初中數(shù)學相似三角形題型歸類-成比例線段專項練習2附答案詳解

初中數(shù)學相似三角形題型歸類一成比例戰(zhàn)段專項練習2（附答案詳解）.己知線段a=2cw,b=Sc：m,它們的比例中項。是（ ）B.±4t7wC.16c7〃B.±4t7wC.16c7〃D.±16cmTOC\o"1-5"\h\z.下列各組線段（單位：cm）中，成比例線段的是（ ）A.1、2、2、3 ，B.1、2、3、4C.1、2、2、4D.3、5、9、13.如果a：b=3：2,且b是a、c的比例中項，那么b：c等于（ ）A.4：3 B.3：4 C.2：3 D.3：2.下列四條線段能成比例線段的是（ ）A,1,1,2,3B.1,2,3,4C.2,2,3,3D.2,3,4,5.點P是長度為1的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（）A.6一］ B.3-75 C.3一邪 D.y/5-2\o"CurrentDocument"2 2.己知線段a=2,b=8,線段c是線段a、b的比例中項，則c=（ ）A,2 B.±47.A,2 B.±47.若則土3的值是（）23 a+h7 c2A,- B.一5 38.以下四組線段，成比例的是（ ）A.2cm）3cm.4cm,6cmC.4D.8D.0B.2c7”,4c7”,6cm,8c7〃3。〃,3?！?4c7〃,5cm,6cm4c7〃,6cm,6cm,Scrn.有以下命題：①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有二=:；bd②如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB.BC的比例中項;③如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC,那么AC是AB與BC的比例中項;④如果點C是線段AB的黃金分割點，AOBC,且AB=2,則AC=JJ-L其中正確的判斷有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個.如圖，線段AB=1,點尸】是線段45的黃金分割點（A[<6々）,點g是線段A匕的黃金分割點（<々1）,點8是線段AA的黃金分割點（AG<優(yōu)4）,..，依此類推，則線段ap2Q2Q的長度是（APsRsPiAPsRsPi.愛好騎行的小明想知道從淮北到首都北京的距離大約是多少，因此他從一張比例尺1:12600000的中國地圖上測得，兩張的圖上距離大約為10.5（7”，則兩地的實際距離大約是 km.己知線段a=2,b=8,則a,b的比例中項線段長等于..己知線段AB=2cm,點C在線段AB上，且AGBC/B,則AC的長cm..在比例尺為1：50000的地圖上，量得甲、乙兩地的距離為12厘米，則甲、乙兩地的實際距離是 千米..己知點夕是線段45的一個黃金分割點，且A8=6c7〃，AP>BP，那么AP=cm,.已知點夕是線段A6上的黃金分割點，AP>BP,A3=4,那么AP=..點C是靠近點8的線段AB的黃金分割點，若48=10?！ǎ瑒tAC=cm.（結果保留根號）.如果四條線段m,n,x,y成比例，若m=2,n=8,y=4.則線段x的長是 ..己知線段A8的長為，點尸是線段AB的黃金分割點（A尸>8P）,那么線段尸8的長等于（結果保留根號）..己知夕、。是線段AB的兩個黃金分割點，且AB=10cm,則PQ長為cm.一般地，點C把線段45分成兩條線段AC和5C，如果r=萼，那么稱線段ABACTOC\o"1-5"\h\zAB被點C黃金分割，點。叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.請計算黃金比.? ? ?\o"CurrentDocument"49a. C B.己知乙=2=:，且2x+3v-z=18,求4x+v-3z的值.234 ' '.閱讀理解：如圖①，點C將線段AB分成兩部分，若^4二=竺二則點C為線段AB的黃金分割點.ABAC某研究學習小組，由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”，從而給出“黃金分割線”的定義：ss直線I將一個面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S],叢,如果彳=子,J那么稱直線1為該圖形的黃金分割線.問題解決：如圖②，在△ABC中，己知D是AB的黃金分割點.（1）研究小組猜想：直線CD是△ABC的黃金分割線，你認為對嗎？為什么？（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？（3）研究小組探究發(fā)現(xiàn)：過點C作直線交AB于點E,過點D作DF〃CE,交AC于點F,連接EF（如圖③），則直線EF也是△ABC的黃金分割線.請你說明理由.① ② 曲24.如圖，在△A8C中，點Z）是邊上的一點.（1）請用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)，求作NAQE.使NAOE=N8,DE交AC于點、E；（不要求寫作法，保留作圖痕跡）ah（2）在（1）的條件下，若木=2,AC=6,求AE的值.DB25.如圖，點E分別在415。的邊人5、AC上，DE/IBC.（1）若S1de=2,S、bce=75,求S1BDE；（2）若名如=m，〃，求（用加，〃表示）.已知三條線段的長度分別是3、4、6,試寫出另一條線段，使這四條線段成為比例線段.

.如圖(1),四邊形A5C。中，對角線AC、5。相交于點。，若aAOB的面枳為SraBOC的面積為邑，△CO。的面積為邑，△49。的面積為巨，求證：s&=s、s=；(2)如圖(2),四邊形A5CQ是梯形，對角線AC、5。相交于點。，△QOC的面枳為4,△A0B的面枳為9,枳為4,△A0B的面枳為9,求梯形A5C。的面積.28.如圖(1),AB.CO是兩條線段，M是45的中點，S/，,△O八C、S4DBC分別表示△OMC、△DAC、△。呂。的面積.當人5〃8時，則有C —S&)AC+S4DBC^△D.WC - 9?乙(1)如圖(2),M是A5的中點，A5與CD不平行時，作AE\MN、6尸分別垂直。。于E、N、尸三個點，問結論①是否仍然成立？請說明理由.(2)若圖(3)中，45與S相交于點。時，問S盤^和S△四0三者之間存在何種相等關系？試證明你的結論.29.如圖，四邊形45C0中，AD//BC,AC與50相交于點。.(1)AA3C與△O5C的面積相等嗎？為什么？(2)若(2)若S&aob=21cm2COD?(3)若5恒如=1041/，且80:00=2:1,求S.A..30.如圖，點P是線段45的黃金分割點，以AP為邊的正方形面積為3,以46、PB為兩鄰邊的矩形的面積為名.試比較，與名的大小.1 I IA P B參考答案A【解析】【分析】根據(jù)比例中項的定義，列出比例式即可得出中項，注意線段不能為負.【詳解】根據(jù)比例中項的概念結合比例的基本性質(zhì)，得比例中項的平方等于兩條線段的乘積.即c2=ab,則c?=2x8,解得c=±4,（線段是正數(shù)，負值舍去）.故選：A.【點睛】此題考查比例線段，解題關鍵在于理解比例中項的概念，這里注意線段不能是負數(shù).C【解析】試題解析：A、1X3H2X2,故選項錯誤；B、lx"2x3,故選項錯誤;C.Ix4=2x2,故選項正確;D、3x13,5x9,故選項錯誤.故選C.D【解析】【分析】根據(jù)比例中項的概念可得a：b=b：c,則可求得b：c值.【詳解】解：Ta：b=3：2,b是a和c的比例中項，即a：b=b：c,:.b：c=3：2.故選：D.【點睛】本題考查了比例中項的概念.在線段a,b,c中，若b?=ac,則b是a,c的比例中項.C【解析】分析：根據(jù)成比例線段的定義進行分析判斷即可.詳解：A選項中，因為1：1=2：3,所以A中的四條線段不是成比例線段；B選項中，因為1：2H3：4,所以B中的四條線段不是成比例線段；C選項中，因為2：2=3：3,所以C中的四條線段是成比例線段；D選項中，因為2：3=3：4,所以D中的四條線段不是成比例線段.故選C.點睛：熟記成比例線段的定義：“若四條線段a、b、c、d滿足a：b=c：d,我們就說線段a、b、c、d是成比例線段”是解答本題的關鍵.C【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義即把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值正二叫做黃金比，分別進行計算即2可.【詳解】點P是長度為1的線段上的黃金分割點，???較長的線段的長度為叵口，則較短的線段的長度為：1一吏二1=匕史；2 2 2故選C.【點睛】此題考查了黃金分割，熟記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的 較長的線段=2原線段的吏二1是本題的關鍵.2C【解析】解：:線段C是線段〃的比例中項，，/="=2x8,，l4.故選CD【解析】【分析】設掾=g=k,則a=2k,b=3k,代入式子化簡即可.【詳解】解：設W=!=k，23a=2k,b=3k,.3。-2b_3x2k-2x3ka+b2k+3k'故選D.【點睛】本題考查比例線段，解題的關鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考常考題型.A【解析】【分析】根據(jù)比例線段的定義可各選項分別進行判斷即可.【詳解】A、因為2：4=3：6,則2c7幾3c7〃,4c6c7〃是比例線段，所以A選項正確；B、因為2：6x4：8,則2c7”,4c7”,6c7”,8c7〃不是比例線段，所以B選項錯誤；C、因為4：6r3：5,則3c7幾4c7〃,5o〃,6cm不是比例線段，所以C選項錯誤；D、因為4：6x6：8,則4c7”,6c7〃,6c〃7,8c7”不是比例線段，所以D選項錯誤.故選A.【點睛】本題考查了比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的比（即它們的長度比）與另兩條線段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc）,我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.C【解析】【分析】根據(jù)成比例的線段、黃金分割的定義，結合各項進行判斷即可.【詳解】①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項，則有￡=:，說法正確；bdARAC②如果點c是線段AB的中點，故AC不是AB.BC的比例中項，說法錯誤;ACBC③如果點c是線段AB的黃金分割點，且AC>BC,那么AC是AB與BC的比例中項，說法正確：④如果點C是線段AB的黃金分割點，AOBC,且AB=2,則AC=2^二乂2=6-1,說法正確：綜上可得：①③④正確，共3個.故選：C.【點睛】本題考查了成比例的線段，以及黃金分割的知識，解答本題的關健是掌握黃金分割的定義,注意黃金分割分得的較長邊的長=昱工x原線段長度.2A【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到8月=存L則從4=+黃，同理得到42=(女咨尸，AE=(T§)3,根據(jù)此規(guī)律得到AR,=(\￡)”.據(jù)此可得答案.【詳解】解：,線段A6=l，點月是線段A5的黃金分割點(Ag<8R),?.?點P,是線段人巴的黃金分割點(A/<RH),

，Ap=3-^x3-75 3-^- 2 2 2砍=（4》,M,=（萼）”.所以線段AR所以線段AR?！钡拈L度是（2020故選：A.【點睛】本題考查了黃金分割：把線段A6分成兩條線段AC和BC（4C>8C）,且使4c是A6和6c的比例中項（即A8:AC=AU8C）,叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段A5的黃金分割點：其中AC=61AB*0.618AB,并且線段A6的黃金分割點有兩個.21323【解析】【分析】設實際距離xcm,根據(jù)比例尺的定義列方程求出x的值，再化為km即可.【詳解】設實際距離xcm,由題意得12600000=10.5：X,解得x=l32300000,132300000cm=1323kin.故答案為：1323.【點睛】此題主要考查了圖上距離、實際距離和比例尺的關系，解答時要注意單位的換算.4【解析】【分析】設a、b的比例中項線段長x,則由2=9得到x=ab,解之可得答案.xb【詳解】解：設a、b比例中項線段長x,a=2,b=8,2x?一二二，X8x2=16,，x=4,或x=-4（舍去）.故答案為：4.【點睛】本題考查了成比例線段，比例中項的有關知識.75-1【解析】【分析】設AC=x,則BC=2-x,根據(jù)AC=8CAB列方程求解即可.【詳解】解：設AC=x,則BC=2-x,根據(jù)AO=8CA8可得x^ZQ-x）,解得：x=6-l或一6—1（舍去）.故答案為正-1.【點睛】本題考查了黃金分割的應用，關鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.6【解析】【分析】本題可根據(jù)比例線段進行求解.【詳解】解:因為在比例尺為1:50000的地圖上甲，乙兩地的距離12cm,所以，甲、乙的實際距離x滿足12:x=l:50000, x=12x50000=600000cm=6kin.故答案為6.【點睛】本題主要考查比例尺和比例線段的相關知識.36-3【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的概念得到人尸=史=48,把45=6cm代入計算即可.2【詳解】VP是線段AB的黃金分割點，AP>BP：?AP=^。AB=6義更」=3下—32 2故答案為3萬-3.【點睛】本題考查了黃金分割點的應用，理解黃金分割點的比例并會運算是解題的關鍵.2事-2【解析】【分析】根據(jù)黃金分割點的定義得到AP是較長的線段，則AP=YI」AB,代入即可求出答案.2【詳解】丁點夕是線段43上的黃金分割點，AP>BP,???AP=^^A6=^^x4=26—2,2 2故答案為：2萬一2.【點睛】此題考查黃金分割點，熟記線段的黃金分割點的定義是解題的關鍵.（55/5-5）【解析】【分析】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值（立二1）叫做黃金比.根據(jù)黃金分割點的定義，知AC是2較長線段，運用黃金分割的比值進行計算即可.【詳解】解：由于點C是線段A5的黃金分割點，且靠近點8,則4。=10、01=（5行一5）“〃.【點睛】考查了黃金分割點的概念.特別注意這里的AC是較長線段；熟記黃金分割的比值進行計算.1【解析】【分析】因為四條線段成比例，可根據(jù)前兩條線段，確定其比例，進而求出x的值.【詳解】解:Vm：n=2：8=1：4,,x：y=l：4,Vy=4,.*.x=l.故答案為1.【點睛】本題考查了成立比例的線段，在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.3-y/5【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的概念得到AP=S二IaB,把AB=2代入計算求出AP,即可得出答案.2【詳解】???點戶是線段AB的黃金分割點（AP>BP）,

，AP=#-IAB="-1x2=G-1,2 2???P8=AB-AP=3-5故答案為：3-6【點睛】本題考查了黃金分割的概念；熟練掌握黃金分割值是解題的關鍵.1075-20【解析】【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，可求得AQ與BP的長,繼而求得答案.【詳解】? ? ? ?A p q B根據(jù)黃金分割點的概念,可知AQ=BP=亭x10=（5邪-5）w則PQ=AQ+BP-AB=(5邪-5)x2-10=(1075-20)cw,故本題答案為：（10右-20）.【點睛】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割點是解題的關鍵.21.且」2【解析】【分析】設AB=1,AC=x,根據(jù)黃金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案.【詳解】解：設題=1,AC=x,則6C=1—x,ACBC由麗=衣ACBC由麗=衣,得AC2=AB?CB，則A2=1X(1-A),整理得：x2+x-l=0^解得：內(nèi)=立二1,x,=7Lil（不合題意，舍去）.2 2故黃金比為：亞」.2【點睛】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題的關鍵，注意方程思想的正確運用.x=4,y=6,z=8.【解析】【分析】Xv7設5=]=j=k,由2x+3y-z=18列出含k的等式，解出k,x,y,z,再代入所求即可.【詳解】解:好T="k,234可得：x=2k,y=3k,z=4k,把x=2k,y=3k,z=4k代入2x+3y-z=18中，可得:4k+9k-4k=18,解得:k=2,所以x=4,y=6,z=8,把x=4,y=6,z=8代入4x+y-3z=16+6-24=-2.【點睛】本題考查的知識點是比例的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練的掌握比例的性質(zhì).（1）對.理由見解析；（2）三角形的中線不是該三角形的黃金分割線.（3）直線石廠也是△ABC的黃金分割線.【解析】【分析】ADBD SADCAD（i）根據(jù)黃金分割的定義得二三=會，再根據(jù)三角形面枳公式得到產(chǎn)￡=/用，ABAD SjbcAB

言我=黑，所以沁絲，然后根據(jù)黃金直線的定義得直線CD是^ABC的黃^AADCAD ^AABC'△4￡）C金分割線：sbdcbd sadcad（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)和三角形面枳公式得到y(tǒng)=芯=1，而甘"=弁vi，S&ADCA。 S^abcAB由此可根據(jù)黃金直線的定義判斷三角形的中線不是該三角形的黃金分割線：（3）根據(jù)兩平行線之間的距離定值,得至USafde=Safdc,S\dec=Safec,則Saaef=Saadc，

S四邊形befc=Sabdc，然后由沁C= 得到=Syc,則可根據(jù)黃金直線的定義判斷直線EF也是△ABC的黃金分割線.【詳解】解：（1）直線CD是△ABC的黃金分割線.理由如下：,??點D是AB的黃金分割點，.ADBD而‘..S&A。。_A。 S4bdc_BD?。一布‘——而‘?5徵。/_S^bdCS4ABC S色人口仁???直線CD是^ABC的黃金分割線；???三角形的中線把AB分成相等的兩條線段，即AD=BD,.S&A。。_A。 S&bdc_BD_]'?SA8C―而'SADC_而一，???三角形的中線不是該三角形的黃金分割線：VDF/7CE,?SaFDE=Safdc,SaDEC=SaFEC，?SaAEF=S^ADOS四邊影BEFC=S^BDC?■■S&ADC■■S&ADCS4ABC—S△加C

,△aor?S&AEF_$四邊形S&ABCS4AEF???直線EF是^ABC的黃金分割線.【點睛】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC(AOBC),且使AC是AB和BC的比例中項(即AB：AC=AC：BC),叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.其中AC=1二1aBM).618AB,并且線段AB的黃金分割點有兩個.2(1)如圖所示，NAOE為所作.見解析；(2)AE=4.【解析】【分析】(1)利用基本作圖(作一個角等于己知角)作出NADE=NB;(2)先利用作法得到NADE=NB,則可判斷DE//BC.然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求解.【詳解】(1)如圖所示，NAOE為所作.:,DE〃BC..AEAD',~EC~~DBAAE=4.【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及基本作圖，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

(1)5^D￡=3；(2)Su加-【解析】【分析】(l)首先設然后根據(jù)三角形的性質(zhì)同高的三角形面積比等于底的比，和三角形AnAF平行線定理得出==+，列出分式方程，解得即可;DoEC(2)首先設Sy小=y,由(1)中的面積比等式列出等式,求出然后即可求出【詳解】(1)設S\BDE=X9Sm?a。s根據(jù)題意可得潸Sm?a。s根據(jù)題意可得潸=亍南，S^BDEDBS.SABE1BCEAE

'EC?:DE〃BC,ADAE? ,pi-EC..c_7 Q =75?U1ADE—J，^ABCE—，?J，解得：X]=—5(舍)，毛=3,‘S,BDE=3：(2)由(1)知沁=沁^ABDE^ABCE?S'BDE= ，^ABCE=〃，.y_y+加〃7n解得n-m「 團一 〃一S'EC=〃？+〃+ =一【點睛】此題主要考查三角形平行線的性質(zhì)，解題關鍵是根據(jù)比例關系列出等式.9x=8或一或2.【解析】【分析】36 34x4設所加的線段是x,則得到：二二一或一二二或二=二，即可求得.【詳解】設所加的線段是工，則得到:解得：人=8或2或2.2【點睛】本題考查了成比例線段的關系，已知成比例線段的四條中的三條，即可求得第四條.(1)詳見解析；(2)25.【解析】【分析】(1)作BEJ_AC于點E,從而可分別表示出3和邑然后可得出己=不，同理可得出S4AOU= 這樣即可證得結論.Llx(2)根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可得出S.aod=S.boc，從而解出的面積，也就能得出梯形的面積.【詳解】作BE1AC于點E，A0■J— ??寸布?S4AO同理可證：3=777,O3Uv/-s,S.'：.S]S]=S、Sq.VAB//CD,:.S&ABD=S&abC（向底等身）.**'△AO。=SabOC?設^AO。的面枳為S,由（1）可得S?=4x9,；?S=6,???梯形ABC。的面積=6+6+4+9=25.【點睛】本題考查了梯形，三角形的面積，掌握平行線間距離相等是解題的關鍵.（1）成立，理由詳見解析；（2）S”= S?.【解析】【分析】（1）先看題中給出的條件為何成立，由于△ADC,△DMC,ADBC都是同底，而由于AB//DC,因此高相等，就能得出題中給出的結論，那么本題也要用高來求解，過A,M,

B分別作BC的垂線AE,MN,BF,AE〃MN〃BF,由于M是AB中點，因此MN是梯形AEFB的中位線，因此MN==（AE+BF）,三個三角形同底因此結論①是成立的.2（2）本題可以利用AM=MB,讓這兩條邊作底邊來求解，三角形ADB中，小三角形的AB邊上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面積就相等（等底同高），因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面枳，同理三角形AOC和OMC的面積和等于三角形CMB的面枳.根據(jù)這些等量關系即可得出題中三個三角形的面積關系.【詳解】（1）當45和CO不平行時，結論①仍然成立.如圖，由己知，可得AE,8尸和A/N兩兩平行,,四邊形但8是梯形.工MN是梯形AEFB的中位線..?.MN=；(AE+8尸).S4DNC+S[)BC==DC?2MN=2SSq_"△ZMCS4DNC+S[)BC==DC?2MN=2SSq_"△ZMC°AD.WC-2+S4DBC2△D.WC?（2）???M為45的中點,?* =SabdM' =S&BCV.** =S^