第3章概率論基礎(chǔ)

第3章概率論基礎(chǔ)胡良劍東華大學(xué)理學(xué)院Ljhu@第2學(xué)院樓543內(nèi)容提要3.2樣本空間和事件3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.4概率論公理3.5等可能樣本空間3.6條件概率3.7貝葉斯公式3.8獨(dú)立性3.2樣本空間和事件樣本空間：一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合被稱為該試驗(yàn)的樣本空間，用S來表示。隨機(jī)事件：樣本空間的任一子集E被稱作事件。也就是說，事件是由實(shí)驗(yàn)部分可能結(jié)果構(gòu)成的一個(gè)集合。如果實(shí)驗(yàn)結(jié)果包含在E中，我們就說事件E發(fā)生了。基本事件：S的每個(gè)元素（或單點(diǎn)集）。3.2樣本空間和事件例3.2.2(修改)如果實(shí)驗(yàn)是由確定編號(hào)1,2,3,4的四匹馬的比賽結(jié)果構(gòu)成，那么樣本空間S包含了(1,2,3,4)的所有全排列.即S={1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321}E={3號(hào)馬贏}={3124,3142,3214,3241,3412,3421}是一個(gè)隨機(jī)事件。F={3124}是一個(gè)基本事件，也是一個(gè)隨機(jī)事件。3.2樣本空間和事件事件的并EF：事件E或事件F發(fā)生。事件的交EF或EF：事件E和事件F都發(fā)生。事件的補(bǔ)Ｅc：事件E不發(fā)生。事件的包含EF：若E發(fā)生，則F必發(fā)生。性質(zhì)：交換律結(jié)合律分配率3.3文(Venn)圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示3.3文圖和事件的代數(shù)表示德·摩根律3.4概率論公理定義：集函數(shù)P(E)稱為事件E的概率，如果它滿足下列三條公理

對(duì)于任何的互不相交(又稱互斥)事件序列(也就是說,)3.4概率論公理命題3.4.1證明：用概率的定義。命題3.4.2證法一：用文圖；證法二：用概率的定義。3.4概率論公理例3.4.1總共有28%的美國(guó)男性吸卷煙，7%抽雪茄，兩者都吸的有5%。請(qǐng)問既不吸卷煙也不抽雪茄的男性比例是多少？解：3.4概率論公理例：P54習(xí)題9習(xí)題P53ex2,ex12,ex133.5等可能樣本空間等可能概型：樣本空間中的每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。等可能概型的概率（古典概率）公式：其中N(E)表示事件E中的點(diǎn)（基本事件）數(shù)，N(S)表示所有可能的基本事件數(shù)。3.5等可能樣本空間分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有幾類辦法（各類辦法不相交），每類辦法中又有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法數(shù)是各類不同辦法中方法數(shù)的總和。例：網(wǎng)上預(yù)訂行程，從鄭州到上海乘火車有7種不同選擇，乘飛機(jī)有5種不同選擇，從鄭州(乘火車或乘飛機(jī))到上海共有7+5=12種不同的行程選擇。3.5等可能樣本空間分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法，則完成這件事的不同方法總數(shù)是各步驟不同方法數(shù)的乘積。例：網(wǎng)上預(yù)訂行程，從鄭州到上海共有12種不同行程選擇，從上海到香港共有4種不同的行程選擇，那么從鄭州經(jīng)上海到香港共有4×12=48種不同的行程選擇。3.5等可能樣本空間例3.5.1一個(gè)碗里有6個(gè)白球，5個(gè)黑球?，F(xiàn)在隨機(jī)從碗里拿出兩個(gè)球，則一個(gè)是白球一個(gè)是黑球的概率有多大？?jī)蓚€(gè)黑球呢？解：3.5等可能樣本空間排列：從n個(gè)不同元素中取r個(gè)(不重復(fù))，考慮先后順序共有n(n-1)….(n-r+1)種不同結(jié)果。全排列：n個(gè)不同元素排成一列，共有n!=n(n-1)….21種不同結(jié)果。重復(fù)排列：從n個(gè)不同元素中取r個(gè)(可重復(fù))，考慮先后順序共有nr=n

n

….

n種不同結(jié)果。3.5等可能樣本空間例3.5.2瓊斯先生有10本書要放在書架上，其中有4本數(shù)學(xué)書，3本化學(xué)書，2本歷史書，還有1本語(yǔ)言書。(1)瓊斯想把同一種類的書放在一起，共有幾種不同的可能結(jié)果？(2)如果是隨意放置，恰好同一種類的書放在一起的概率多大？3.5等可能樣本空間組合：從n個(gè)不同元素中取r個(gè)，不考慮先后順序共有種不同情況?；蛘哒f，從n個(gè)元素中選擇r個(gè)組成一組，共有不同的組合數(shù)3.5等可能樣本空間例3.5.4要從6個(gè)男性9個(gè)女性中選擇5人組成委員會(huì)。如果隨機(jī)選取，那么委員會(huì)中有3個(gè)男性2個(gè)女性的概率是多大？解：3.5等可能樣本空間例3.5.7如果一個(gè)房間里有n個(gè)人，沒有兩個(gè)人的生日是同一天的概率是多大？如果希望概率小于0.5，需要多少人？解：當(dāng)n23,P<0.5.注：P(50)=0.03,P(60)=0.006.習(xí)題P55ex18,ex203.6條件概率引例：（1）假設(shè)某人投擲一對(duì)骰子，兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為8概率多大？（2）如果已知第一個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)為3，那么兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和為8的概率為多少？3.6條件概率引例：(1)樣本空間:點(diǎn)數(shù)之和為8:概率(2)縮減的樣本空間:點(diǎn)數(shù)之和為8（縮減的事件）:條件概率注意：3.6條件概率定義：當(dāng)P(F)>0,F發(fā)生的條件下E發(fā)生的條件概率為3.6條件概率例3.6.2瓊斯工作的機(jī)構(gòu)正在籌備一場(chǎng)親子(父子)晚宴，參與者是至少有一個(gè)兒子的雇員。每一個(gè)滿足條件的雇員都被邀請(qǐng)攜他們年齡最小的兒子參加晚宴。瓊斯有兩個(gè)孩子，在瓊斯被邀參加晚宴的前提下，他的兩個(gè)孩子都是男孩的條件概率是多少？3.6條件概率乘法公式：例3.6.3佩雷斯女士所在的公司有30%的可能在鳳凰城設(shè)立分公司。如果這個(gè)分公司設(shè)立，那么她有60%的把握成為這個(gè)新公司的經(jīng)理。那么佩雷斯女士將會(huì)成為鳳凰城新公司經(jīng)理的概率為多少？3.7貝葉斯(Bayes)公式全概率公式：如果直接計(jì)算事件E的概率較困難，可以間接利用條件事件F:分別在事件F發(fā)生或不發(fā)生兩種條件下計(jì)算條件概率，然后再加權(quán)平均。3.7貝葉斯(Bayes)公式Bayes公式(逆概率公式)：注意區(qū)分：求結(jié)果發(fā)生的(無(wú)條件)概率,用全概率公式；已知結(jié)果，求原因的條件概率，用Bayes公式。3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.1一個(gè)保險(xiǎn)公司把投保的人群分為了兩類——事故敏感型和非事故敏感型。保險(xiǎn)公司的數(shù)據(jù)顯示事故敏感型人群一年內(nèi)發(fā)生事故的概率為0.4，而這個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)于非事故敏感型人群減少至0.2。假設(shè)30%的人群為事故敏感型人群，那么一個(gè)新的投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的這一年中發(fā)生事故的概率是多少？例3.7.2（續(xù)上例）假設(shè)新的投保人在投保的這一年中已經(jīng)發(fā)生過了一次事故,那么這個(gè)人屬于事故敏感型人群的概率是多少？3.7貝葉斯(Bayes)公式投保人敏感型(F)非敏感型(Fc)0.30.7發(fā)生事故(E)0.40.2全概率公式P(E)=0.3×0.4+0.7×0.2=0.26Bayes公式P(F|E)=P(EF)/P(E)=0.3×0.4/0.26=0.46153.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.4一個(gè)實(shí)驗(yàn)室提出了一種99%有效的血液測(cè)試來檢測(cè)某種疾病。但是，對(duì)健康人來說這個(gè)測(cè)試也有1%的可能會(huì)產(chǎn)生``假陽(yáng)性”.如果人群中有0.5%患病，則在一個(gè)人的測(cè)試結(jié)果是陽(yáng)性的條件下他患病的概率是多大？如果這個(gè)測(cè)試是在的高危人群（50%患病）中測(cè)試的呢？3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.5在某一個(gè)犯罪調(diào)查的階段，當(dāng)值的調(diào)查員60%確信嫌疑犯有罪。假設(shè)現(xiàn)在一個(gè)新的顯示罪犯有某個(gè)特征(例如，左撇子，禿頭，棕色頭發(fā)等)的證據(jù)未被揭露。如果20%的人群擁有這個(gè)特征，若這個(gè)嫌疑人屬于擁有這個(gè)特征的人群，調(diào)查員現(xiàn)在應(yīng)如何對(duì)待這個(gè)犯罪嫌疑人(有多大把握確信嫌疑犯有罪)?3.7貝葉斯(Bayes)公式推廣的全概率公式：假設(shè)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n是互斥(不相交)的事件，且那么推廣的Bayes公式：3.7貝葉斯(Bayes)公式例3.7.7一架飛機(jī)失蹤了，據(jù)推測(cè)，他有相同的概率著落在三個(gè)可能的地點(diǎn)。令1-i表示飛機(jī)著落在第i個(gè)地區(qū)條件下在第i個(gè)地區(qū)被找到的概率，i=1,2,3。已知對(duì)地區(qū)1的搜尋是失敗的，飛機(jī)落在地區(qū)1的概率是多少？習(xí)題P56ex25,ex29,ex31,ex33,ex353.8獨(dú)立事件定義：若則稱E與F相互獨(dú)立。性質(zhì)1：若P(E)>0,P(F)>0,有性質(zhì)2：如果E與F獨(dú)立，則E與Fc也獨(dú)立，進(jìn)而Ec與F也獨(dú)立,Ec與Fc也獨(dú)立。3.8獨(dú)立事件例3.8.1一張卡片是隨機(jī)從一副52張的撲克牌中選取的。如果事件A表示抽出來的牌是A，事件H表示是抽出來的牌是紅桃，那么A和H是獨(dú)立的.因?yàn)镻(AH)=1/52，而P(A)=4/52，P(H)=13/52。所以P(AH)=P(A)P(H)。3.8獨(dú)立事件定義(三個(gè)事件的獨(dú)立性)稱三個(gè)事件E,F,G相互獨(dú)立，如果定義(n個(gè)事件的獨(dú)立性)稱事件E1，E2,…，En獨(dú)立，若對(duì){1,2,…,n}的任意子集{1’,2’,…r’},3.8獨(dú)立事件例3.8.8拋擲兩顆均勻骰子。讓E7表示事件：骰子的總和是7。用F表示第一顆骰子等于4，用T表示第二顆骰子等于3?？梢宰C明：E7，F(xiàn)，T兩兩獨(dú)立但三者不獨(dú)立。因?yàn)椋篜(E7)=6/36,P(F)=1/6,P(T)=1/6,P(E7F)=1/36,P(E7T)=1/36,P(FT)=1/36,P(E7FT)=1/36。這樣P(E7F)=P(E7)P(F),P(