實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的插值第一頁，共三十八頁，2022年，8月28日問題的引入：是否可以尋找函數(shù)f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式y(tǒng)(x),使得

y(x)為插值函數(shù)。由于代數(shù)多項(xiàng)式簡單而又便于計(jì)算，所以經(jīng)常采用多項(xiàng)式為插值函數(shù),即y(x)為一個(gè)多項(xiàng)式.第二頁，共三十八頁，2022年，8月28日,這就是插值問題例:>>x=0:0.8:10;>>y=sin(x)第三頁，共三十八頁，2022年，8月28日第四頁，共三十八頁，2022年，8月28日余項(xiàng)：我們可以知道，用y(x)近似f(x),除了在插值節(jié)點(diǎn)處，在其余的x處都有誤差。令，稱R(x)為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)，越小，近似程度越高。插值條件:

y(x)為次數(shù)不超過n

的多項(xiàng)式.在插值節(jié)點(diǎn)上，yi=y(xi)

，i=0,1,2,…,n第五頁，共三十八頁，2022年，8月28日插值函數(shù)

Matlab中有兩種一維插值，即多項(xiàng)式插值和基于FFT插值。在此我們重點(diǎn)講解多項(xiàng)式插值。函數(shù)interp1()進(jìn)行一維插值。語法形式為

yi=interp1(x,y,xi,method)x和y為給定的數(shù)據(jù)的向量，長度相同。

xi為包含要插值的點(diǎn)的向量。

method指定插值的一種方法：默認(rèn)為線性算法；‘nearest’,將插值點(diǎn)的值設(shè)置為已知數(shù)據(jù)點(diǎn)中距離最近的點(diǎn)的值；‘linear’,用線性函數(shù)擬合每對數(shù)據(jù)點(diǎn)，并返回xi處的相關(guān)函數(shù)值；‘spline’,用三次樣條函數(shù)擬合每對數(shù)據(jù)點(diǎn)，用‘spline’函數(shù)在插值點(diǎn)處進(jìn)行三次樣條插值；‘cubic’為三次插值。注：所有的插值方法要求x是單調(diào)的第六頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.1線性插值問題：已知:y0=f(x0),y1=f(x1)構(gòu)造插值函數(shù):

y(x)=Ax+B

y(x)為不高于一次的多項(xiàng)式滿足:y0=y(x0),y1=y(x1)第七頁，共三十八頁，2022年，8月28日插值函數(shù)兩種形式1.拉格朗日插值（兩點(diǎn)式）根據(jù)兩點(diǎn)公式:插值基函數(shù):第八頁，共三十八頁，2022年，8月28日插值基函數(shù)性質(zhì):我們可以統(tǒng)一寫為：i,j=0,1我們稱這種形式的插值為拉格朗日插值。拉格朗日插值函數(shù)可寫成:第九頁，共三十八頁，2022年，8月28日根據(jù)點(diǎn)斜式公式:或者2.Newton插值（點(diǎn)斜式）第十頁，共三十八頁，2022年，8月28日一階差商:一階泰勒展開:牛頓插值公式:3.余項(xiàng)（線性插值的誤差）插值余項(xiàng):線形插值余項(xiàng)滿足:第十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.2二次插值（拋物線插值）給定函數(shù)y=f(x)的三個(gè)插值節(jié)點(diǎn):求過這三點(diǎn)的一個(gè)二次多項(xiàng)式.拉格朗日插值:xy第十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日插值基函數(shù)滿足:得到:第十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日牛頓插值:一階差商:二階差商:二階泰勒展開:牛頓插值公式:第十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日第十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日第十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.4n次插值給定函數(shù)y=f(x)的n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn):求過這n+1個(gè)點(diǎn)的一個(gè)n次多項(xiàng)式.設(shè)插值函數(shù)為:

y(x)=A0+A1x+A2x2+…+Anxnxy第十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日根據(jù)插值條件，系數(shù)應(yīng)該滿足以下n+1階線性方程組第十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式：

可寫成:XA=YX的行列式為范德蒙行列式,由于節(jié)點(diǎn)互異所以

由克萊姆法則可以知道所以方程有唯一解。插值多項(xiàng)式存在且唯一。第十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日牛頓插值:拉格朗日插值：其中插值基函數(shù):第二十頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.3逐次線性插值.給定函數(shù)y=f(x)的三個(gè)插值節(jié)點(diǎn):先用(x0,y0),(x1,y1)做線性插值:xy第二十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日再用(x0,y0),(x2,y2)做線性插值:最后用[x1,y(1)(x)],[x2,y(2)(x)]做線形插值:此函數(shù)為二次多項(xiàng)式,經(jīng)過三個(gè)插值節(jié)點(diǎn).雖然上式也是二次多項(xiàng)式，但是經(jīng)過兩次插值而構(gòu)成的，這樣有利于在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)。第二十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日3.5二元函數(shù)的拉格朗日多點(diǎn)插值公式已知:求二元函數(shù)z(x,y)經(jīng)過上述節(jié)點(diǎn).令:

第二十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日二元函數(shù)插值公式:第二十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日functiony=cf(x,w)%差分法剔除錯(cuò)誤值n=length(x);y(1)=x(1);y(2)=x(2);fori=1:n-2xx=2*x(i+1)-x(i);d=abs(x(i+2)-xx);ifd>=wy(i+2)=xx;elsey(i+2)=x(i+2);endend第二十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日>>x=rand(1,1000);>>hist(x,20)第二十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日>>y=cf(x,0.1);>>hist(y,20)第二十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日

樣條是繪圖員用于描繪光滑曲線的一種機(jī)械器件,它是一些易彎曲材料制成的窄條或棒條.在繪制需要通過某點(diǎn)的光滑曲線時(shí),對它在這些點(diǎn)的位置上“壓鐵”,它就被強(qiáng)制通過或接近圖表上確定的描繪點(diǎn).“樣條函數(shù)”這個(gè)術(shù)語意在點(diǎn)出這種函數(shù)的圖象與機(jī)械樣條畫出的曲線很象.補(bǔ)充材料三次樣條插值第二十八頁，共三十八頁，2022年，8月28日（1）S(x)是定在區(qū)間[a,b]上的二次連續(xù)可微函數(shù)；

（2）在每個(gè)子區(qū)間（）上，S(x)是不超過三次的多項(xiàng)式則稱S(x)是對應(yīng)于分劃的三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)

處給定的函數(shù)值并且樣條函數(shù)S(x)滿足條件

（3）

則稱S(x)為函數(shù)f(x)的三次樣條插值函數(shù)。第二十九頁，共三十八頁，2022年，8月28日2、三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造（用節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)）設(shè)，由于在區(qū)間上是三次多項(xiàng)式，故在上是線性函數(shù)，可以表示為且有令有（1）第三十頁，共三十八頁，2022年，8月28日對在區(qū)間上積分兩次，并由確定積分結(jié)過中的兩個(gè)積分常數(shù)，則在區(qū)間上可得將對x求一次導(dǎo)得（2）（3）第三十一頁，共三十八頁，2022年，8月28日且有因?yàn)橐笤诠?jié)點(diǎn)上連續(xù)，即。所以由式（4）得令將（5）式整理可得線性方程組（4）（5）（6）（7）（8）第三十二頁，共三十八頁，2022年，8月28日綜上討論可知，如果S(x)是區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)，則它的表達(dá)式為（2）式，且其二階導(dǎo)數(shù)，滿足方程組（8）式。反之容易看出，如果n+1個(gè)參數(shù)適合方程組（8），則由是（2）所確定的函數(shù)S(x)必是區(qū)間[a,b]上的三次樣條插值函數(shù)步驟：1、根據(jù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及為線形態(tài)函數(shù)的特點(diǎn)，將表示為線性函數(shù)，再根據(jù)在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及插值條件，寫出S(x)用表示的形式。2、利用在內(nèi)節(jié)點(diǎn)的連續(xù)性及邊界條件，導(dǎo)出含的n+1階線性方程組。3、求解含的線性方程組，將得到的代入上的的S(x)表達(dá)式，即可得到以節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)表示的三次樣條插值函數(shù)。第三十三頁，共三十八頁，2022年，8月28日第三十四頁，共三十八頁，2022年，8月28日對于第一種邊界條件：由（8）式可得，若記（9）則（9）式可記為第三十五頁，共三十八頁，2022年，8月28日對于第二種邊界條件：由（1）式可得，若記（10）則（10）式可記為第三十六頁，共三十八頁，2022年，8月28日綜合上述兩種情況：可得到關(guān)于的線性方程組：其矩陣形式為：方程組（11）的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)，為非奇異矩陣，因此方程組有唯一確定的解，可以求出，代入（8）式即可得到用節(jié)點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)表示系數(shù)的三次樣條插值函數(shù)的表達(dá)式。（11）第三十七頁，共三十八頁，2022年，8月28日例：

設(shè)和