第二十六講相似

第二十六講相似、投影與視圖1.了解:平行投影、中心投影、主視圖、左視圖、俯視圖的意義.2.理解:平行投影和中心投影形成影子的規(guī)律和特點(diǎn).3.掌握:相似三角形的性質(zhì)和判定方法.4.會:利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題及識別簡單的三視圖.5.能:利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小.一、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:相似三角形的對應(yīng)角_____,對應(yīng)邊的比_____;性質(zhì)2:相似三角形周長的比等于_______;性質(zhì)3:相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比等于_______;性質(zhì)4:相似三角形的面積的比等于相似比的_____.相等相等相似比相似比平方二、相似三角形的判定判定1:如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比_____,那么這兩個(gè)三角形相似.判定2:如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊的比_____,并且相應(yīng)的_____相等,那么這兩個(gè)三角形相似.相等相等夾角判定3:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)_____,那么這兩個(gè)三角形相似.判定4:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原_______相似(相似三角形的預(yù)備定理).三角形相等三、投影和視圖的有關(guān)概念1.投影平行投影:由_________形成的投影.中心投影:由同一點(diǎn)(點(diǎn)光源)發(fā)出的光線形成的投影.平行光線2.視圖主視圖:在正面內(nèi)得到的_________觀察物體的視圖.俯視圖:在水平面內(nèi)得到的_________觀察物體的視圖.左視圖:在側(cè)面內(nèi)得到的_________觀察物體的視圖.由前向后由上向下由左向右1.如果,那么x的值是____.2.如圖,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),則S△ADE∶S△ABC=_____.1∶43.如圖,銳角三角形ABC的邊AB,AC上的高線EC,BF相交于點(diǎn)D,請寫出圖中的兩對相似三角形__________________________(用相似符號連接).△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE4.如圖所示,水平放置的長方體的底面是邊長為2和4的矩形,它的左視圖的面積為6,則長方體的體積等于___.24熱點(diǎn)考向一相似圖形的判定【例1】(1)(2012·慶陽中考)如圖∠DAB=∠CAE,請補(bǔ)充一個(gè)條件:

,使△ABC∽△ADE.(2)(2013·益陽中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求證:△ABD∽△CBE.【思路點(diǎn)撥】(1)由∠DAB=∠CAE知∠BAC=∠DAE,再根據(jù)判定定理添加角相等或添加夾∠BAC，∠DAE的兩邊對應(yīng)成比例.(2)△ABD與△CBE有公共角∠B，只要證明∠ADB=∠CEB=90°即可.【自主解答】(1)∵∠DAB=∠CAE,∴∠BAC=∠DAE,∴當(dāng)∠D=∠B或∠AED=∠C或AD∶AB=AE∶AC或AD·AC=AB·AE時(shí)△ABC∽△ADE.答案:∠D=∠B或∠AED=∠C或AD∶AB=AE∶AC或AD·AC=AB·AE(答案不唯一)(2)在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.【名師助學(xué)】判定三角形相似的思路及注意事項(xiàng)1.判定三角形相似的“五個(gè)基本思路”:(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的預(yù)備定理.(2)條件中若有一對等角,可再找一對等角或再找夾這對等角的兩邊對應(yīng)成比例.(3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例,可找夾角相等.(4)條件中若有一對直角,可考慮再找一對等角或證明夾直角的兩條直角邊對應(yīng)成比例.(5)條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對底角相等,或找底和腰對應(yīng)成比例.2.注意事項(xiàng):(1)在書寫兩三角形相似時(shí),要把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)位置上.(2)兩條邊對應(yīng)成比例時(shí),必須是夾角相等,才能判定兩個(gè)三角形相似.熱點(diǎn)考向二相似圖形的性質(zhì)【例2】(1)(2012·牡丹江中考)在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn).若△ABC的面積為16,則△DEF的面積為

.(2)(2013·雅安中考)如圖,在?ABCD中,E在AB上,CE,BD交于F,若AE∶BE=4∶3,且BF=2,則DF=

.【思路點(diǎn)撥】(1)先根據(jù)“三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似”判定△ABC∽△EFD,再利用相似三角形面積比等于相似比的平方求△DEF的面積.(2)由AB∥CD得△BEF∽△DCF,所以BF∶DF=BE∶DC,結(jié)合題意求出DF.【自主解答】(1)∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn),∴△ABC∽△EFD,且相似比為2∶1,由相似三角形面積比等于相似比的平方,得S△DEF∶S△ABC=1∶4，∴S△DEF∶16=1∶4，∴S△DEF=4,故△DEF的面積為4.答案:4(2)在?ABCD中，因?yàn)锳B∥CD,所以△BEF∽△DCF，所以BF∶DF=BE∶DC，因?yàn)锳E∶BE=4∶3，所以BE∶DC=3∶7，所以2∶DF=3∶7，所以DF=答案:【名師助學(xué)】由三角形相似證線段成比例的一般步驟(1)先看這些線段確定哪兩個(gè)可能相似的三角形.(2)再找這兩個(gè)三角形相似所需的條件.(3)如這兩個(gè)三角形不相似,則采用其他方法(如找中間比代換等).注意:當(dāng)無法用三角形相似來證明線段成比例時(shí),可試著用引平行線的方法.熱點(diǎn)考向三三視圖【例3】(1)(2012·天津中考)如圖是一個(gè)由4個(gè)相同的正方體組成的立體圖形,它的三視圖是()(2)(2013·無錫中考)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若這個(gè)幾何體的體積是36,則它的表面積是

.【思路點(diǎn)撥】(1)首先明確左視圖在主視圖的右邊,俯視圖在主視圖的下邊,然后根據(jù)三視圖的定義判定三視圖的形狀.(2)由題意知這個(gè)幾何體是長方體,由它的長、寬和體積求出它的高和表面積.【自主解答】(1)選A.從正面看可得從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為1,2;從左面看可得到從左往右2列正方形的個(gè)數(shù)依次為2,1;從上面看可得從上到下2行正方形的個(gè)數(shù)依次為2,1.(2)由題意知,長方體的長為6,寬為2,由幾何體的體積是36,可得長方體的高為3,所以它的表面積為2(6×2+6×3+3×2)=72.答案:72【名師助學(xué)】畫幾何體的三視圖時(shí)遵循的規(guī)律1.主視圖與俯視圖的長對正,主視圖與左視圖的高平齊,俯視圖與左視圖的寬相等.2.看得見部分的輪廓線畫成實(shí)線,看不見部分的輪廓線畫成虛線.熱點(diǎn)考向四平行投影與中心投影【例4】(2012·安順中考)某一時(shí)刻,身高1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m.同一時(shí)刻同一地點(diǎn),測得某旗桿的影長是5m,則該旗桿的高度是()A.1.25mB.10mC.20mD.8m【思路點(diǎn)撥】設(shè)該旗桿的高度為xm,根據(jù)平行投影的性質(zhì)得到同一時(shí)刻同一地點(diǎn)物體的高度與其影長的比相等,列出比例式求解即可.【自主解答】選C.設(shè)該旗桿的高度為xm,根據(jù)題意得,1.6∶0.4=x∶5,解得x=20,即該旗桿的高度是20m.【名師助學(xué)】中心投影的兩個(gè)特點(diǎn)及相關(guān)應(yīng)用技巧1.中心投影的兩個(gè)特點(diǎn):(1)等高的物體垂直地面放置時(shí),在燈光下,離點(diǎn)光源近的物體的影子短,離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體的影子長.(2)等長的物體平行于地面放置時(shí),在燈光下,離點(diǎn)光源越近,影子越長;離點(diǎn)光源越遠(yuǎn),影子越短,但不會比物體本身的長度還短.2.因?yàn)樘柕墓饩€是平行的,因此可利用物體在太陽光下的影子測量物體高度,當(dāng)影子全部落在地面上時(shí),利用同一時(shí)刻物體與影長成正比可進(jìn)行計(jì)算,當(dāng)影子不全落在地面上時(shí),通常通過添加輔助線解決問題.位似圖形的畫法與坐標(biāo)變化【典例】(2012·桂林中考)如圖,△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3),B(4,2),C(2,1),(1)作出與△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1,并寫出頂點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo).(2)以原點(diǎn)O為位似中心,在原點(diǎn)另一側(cè)畫出△A2B2C2,使【思路點(diǎn)撥】創(chuàng)新點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中研究圖形的軸對稱、位似變換突破口1.先根據(jù)軸對稱的作法作出△A1B1C1,再根據(jù)圖形寫出頂點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo)2.先根據(jù)兩個(gè)三角形的位似比作出A2,B2,C2,再畫出△A2B2C2【自主解答】(1)如圖,A1(1,-3),B1(4,-2),C1(2,-1).(2)如圖.【思考點(diǎn)評】1.方法感悟:畫位似圖形的關(guān)鍵就是要確定位似圖形各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).2.技巧提升:(1)在直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.(2)位似中心既可以位于兩位似圖形的同側(cè),也可以在兩位似圖形之間.【學(xué)以致用】(2012·咸寧中考)如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比為1∶2,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),則E點(diǎn)的坐標(biāo)為()【解析】選C.因?yàn)樗倪呅蜛BCO是正方形,所以AB=BC=OC=OA.因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),所以AB=BC=OC=OA=1.因?yàn)檎叫蜲ABC與正方形ODEF是位似圖形,所以所以所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為().【歸納整合】位似圖形的定義及性質(zhì)1.定義:如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),對應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又叫做位似比.位似一定相似,但相似不一定位似.2.性質(zhì):(1)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.(2)對應(yīng)線段的比等于位似比.(3)周長比等于位似比.(4)面積比等于位似比的平方

1.(2013·蕭山模擬)如圖,下列四個(gè)幾何體中,其各自的主視圖、左視圖、俯視圖中有兩個(gè)相同,而另一個(gè)不同的是()A.①②B.②③C.②④D.③④【解析】選D.正方體和球的主視圖、左視圖、俯視圖都相同;③中圓錐的主視圖、左視圖是三角形,俯視圖是圓(帶圓心);④中圓柱的主視圖、俯視圖是矩形,左視圖是圓,所以③④符合題意.2.(2013·北京模擬)如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=2,AE=3,BD=4,則AC的長為()A.9B.8C.7D.6【解析】選A.因?yàn)镈E∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以,即,所以AC=9.3.(2013·南通模擬)如圖是每個(gè)面上都有一個(gè)漢字的正方體的一種展開圖,那么在原正方體的“著”相對的面上的漢字是()A.冷B.靜C.應(yīng)D.考【解析】選D.動(dòng)手操作知原正方體的“著”相對的面上的漢字是“考”,原正方體的“沉”相對的面上的漢字是“應(yīng)”,原正方體的“冷”相對的面上的漢字是“靜”.4.(2013·寧夏模擬)如圖,是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)可求得這個(gè)幾何體的體積為()A.24πB.32πC.36πD.48π【解析】選A.由幾何體的三視圖知這個(gè)幾何體是圓柱體,它的體積為π×22×6=24π.5.(2013·重慶模擬)如圖,在△ABC中,DE∥AB分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,若AD=3,CD=5,則△CDE與△CAB的周長比為

.【解析】因?yàn)镈E∥AB,所以△CDE∽△CAB,所以答案:6.(2013·濱州模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,它的俯視圖為菱形.請寫出該幾何體的形狀,并根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)求出它的側(cè)面積和體積.【解析】該幾何體的形狀是直四棱柱(答直棱柱,四棱柱,棱柱也正確).由三視圖知,棱柱底面菱形的對角線長分別為4cm,3cm.∴菱形的邊長為cm,∴棱柱的側(cè)面積=×8×4=80(cm2)，棱柱的體積=×3×4×8=48(cm3).7.(2013·無錫模擬)某晚的海濱路,小明和小亮與安裝有路燈的電線桿整齊地排列在馬路的一側(cè),地面上有他們兩人在路燈燈光下的影子(如圖1所示).在圖2中,線段AB和CD分別表示小明和小亮的身高,A'B和C'D表示所對應(yīng)的影子.(1)請用尺規(guī)作圖的方法,在圖2中作出路燈O和電線桿OP的位置(不寫作法,但須保留作圖痕跡).(2)若AB=CD=180cm,A'B=270cm,C'D=120cm,BD=200cm,你能否計(jì)算出路燈O的高度?若能,請求出路燈高度;若不能,說明理由.【解析】(1)路燈O和電線桿OP如圖所示.(2)能，路燈高度是420cm.理由如下:∵CD∥PO,∴∵AB∥OP,解得:OP=420cm.答:路燈O高度為420cm.8.(2013·朝陽模擬)如圖,?ABCD中,點(diǎn)E在BA的延長線上,連接CE,與AD相交于點(diǎn)F.(1)求證:△EBC∽△CDF.(2)若BC=8,CD=3,AE=1,求AF的長.【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴△EAF∽△EBC,△EAF∽△CDF.∴△EBC∽△CDF.(2)∵△EAF∽△EBC,解得AF=2.1.(2012·牡丹江中考)如圖,在?ABCD中,過點(diǎn)B的直線與對角線AC,邊AD分別交于點(diǎn)E和F,過點(diǎn)E作EG∥BC,交AB于G,則圖中相似三角形有()A.4對B.5對C.6對D.7對【解析】選B.∵GE∥BC,∴△AGE∽△ABC,∵GE∥AF,∴△BGE∽△BAF.∵AF∥BC,∴△AEF∽△CEB,全等三角形:△ABC≌△CDA,傳遞性:△AGE∽△CDA,∴圖中相似的三角形共有5對.2.(2013·聊城中考)如圖,點(diǎn)D是△ABC的邊BC上任一點(diǎn),已知AB=4,AD=2,∠DAC=∠B.若△ABD的面積為a,則△ACD的面積為()【解析】選C.由已知∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，∴△DAC∽△ABC，即S△ABC=4S△DAC，∴S△ABD=3S△DAC，∴S△DAC=3.(2013·麗水中考)用3個(gè)相同的立方塊搭成的幾何體如圖所示,則它的主視圖是()【解析】選A.幾何體的三視圖是從三個(gè)方向再現(xiàn)物體三個(gè)方向上的平面圖形,主視圖是從物體的正面看,本題從正面看有兩列,第一列兩個(gè)正方形,第二列一個(gè)正方形.4.(2012·綿陽中考)把一個(gè)正五棱柱如圖擺放,當(dāng)投射線由正前方射到后方時(shí),它的正投影是()【解析】選B.當(dāng)物體的某個(gè)面平行于投影面時(shí),這個(gè)面的正投影與這個(gè)面的形狀、大小完全相同;物體正投影的形狀、大小與它相對于投影面的位置有關(guān).由正投影的概念可知,B項(xiàng)正確.5.(2012·玉林中考)如圖,正方形ABCD的兩邊BC,AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸，y軸的正半軸上,正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC的中點(diǎn)O′為中心的位似圖形,已知若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1,2),則正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是()【解析】選B.∵O′是正方形ABCD的對角線AC的中點(diǎn),AC=，∴O′(1.5,1.5),A(0,3),∵A′(1,2),∴6.(2012·郴州中考)如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),連接DE,要使△ADE∽△ACB,還需添加一個(gè)條件(只需寫一個(gè)).【解析】∵∠A=∠A,∴只要添加一對角相等或它們的夾邊對應(yīng)成比例