初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)上冊(cè)第一章勾股定理1探索勾股定理 市一等獎(jiǎng)

第一章勾股定理1.探索勾股定理（第2課時(shí)）一、【學(xué)情分析】學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式的加、減、乘、除運(yùn)算和等式的基本性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形；上節(jié)課又已經(jīng)通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法，對(duì)具體的直角三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒(méi)有對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：學(xué)生在以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)經(jīng)歷了很多獨(dú)立探究和合作學(xué)習(xí)的過(guò)程，具有了一定的自主探究經(jīng)驗(yàn)和合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的探究能力和合作與交流的能力；學(xué)生在七年級(jí)《七巧板》及《圖案設(shè)計(jì)》的學(xué)習(xí)中已經(jīng)具備了一定的拼圖活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、【目標(biāo)任務(wù)】本節(jié)課是八（上）勾股定理第1節(jié)第2課時(shí)，是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內(nèi)容，具體學(xué)習(xí)任務(wù)：通過(guò)拼圖驗(yàn)證勾股定理并體會(huì)其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值并逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題意識(shí)和能力，為后面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).為此本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1.掌握勾股定理及其驗(yàn)證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實(shí)際問(wèn)題。2.在上節(jié)課對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想。3.在勾股定理的驗(yàn)證活動(dòng)中，培養(yǎng)探究能力和合作精神；通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，感受數(shù)學(xué)文化，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情感，并通過(guò)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。用面積法驗(yàn)證勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題是本節(jié)課的重點(diǎn)。三、【教學(xué)過(guò)程】本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：（一）復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入；（二）小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證；（三）回顧反思，提煉升華；（四）例題講解，初步應(yīng)用；（五）延伸拓展，能力提升；（六）布置作業(yè)，課堂延伸。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)設(shè)疑，激趣引入內(nèi)容：教師提出問(wèn)題：（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？（請(qǐng)一名學(xué)生回答）（2）上節(jié)課我們僅僅是通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子，對(duì)具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，對(duì)一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？這需要進(jìn)一步驗(yàn)證，如何驗(yàn)證勾股定理呢？事實(shí)上，現(xiàn)在已經(jīng)有幾百種勾股定理的驗(yàn)證方法，這節(jié)課我們也將去驗(yàn)證勾股定理。 意圖：（1）復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容；（2）回顧上節(jié)課探索過(guò)程，強(qiáng)調(diào)仍需對(duì)一般的直角三角形進(jìn)行驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度；（3）介紹世界上有數(shù)百種驗(yàn)證方法，激發(fā)學(xué)生興趣。 效果：通過(guò)這一環(huán)節(jié)，學(xué)生明確了：僅僅探索得到勾股定理還不夠，還需進(jìn)行驗(yàn)證.當(dāng)學(xué)生聽(tīng)到有數(shù)百種驗(yàn)證方法時(shí)，馬上就有了去尋求屬于自己的方法的渴望。第二環(huán)節(jié)：小組活動(dòng)，拼圖驗(yàn)證. 內(nèi)容：活動(dòng)1：教師導(dǎo)入，小組拼圖。教師：今天我們將研究利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，請(qǐng)你利用自己準(zhǔn)備的四個(gè)全等的直角三角形，拼成2023年數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)的形狀嗎？拼一拼試試看?。ńo出會(huì)標(biāo)圖形，同桌合作完成。）活動(dòng)2：層層設(shè)問(wèn)，完成驗(yàn)證一。會(huì)標(biāo)是什么形狀？生：利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等和直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出結(jié)論：邊長(zhǎng)為c的正方形。2.會(huì)標(biāo)的面積是多少？生：3.會(huì)標(biāo)的面積還有什么表示方法？生：四個(gè)全等的三角形面積與中間那個(gè)小正方形的面積之和。4.小正方形的邊長(zhǎng)是多少？生：（在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上板書(shū)，并得到）活動(dòng)3：追溯歷史，激發(fā)情感。用上圖驗(yàn)證勾股定理的方法，據(jù)載最早是三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，因此，我們也稱該圖為趙爽弦圖。意圖：（1）介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情；（2）學(xué)生加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；活動(dòng)4：自主探究，完成驗(yàn)證二。用你手中的四個(gè)全等的直角三角形還能拼出什么圖形來(lái)證明勾股定理？并給出相應(yīng)的證明。（學(xué)生先獨(dú)立探究，再小組交流，最后請(qǐng)一個(gè)小組同學(xué)上臺(tái)講解驗(yàn)證方法二）意圖：設(shè)計(jì)活動(dòng)1的目的是為了讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗(yàn)證作鋪墊，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、創(chuàng)新能力.在活動(dòng)2中，學(xué)生在教師的層層設(shè)問(wèn)引導(dǎo)下完成對(duì)勾股定理的驗(yàn)證，完成本節(jié)課的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.設(shè)計(jì)活動(dòng)4，讓學(xué)生利用另一個(gè)拼圖獨(dú)立驗(yàn)證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想并體會(huì)成功的快樂(lè).效果：學(xué)生通過(guò)先拼圖從形上感知，再分析面積驗(yàn)證，比較容易地掌握了本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容之一，并突破了本節(jié)課的難點(diǎn).活動(dòng)5：趣味調(diào)查，勾股定理的總統(tǒng)證法。在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁矗瑫r(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫(huà)著一個(gè)直角三角形……于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題.他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，這位中年人—伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái)，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。第三環(huán)節(jié)：回顧反思，提煉升華思想方法：數(shù)形結(jié)合我們利用拼圖的方法，將形的問(wèn)題與數(shù)的問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，再進(jìn)行整式運(yùn)算，從理論上驗(yàn)證了勾股定理。具體方法：等面積性從整體來(lái)看,是正方形或者是梯形,根據(jù)公式得出面積,再?gòu)牟糠謥?lái)看,是由幾個(gè)三角形組成的.把各個(gè)面積算出來(lái)再求和.根據(jù)面積相等列出等式,整理即可。并展示中國(guó)的“青朱出入圖”和古印度的“無(wú)字證明”。目的：（1）歸納出本節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）教師了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課的感受并進(jìn)行總結(jié)；（3）培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力。效果：由于這節(jié)課自始至終都注意了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，所以學(xué)生談的收獲很多，包括利用拼圖驗(yàn)證勾股定理中蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生對(duì)勾股定理的歷史的感悟及對(duì)勾股定理應(yīng)用的認(rèn)識(shí)等等。第四環(huán)節(jié)：例題講解初步應(yīng)用內(nèi)容1：例題：我方偵查員小王在距離東西向公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車在公路上急駛，他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車與它相距400米，10秒后，汽車與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？?jī)?nèi)容2：練習(xí)：（東營(yíng)中考）有兩棵樹(shù),一棵高12米,另一棵高6米,兩樹(shù)相距8米,一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢,則小鳥(niǎo)至少飛行米。意圖：（1）初步運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力；（2）體會(huì)勾股定理的應(yīng)用價(jià)值。效果：學(xué)生對(duì)這樣的實(shí)際問(wèn)題很感興趣，基本能把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并順利解決。第五環(huán)節(jié) 延伸拓展，能力提升_b_a_a_c_b_b_a_a_c_b_c意圖：在前面已經(jīng)討論了直角三角形三邊滿足的關(guān)系，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊 是否也滿足這一關(guān)系呢？學(xué)生通過(guò)數(shù)格子的方法可以得出：如果一個(gè)三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2。通過(guò)這個(gè)結(jié)論，學(xué)生將對(duì)直角三角形三邊的關(guān)系有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ)。第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸正式作業(yè)1.習(xí)題知識(shí)技能第1題,第3題練習(xí)作業(yè)1.上網(wǎng)或查閱有關(guān)書(shū)籍，搜集至少1種勾股定理的其它證法，至少1個(gè)勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，一周后進(jìn)行展評(píng)。2.《原創(chuàng)新課堂》的第一章第一節(jié)第二課時(shí)意圖：（1）鞏固本節(jié)課的內(nèi)容。（2）充分發(fā)揮勾股定理的育人價(jià)值。四、【課