初中數(shù)學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)第三章一元一次方程實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程（區(qū)一等獎(jiǎng)）

探索實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程河北省遷安市扣莊中學(xué)蘭義元一、教材分析

（一）教材的地位和作用

本節(jié)內(nèi)容是一元一次方程應(yīng)用的延伸與拓展，它進(jìn)一步讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，同時(shí)又滲透了函數(shù)與不等式的思想，為以后內(nèi)容學(xué)習(xí)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，本節(jié)內(nèi)容具有承上啟下的作用．學(xué)生能深刻地認(rèn)識(shí)到方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界有效的數(shù)學(xué)模型，領(lǐng)悟到“方程”的數(shù)學(xué)思想方法．總之，本節(jié)內(nèi)容無(wú)論在知識(shí)上還是在數(shù)學(xué)思想方法上，都是十分很好的素材，能很好培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、應(yīng)用意識(shí)以及創(chuàng)新能力．（二）教材的重難點(diǎn)本節(jié)的重點(diǎn)是探索并掌握列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的方法．而方程的建模思想學(xué)生還是初步接觸，尋找相等關(guān)系對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)仍相當(dāng)困難，所以確定“找出已知量與未知量之間的關(guān)系，尤其是相等關(guān)系”為本節(jié)的難點(diǎn)之一，列方程解應(yīng)用題的最終目標(biāo)是運(yùn)用方程的解對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)作出合理的解釋，這是本節(jié)的難點(diǎn)之二．二、教學(xué)目標(biāo)分析（一）知識(shí)技能目標(biāo)

1．目標(biāo)內(nèi)容

(1)結(jié)合生活實(shí)際，會(huì)在獨(dú)立思考后與他人合作，結(jié)合估算和試探，列出一元一次方程解決本節(jié)的三個(gè)實(shí)際問(wèn)題，并能解釋結(jié)果的實(shí)際意義及其合理性．

(2)培養(yǎng)學(xué)生建立方程模型來(lái)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力以及探索精神、合作意識(shí)．

2．目標(biāo)分析

(1)本節(jié)的內(nèi)容就是通過(guò)列方程、解方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，這是必須掌握的知識(shí)，估算與試探的思維方法也很重要，這是發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的有效途徑．

(2)七年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模還比較陌生，建模能突出應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，而探索精神和合作意識(shí)又是課標(biāo)所大力倡導(dǎo)的，因而必須加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力．

（二）過(guò)程目標(biāo)

1．目標(biāo)內(nèi)容

在活動(dòng)中感受方程思想在數(shù)學(xué)中的作用，進(jìn)一步增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)．

2．目標(biāo)分析

利用方程解決問(wèn)題是有用的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生在前兩節(jié)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，有了一些初步的經(jīng)驗(yàn)，但是更接近生活，更富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題則需要師生合作，探索解決．

（三）情感目標(biāo)

1．目標(biāo)內(nèi)容

(1)在探索中獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，享受與他人合作的樂(lè)趣，建立自信心．

(2)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決，進(jìn)一步體會(huì)“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，且服務(wù)于生活”的辯證思想．

2．目標(biāo)分析

七年級(jí)學(xué)生的年齡特征決定了他們好奇心強(qiáng)、思想活躍、求知心切．利用教材培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、方法和品質(zhì)，這是落實(shí)新課標(biāo)倡導(dǎo)的教育理念的關(guān)鍵．

三、教材處理與教法分析

本節(jié)內(nèi)容擬定兩課時(shí)完成，今天說(shuō)課的內(nèi)容是第一課時(shí)（探究Ⅰ、探究Ⅱ）．根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)及七年級(jí)學(xué)生的心理特征和認(rèn)知特征，本節(jié)課采用探索發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)，在活動(dòng)中充分體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者．本課借助多媒體輔助教學(xué)，給學(xué)生以直觀形象的演示，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)教學(xué)效果．課中以設(shè)疑提問(wèn)、分組活動(dòng)等方式，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主探索與合作交流，主動(dòng)獲得知識(shí)．

四、教學(xué)過(guò)程分析

（一）教學(xué)過(guò)程流程圖

探究Ⅰ

（二）教學(xué)過(guò)程Ⅰ

（以探究為主線、形式多樣化）

1．問(wèn)題情境

(1)多媒體展示有關(guān)盈虧的新聞報(bào)道，感受生活實(shí)際．

(2)據(jù)此生活實(shí)例，展示探究Ⅰ，引入新課．

考慮到學(xué)生不完全明白“盈利”、“虧損”這樣的商業(yè)術(shù)語(yǔ)，故針對(duì)性地播放相關(guān)新聞報(bào)道，然后引出要探索的問(wèn)題Ⅰ．

2．討論交流

(1)學(xué)生結(jié)合自己的生活實(shí)際，交流對(duì)“盈利”、“虧損”含義的理解．

(2)學(xué)生交流后，老師提出問(wèn)題：某件商品的進(jìn)價(jià)是40元，賣出后盈利25%，那么利潤(rùn)是多少？如果賣出后虧損25%，利潤(rùn)又是多少？（利潤(rùn)是負(fù)數(shù)，是什么意思？）

(3)要求學(xué)生對(duì)探究Ⅰ中商店的盈虧進(jìn)行估算，交流討論并說(shuō)明理由．在討論中學(xué)生對(duì)商店盈虧可能出現(xiàn)不同的觀點(diǎn)，因此引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)．

(4)師生互動(dòng)，要知道究竟是盈是虧，必須先知道什么？從而引出要算出每件衣服的進(jìn)價(jià)．

讓學(xué)生討論盈利和虧損的含義，理解其概念，建立感性認(rèn)識(shí)；乍一看，大多數(shù)學(xué)生可能在大體估算后得到不虧不盈，直覺(jué)上也是如此，但要解決實(shí)際問(wèn)題，還要知其原價(jià)（未知量），從這一分析引入未知量，為后面建立模型，做了必要的鋪墊．

3．建立模型

(1)學(xué)生自主探索，尋找已知量與未知量之間的關(guān)系，確定相等關(guān)系．

(2)學(xué)生分組，根據(jù)找出的相等關(guān)系列出方程，其中一組計(jì)算盈利25%的衣服的進(jìn)價(jià)，另一組計(jì)算虧損25%的衣服的進(jìn)價(jià)．

(3)師生互動(dòng)：①兩件衣服的進(jìn)價(jià)和為_(kāi)_______；②兩件衣服的售價(jià)和為_(kāi)_______；③由于進(jìn)價(jià)________售價(jià)，由此可知兩件衣服的盈虧情況．

（教師及時(shí)給出完整的解答過(guò)程）

學(xué)生分組、計(jì)算盈虧；教師參與、適當(dāng)提示；師生互動(dòng)、得到?jīng)Q策．這樣設(shè)計(jì)，讓學(xué)生體會(huì)到合作交流、互相評(píng)價(jià)、互相尊重的學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生知識(shí)的形成與發(fā)展，也有利于學(xué)生健康人格的養(yǎng)成．這樣設(shè)計(jì)易于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，鞏固應(yīng)用一元一次方程作工具來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法，也很好地讓學(xué)生從已有的經(jīng)驗(yàn)中、活動(dòng)中，有意義地構(gòu)建自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，獲得富有成效的學(xué)習(xí)體驗(yàn)．

4．小結(jié)

一個(gè)感悟：估算與主觀判斷往往與實(shí)際情況大相徑庭，需要我們通過(guò)準(zhǔn)確的計(jì)算來(lái)檢驗(yàn)自己的判斷．

培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)作風(fēng)．

探究Ⅱ

（三）教學(xué)過(guò)程Ⅱ

1．在燈具店選購(gòu)燈具時(shí)，由于兩種燈具價(jià)格、能耗的不同，引起矛盾沖突．

恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境激發(fā)學(xué)生探索的欲望，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活的實(shí)用性．

啟發(fā)：選擇的目的是節(jié)省費(fèi)用，費(fèi)用又是由哪些因素決定的？學(xué)生討論得出結(jié)論：

2．列代數(shù)式

費(fèi)用＝燈的售價(jià)＋電費(fèi)

電費(fèi)＝×燈的功率（千瓦）×照明時(shí)間（時(shí)）在此基礎(chǔ)上，用t表示照明時(shí)間（小時(shí)）．要求學(xué)生列出代數(shù)式表示這兩種燈的費(fèi)用．

節(jié)能燈的費(fèi)用（元）：60＋×．

白熾燈的費(fèi)用（元）：3＋×．

分析各個(gè)量之間的關(guān)系，列出代數(shù)式，為后面列方程，并進(jìn)一步探索提供了基礎(chǔ)．

3．特值試探

具體感知

學(xué)生分組計(jì)算：

t＝1000、2000、2500、3000時(shí)，這兩種燈具的使用費(fèi)用，填入下表：

時(shí)間（小時(shí)）1000200025003000節(jié)能燈的費(fèi)用（元）

白熾燈的費(fèi)用（元）

學(xué)生填完表格后，展示由表格數(shù)據(jù)制成的條形統(tǒng)計(jì)圖．

引導(dǎo)學(xué)生討論：從統(tǒng)計(jì)圖表，你發(fā)現(xiàn)了什么？

問(wèn)題的答案是多樣的，師生共同得出：照明時(shí)間不同，作出的選擇不同．

由于在前面的第二節(jié)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)“兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式”的一道例題，因此學(xué)生應(yīng)該能較熟練地完成表格中的特值試探．又因?yàn)槠吣昙?jí)學(xué)生的認(rèn)知以直觀形象為主，再給出統(tǒng)計(jì)圖，完成特殊到一般，感性到理性的深化．

4．方程建模

觀察統(tǒng)計(jì)圖，你能看出使用時(shí)間為多少（小時(shí)）時(shí)，這兩種燈的費(fèi)用相等嗎？

列出方程：

60＋×＝3＋×

5．合作交流

解釋拓展

(1)照明時(shí)間小于2327小時(shí)，用哪種燈省錢？照明時(shí)間超過(guò)2327小時(shí)．但不超過(guò)3000小時(shí)，用哪種燈省錢？

學(xué)生分組討論，交流各自的看法．

(2)如果計(jì)劃照明3500小時(shí)，則需購(gòu)買兩個(gè)燈，設(shè)計(jì)你認(rèn)為合理的選燈方案．

學(xué)生分組、討論購(gòu)燈方案只有三種：①兩盞節(jié)能燈；②兩盞白熾燈；③一盞節(jié)能燈、一盞白熾燈．

學(xué)生計(jì)算各種方案所需費(fèi)用．

關(guān)于選燈方案③，學(xué)生可能會(huì)有不同的結(jié)果，先讓學(xué)生充分展示他們的計(jì)算理由，然后對(duì)學(xué)生得出“使用節(jié)能燈3000小時(shí)，白熾燈500小時(shí)”的結(jié)論，給予充分肯定，并引導(dǎo)學(xué)生尋找理論依據(jù)，列式驗(yàn)證：

設(shè)節(jié)能燈的照明時(shí)間為t（小時(shí)），那么總費(fèi)用為：

60＋3＋×＋×（3500－t）＝168－（0≤t≤3000）

觀察上式可看出，只有當(dāng)t＝3000時(shí)，總費(fèi)用最低．

培養(yǎng)學(xué)生合作交流，傾聽(tīng)他人意見(jiàn)，并從交流中獲益的學(xué)習(xí)習(xí)慣，綜合各方面信息的能力．討論2需要考慮的情形不只一種，通過(guò)這一問(wèn)題，培養(yǎng)分類討論的思想，養(yǎng)成縝密的思維品質(zhì)．此處滲透著函數(shù)、不等式和分類討論的思想，為后面學(xué)習(xí)實(shí)際問(wèn)題提供了實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)．

6．反饋練習(xí)

一家游泳館每年6～8月出售夏季會(huì)員證，每張會(huì)員證80元，只限本人使用，憑證購(gòu)入場(chǎng)券每張1元，不憑證購(gòu)入場(chǎng)券每張3元，討論并回答：

(1)什么情況下，購(gòu)會(huì)員證與不購(gòu)證付相同的錢？

(2)什么情況下，購(gòu)會(huì)員證比不購(gòu)證更合算？

(3)什么情況下，不購(gòu)會(huì)員證比購(gòu)證更合算？

適時(shí)的反饋練習(xí)，以加深學(xué)生對(duì)這一知識(shí)的理解，逐步完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)．

（四）教學(xué)小結(jié)

學(xué)生分組小結(jié)“本課學(xué)到了什么”，各組發(fā)言交流體驗(yàn)、教師總結(jié)：

五、設(shè)計(jì)說(shuō)明

七年級(jí)學(xué)生的年齡特征決定了他們好奇心強(qiáng)，思想活躍、求知心切．因此我從“以人為本”的理念出發(fā)，依據(jù)數(shù)學(xué)的工具性和人文性等特點(diǎn)，在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中始終關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與創(chuàng)新能力．

（一）充分尊重學(xué)生的主體地位

發(fā)揮學(xué)生的主體作用，堅(jiān)持讓學(xué)生自主探索、合作交流，展示學(xué)生的思維過(guò)程．

（二）樹(shù)立方程建模思想

突出解釋與應(yīng)用，滲透函數(shù)、不等式、分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．

（三）注重對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程與方法的評(píng)價(jià)

關(guān)注學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的熱情，與他人合作的態(tài)度，以及獨(dú)立地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，力爭(zhēng)讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展．(1)某種商品因換季打折出售，如果按定價(jià)的七五折出售將賠25元；而按定價(jià)的九折出售將賺20元．問(wèn)這種商品的定價(jià)為多少元？

(2)某商店為了促銷A牌高級(jí)洗衣機(jī)，規(guī)定在元旦那天購(gòu)買該機(jī)可以分兩期付款，在購(gòu)買時(shí)先付一筆款，余下部分及它的利息（年利率為%）在明年的元旦付清，該洗衣機(jī)售價(jià)是每臺(tái)8224元，若兩次付款相同，問(wèn)每次應(yīng)付款多少元？

(3)工廠甲、乙兩車間去年計(jì)劃共完成稅利720萬(wàn)元，結(jié)果甲車間完成了計(jì)劃的115%，乙車間完成了計(jì)劃的110%，兩車間共完成稅利812萬(wàn)元，求去年兩個(gè)車間各超額完成稅利多少萬(wàn)元？(4)一輛汽車用40千米/時(shí)的速度由甲地駛向乙地，車行3小時(shí)后，因遇雨平均速度被迫每小時(shí)減少10千米，結(jié)果到達(dá)乙地時(shí)比預(yù)計(jì)的時(shí)間晚了45分鐘，求甲、乙兩地間的距離．

(5)甲、乙兩人合辦一小型服裝廠，并協(xié)議按照投資額的比例多少分配所得利潤(rùn)，已知甲與乙投資比例為3∶4，第一年共獲利30800元，問(wèn)甲、乙兩人可獲利潤(rùn)多少元？

(6)有人問(wèn)老師班級(jí)有多少名學(xué)生時(shí)，老師說(shuō)：“一半學(xué)生在學(xué)數(shù)學(xué)，四分之一學(xué)生在學(xué)音樂(lè)，七分之一的學(xué)生在讀外語(yǔ)，還剩六名學(xué)生在操場(chǎng)踢球．”你知道這個(gè)班有多少名學(xué)生嗎？

(7)某人10時(shí)10分離家去趕11時(shí)整的火車，已知他家離車站10千米，他離家后先以3千米/時(shí)的速度走了5分鐘，然后乘公共汽車去車站，問(wèn)公共汽車每小時(shí)至少走多少千米才能不誤火車？

綜合運(yùn)用

4．某市居民生活用電基本價(jià)格是每度元，若每月用電量超過(guò)a度，超出部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi)．

(1)某戶五月份用電84度，共交電費(fèi)元，求a；

(2)若該戶六月份的電費(fèi)平均為每度元，求六月份共用電多少度？應(yīng)交電費(fèi)多少元？

5．為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，市政府對(duì)自來(lái)水的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)作如下規(guī)定：每月每戶不超過(guò)10噸部分，按元/噸收費(fèi)；超過(guò)10噸而不超過(guò)20噸部分，按元/噸收費(fèi)；超過(guò)20噸部分，按元/噸收費(fèi)．現(xiàn)已知李老師家六月份繳水費(fèi)14元，問(wèn)李老師家六月份用水多少噸？

6．一支自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35千米/時(shí)的速度前進(jìn)．突然，有一名隊(duì)員以45千米/時(shí)的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10千米后調(diào)轉(zhuǎn)車頭，仍以45千米/時(shí)的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合．你知