè)是雙側(cè)的.如果根據(jù)以往的生產(chǎn)情況,

0=68.現(xiàn)采用了新工藝,關(guān)心的是新工藝能否提高螺釘強(qiáng)度,

越大越好.此時,可作如下的假設(shè)檢驗:注1o注2o2627右側(cè)檢驗：

原假設(shè)

H0:=68；備擇假設(shè)

H1:

>68當(dāng)原假設(shè)H0:=0=68為真時,取較大值的概率較小當(dāng)備擇假設(shè)H1:>68為真時,取較大值的概率較大給定顯著性水平

,根據(jù)可確定拒絕域2728因而,接受域稱這種檢驗為右側(cè)檢驗.原假設(shè)

H0:=0=68備擇假設(shè)H1:

<68左側(cè)檢驗類似可確定拒絕域因而,接受域2829顯著性水平和拒絕域

(左側(cè)檢驗)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-置信水平觀察到的樣本統(tǒng)計量2930顯著性水平和拒絕域

(左側(cè)檢驗)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-置信水平3031顯著性水平和拒絕域

(右側(cè)檢驗)0臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕H0抽樣分布1-觀察到的樣本統(tǒng)計量置信水平3132顯著性水平和拒絕域

(右側(cè)檢驗)0臨界值a樣本統(tǒng)計量抽樣分布1-置信水平拒絕H03233關(guān)于零假設(shè)與備擇假設(shè)的選取H0與H1地位應(yīng)平等,但在控制犯第一類錯誤的概率的原則下,使得采取拒絕H0的決策變得較慎重,即H0

得到特別的保護(hù).因而,通常把有把握的、有經(jīng)驗的結(jié)論作為原假設(shè),或者盡可能使后果嚴(yán)重的錯誤成為第一類錯誤.注3o3334假設(shè)檢驗的步驟

根據(jù)實際問題所關(guān)心的內(nèi)容,建立原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1

在

H0為真時,選擇一個合適的檢驗統(tǒng)

計量V,它的分布是已知的,由H1確定

拒絕域的形式

給定顯著性水平,對應(yīng)的拒絕域雙側(cè)檢驗右邊檢驗左邊檢驗其中3435第二節(jié)正態(tài)總體均值和方差的假設(shè)檢驗一.設(shè)X~N(,2),而2為已知.U檢驗(1)已知2.待檢驗的假設(shè):H0:=0,

檢驗水平:(給定的小量)----雙邊檢驗

第一步

提出假設(shè)

H0:=0(原假設(shè));

H1:0(備選假設(shè)).第二步

構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量3536第三步

確定拒絕域第四步

由樣本提供的信息計算出u

的值,并對H0的正確性進(jìn)行推斷.若

則拒絕原假設(shè)(H0偽)若

則接受原假設(shè)(H0真)第五步

給出結(jié)論假設(shè)檢驗統(tǒng)計量拒絕域推斷結(jié)論3637例1

我國健康成年男子的脈搏平均為72次/分，標(biāo)準(zhǔn)差為6.4次/分,現(xiàn)從某體院男生中,隨機(jī)抽出25人,測得平均脈搏為68.6次/分.根據(jù)經(jīng)驗脈搏X服從正態(tài)分布.如果標(biāo)準(zhǔn)差不變,試問該體院男生的脈搏與一般健康成年男子的脈搏有無差異？并求出體院男生脈搏的置信區(qū)間.

解：此例是在已知=6.4的情況下，第二步

統(tǒng)計量第一步

檢驗假設(shè)H0:=72,37對于=0.05，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得因為|u0|=2.656>1.96，故拒絕H0.第三步

確定拒絕域拒絕域:|u|>1.96第五步

結(jié)論該體院男生的脈搏與一般健康成年男子的脈搏存在差異。第四步

現(xiàn)在n=25,=68.6,39由于

所以，該體院男生脈搏的95%的置信區(qū)間為

[66.1,71.1]。39H0原假設(shè);H1備選假設(shè)第一步提出假設(shè)

H0:=0(原假設(shè));H1:>0(備選假設(shè)).第二步構(gòu)建檢驗統(tǒng)計量（2）（右邊檢驗）H0:＝0；H1：>0，

此時樣本信息顯示>0第三步確定拒絕域第四步由樣本提供的信息計算出

的值,并對H0的正確性進(jìn)行推斷.若則拒絕原假設(shè)(H0偽)若則接受原假設(shè)(H0真)第五步給出結(jié)論類似可以由左邊檢驗。相應(yīng)的拒絕域形式為42例2

已知某零件的質(zhì)量X~N(