第2章數(shù)制和編碼

本章主要問(wèn)題：

掌握二、十、八、十六進(jìn)制數(shù)及相互轉(zhuǎn)換；掌握二進(jìn)制數(shù)的原碼、反碼和補(bǔ)碼表示及其加減運(yùn)算；補(bǔ)碼加減運(yùn)算中溢出的判斷方法？引用補(bǔ)碼的意義？掌握常用的幾種編碼。參考書(shū)目：《編碼的奧秘》機(jī)械工業(yè)出版社第2章數(shù)制與編碼2/2/20231習(xí)題

1、自學(xué)本章未講授的部分。2、思考反碼運(yùn)算時(shí)的循環(huán)進(jìn)位問(wèn)題。3、完成練習(xí)11,12,20,22,24,46。（3E）4、小論文:進(jìn)位記數(shù)制。第2章數(shù)制與編碼（續(xù)）2/2/20232

進(jìn)位計(jì)數(shù)制2.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制十進(jìn)制數(shù)的表示位置計(jì)數(shù)法--不同位置的數(shù)碼其大小不同例：223.34讀作：二百二十三點(diǎn)三四按權(quán)展開(kāi)式例：123.45=1102+2101+3100+410-1+510-2

基與基數(shù)--用來(lái)表示數(shù)的數(shù)碼的集合稱(chēng)為基，集合的大小稱(chēng)為基數(shù)。權(quán)--在十進(jìn)制數(shù)中，10的整冪次方(0,1,10,100,1000,,,)稱(chēng)為十進(jìn)制數(shù)的權(quán)。二進(jìn)制數(shù)的表示對(duì)于任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N,用位置記數(shù)法可表示為:(N)2=(an-1

an-2…a1

a0.a-1

a-2…a-m)22/2/20233上面兩式中，ai=0或1,n為整數(shù)部分的位數(shù),m為小數(shù)部分的位數(shù)。

用權(quán)展開(kāi)式可表示為：(N)2=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020+a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m2.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制（續(xù)）任意進(jìn)制數(shù)（>1）的表示：請(qǐng)參考教材p17。

二進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)只有兩個(gè)數(shù)碼,很容易用物理器件來(lái)實(shí)現(xiàn)。運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單?？墒褂眠壿嫶鷶?shù)這一數(shù)學(xué)工具。2/2/20234二進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換2.2數(shù)制轉(zhuǎn)換

二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)：按權(quán)展開(kāi)式在十進(jìn)制數(shù)域中計(jì)算例如：十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分：除2取余法例：將(58)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制形式解:2/2/20235等式兩邊同時(shí)除2，有得a0=0得a1=1等式兩邊再同時(shí)除2，有……則

(58)10=(111010)22.2數(shù)制轉(zhuǎn)換（續(xù)）2/2/20236等式兩邊同時(shí)乘2，有得a-1=1等式兩邊的小數(shù)部分再同時(shí)乘2，有得a-2=0小數(shù)部分：乘2取整法例：將(0.625)10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制形式解:2.2數(shù)制轉(zhuǎn)換（續(xù)）2/2/20237等式兩邊的小數(shù)部分再同時(shí)乘2，有得a-3=1則：注意不能進(jìn)行精確轉(zhuǎn)換的情況八進(jìn)制數(shù)、十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換按位分組法例：八進(jìn)制：

257

0554

二進(jìn)制：010101111000101101100

十六進(jìn)制：

AF

1

6C

因此，(257.0554)8=(10101111.0001011011)2=(AF.16C)162.2數(shù)制轉(zhuǎn)換（續(xù)）2/2/202382.2數(shù)制轉(zhuǎn)換（續(xù)）2/2/20239真值與機(jī)器數(shù)2.3帶符號(hào)數(shù)的代碼表示真值：直接用“+”和“–”表示符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，它不能在機(jī)器中使用。機(jī)器數(shù)：將符號(hào)數(shù)值化了的二進(jìn)制數(shù)，可在機(jī)器中使用。

例：

+101101011；-101111011原碼：正數(shù)符號(hào)位為0；負(fù)數(shù)符號(hào)位為1，其余各位表示數(shù)的絕對(duì)值。例：

N1=+10011 N2=–01010

[N1]原=010011 [N2]原=101010特點(diǎn)：真值0有兩種原碼表示形式，即[+0]原=00…0，[–0]原=10…0。4位原碼

1111111011011100101110101001100000000001001000110100010101100111

-7-6-5-4-3-2-1-0+0+1+2+3+4+5+6+72/2/202310例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]反=010011 [N2]反=110101反碼：對(duì)于正數(shù)，其反碼表示與原碼表示相同，對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，其余各位是將原碼數(shù)值按位求反。2.3帶符號(hào)數(shù)的代碼表示（續(xù)）

一個(gè)r進(jìn)制數(shù)字d（無(wú)符號(hào)）的反碼是r-1-d。

當(dāng)r為2的整冪次方且用2進(jìn)制表示時(shí)，電路中可由反相器來(lái)實(shí)現(xiàn)求反運(yùn)算。特點(diǎn)：真值0有兩種反碼表示形式，即[+0]反=00…0，[–0]反=11…1。4位反碼

1000100110101011110011011110

111100000001001000110100010101100111

-7-6-5-4-3-2-1

-0

+0+1+2+3+4+5+6+72/2/2023112.3帶符號(hào)數(shù)的代碼表示（續(xù)）2/2/202312例：

N1=+10011N2=–01010

[N1]補(bǔ)=010011 [N2]補(bǔ)=110110補(bǔ)碼：對(duì)于正數(shù)，其補(bǔ)碼表示與原碼表示相同，對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，其余各位是在反碼數(shù)值的末位加“1”。2.3帶符號(hào)數(shù)的代碼表示（續(xù)）特點(diǎn)：真值0只有一種表示形式，即[+0]補(bǔ)=[-0]補(bǔ)=00…0。[+0]補(bǔ)=00…0,[–0]補(bǔ)=100…0=00…0（模2n）

n位n+1位n位4位補(bǔ)碼

1000100110101011110011011110111100000001001000110100010101100111

-8-7-6-5-4-3-2-1

0+1+2+3+4+5+6+72/2/2023132.3帶符號(hào)數(shù)的代碼表示（續(xù)）求“反數(shù)”的補(bǔ)碼（又稱(chēng)“變補(bǔ)”）2/2/202314

原碼加減運(yùn)算2.4機(jī)器數(shù)的加法和減法符號(hào)位不參與運(yùn)算，單獨(dú)處理。設(shè)A、B表示絕對(duì)值，有下列兩類(lèi)八種情況。(+A)+(+B)=(+A)-(-B)(-A)+(-B)=(-A)-(+B)同號(hào)數(shù)相加或異號(hào)數(shù)相減運(yùn)算規(guī)則為絕對(duì)值相加，取被加(減)數(shù)的符號(hào)。(+A)-(+B)=(+A)+(-B)(-A)-(-B)=(-A)+(+B)同號(hào)數(shù)相減或異號(hào)數(shù)相加運(yùn)算規(guī)則為絕對(duì)值相減，取絕大值較大者的符號(hào)。2/2/202315例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]原和[N1－N2]原。解：[N1]原＝10011，[N2]原＝01011

求[N1+N2]原，絕對(duì)值相減，有1011－)00111000結(jié)果取N2的符號(hào)，即：[N1+N2]原＝01000，真值為：N1+N2＝+1000

求[N1-N2]原，絕對(duì)值相加，有0011+)10111110結(jié)果取N1的符號(hào)，即：[N1-N2]原＝11110，真值為：N1-N2＝-11102.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）2/2/2023162.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）

鐘表對(duì)時(shí)（補(bǔ)碼加減運(yùn)算原理）2/2/2023172.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）2/2/202318

補(bǔ)碼加減運(yùn)算2.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）可以證明有如下補(bǔ)碼加、減運(yùn)算規(guī)則：[N1+N2]補(bǔ)＝[N1]補(bǔ)+[N2]補(bǔ)，[N1－N2]補(bǔ)＝[N1]補(bǔ)+[－N2]補(bǔ)此規(guī)則說(shuō)明補(bǔ)碼的符號(hào)位應(yīng)參與運(yùn)算。例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]補(bǔ)和[N1－N2]補(bǔ)。解：[N1]補(bǔ)＝11101，[N2]補(bǔ)＝01011,[－N2]補(bǔ)＝10101

[N1+N2]補(bǔ)=11101+01011=0100011101+)01011丟棄1

01000真值為：N1+N2=+10002/2/202319

[N1－N2]補(bǔ)=11101+10101=1001011101+)10101丟棄1

10010真值為：N1－N2=－11102.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）反碼加減運(yùn)算可以證明有如下反碼加、減運(yùn)算規(guī)則：[N1+N2]反＝[N1]反+[N2]反，[N1－N2]反＝[N1]反+[－N2]反

當(dāng)符號(hào)位有進(jìn)位時(shí)，應(yīng)在結(jié)果的最低位再加“1”。（？）2/2/2023202.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）例：N1=－0011，N2=1011,求[N1+N2]反和[N1－N2]反。解：[N1]反＝11100，[N2]反＝01011,[－N2]反＝10100

[N1+N2]反=11100+0101111100＋)01011

100111＋)101000真值為：N1+N2=+1000

[N1－N2]反＝11100+10100真值為：N1－N2=－111011100+)10100

110000+)1100012/2/2023212.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）溢出：如果加法操作產(chǎn)生的結(jié)果超出了數(shù)制定義的范圍，就說(shuō)發(fā)生了溢出（overflow）。溢出判斷補(bǔ)碼：CinCout

CinCout=1

無(wú)符號(hào)數(shù)：CMSB=12/2/2023222.4機(jī)器數(shù)的加法和減法（續(xù)）2/2/202323原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼之間的關(guān)系[X]補(bǔ)[X]原[X]反符號(hào)位保留，各位變反再加1[X]移符號(hào)位保留，各位變反符號(hào)位連同各位變反再加1[X]原[X]補(bǔ)[+X]補(bǔ)[-X]補(bǔ)符號(hào)位變反，各位保留(X<0)(X<0)(X<0)2/2/2023242.5十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼（續(xù)）二進(jìn)制數(shù)最適于數(shù)字系統(tǒng)的內(nèi)部計(jì)算，但多數(shù)人喜歡用十進(jìn)制數(shù)。用二進(jìn)制位串表示十進(jìn)制數(shù)，不同位串組合代表不同的十進(jìn)制數(shù)。用于表示不同的數(shù)或事件的一組二進(jìn)制碼的集合稱(chēng)為一種編碼。一個(gè)含義確切的特定組合，稱(chēng)為一個(gè)碼字。使用

n位二進(jìn)制碼的編碼，并不一定需要包含有全部2n個(gè)碼字。2/2/2023252.5十進(jìn)制數(shù)的二進(jìn)制編碼（續(xù)）

BCD碼加法結(jié)果校正

BCD碼調(diào)整指令2/2/2023262.6葛萊（格雷）碼2/2/2023272.6葛萊（格雷）碼（續(xù)）2/2/2023282.6葛萊（格雷）碼（續(xù)）2/2/2023292.7字符編碼數(shù)字0,1,…,9與字符0,1,…,9是不同的.2/2/2023302.8動(dòng)作、條件和狀態(tài)的編碼

編碼寬度線(xiàn)較少2/2/2023312.8動(dòng)作、條件和狀態(tài)的編碼（續(xù)）

選中信號(hào)0或1

n中選m碼（8B10B碼，用在802.3z千兆以太網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)中）選擇電路簡(jiǎn)單2/2/2023322.10檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼

數(shù)字電路中的錯(cuò)誤很可能是災(zāi)難性的。

碼距為1的編碼不能檢查出錯(cuò)誤，更不能糾正錯(cuò)誤。000，001，010，011，100，101，110，111奇偶校驗(yàn)碼

由信息位和校驗(yàn)位(冗余部分)兩部分組成。校驗(yàn)位的取值可使整個(gè)校驗(yàn)碼中1的個(gè)數(shù)事先約定為奇數(shù)或偶數(shù)。000，101，110，011，非碼：001，010，100，111碼距為2。

可發(fā)現(xiàn)奇數(shù)位錯(cuò)誤，但不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)位錯(cuò)誤。

一般可以假定數(shù)字系統(tǒng)中的差錯(cuò)是獨(dú)立的。2/2/2023332.10檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼（續(xù)）

糾錯(cuò)碼與多重檢錯(cuò)碼（碼距>2）。2/2/2023342.10檢錯(cuò)碼和糾錯(cuò)碼（續(xù)）一般來(lái)說(shuō)，若碼距d>1，則如果用來(lái)檢查錯(cuò)誤，可以發(fā)現(xiàn)d–1位錯(cuò)；如果用來(lái)糾正錯(cuò)誤，則d為奇數(shù)時(shí)，可以糾正（d-1）/2位錯(cuò)；為偶數(shù)時(shí)，可以糾正（d/2-1）位錯(cuò)。2/2/202335123456712345672.11海明校驗(yàn)碼將信息位分為多個(gè)組，每一個(gè)組增添一個(gè)