第二章 流體力學(xué)

第二章流體的運(yùn)動(dòng)

CHPTER2MOTIONOFFLUIDS物態(tài)(matterstate)在很小的力的作用下，各部分之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。固態(tài)solidstate液態(tài)(liquidstate)氣態(tài)gaseousstate物體內(nèi)部各部分之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的特性稱為流動(dòng)性(flowability)研究流體性質(zhì)和規(guī)律的學(xué)科稱為流體力學(xué)（hydromechanics）流體力學(xué)（hydromechanics）流體靜力學(xué)（hydrostatics）流體動(dòng)力學(xué)（hydrodynamics）液體和氣體都具有流動(dòng)性，統(tǒng)稱為流體。具有流動(dòng)性的物體稱為流體（fluid）第一節(jié)理想流體的流動(dòng)

2.1

Flowof

Idealfluid一、理想流體（IdealFluid）實(shí)際流體(realfluid)流動(dòng)性(flowability)粘滯性(viscosity)壓縮性(compressibility)突出忽略理想流體（IdealFluid）無內(nèi)摩擦、不可壓縮的流體稱為理想流體二、定常流動(dòng)（Steadyflow）

1.定常流動(dòng)（Steadyflow）流體粒子（fluidparticle）以流體粒子在空間的運(yùn)動(dòng)速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為研究對(duì)象在給定的空間點(diǎn)（x，y，z），所有通過該點(diǎn)的流體粒子的速度v可隨時(shí)間變化v=f（t）在給定時(shí)刻t，通過空間各點(diǎn)的流體粒子的速度可能相同，也可能不同

v=f（x，y，z)流體粒子的速度就代表了粒子所在處的流體的速度，它是空間坐標(biāo)（x，y，z）和時(shí)間t的函數(shù)，即v=f(x，y，z，t)流體所占空間稱為流體速度場(chǎng)（speedfieldoffluid），簡(jiǎn)稱流速場(chǎng)或流場(chǎng)（fluidfield）密度ρ

，壓強(qiáng)P，等都是時(shí)間和空間的函數(shù)ρ=f(x,y,z,t)P=f(x,y,z,t)2.定常流動(dòng)（steadyflow）流體場(chǎng)中各點(diǎn)的速度不隨時(shí)間而變的流動(dòng)叫做定常流動(dòng)，又叫做穩(wěn)定流動(dòng)v=f(x,y,z)3.流線和流管（streamlineandstreamtube）任一時(shí)刻，在流場(chǎng)中畫出一組曲線，曲線上的切線方向與流經(jīng)該點(diǎn)的流體粒子的速度方向相同，這樣的一組曲線稱為該時(shí)刻的流線。（1）流線（streamline）★穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)流線的特點(diǎn)：（1）任何兩條流線不相交；（2）流線形狀不隨時(shí)間而變，流線就是流體粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；（3）流線上各點(diǎn)的流速可以不同，但各點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而變。（2）流管(flowtube)由流線圍成的管狀體稱為流管?！锒ǔＡ鲃?dòng)時(shí)流管的特點(diǎn)：①流管內(nèi)外的流體不能交換；②流管的形狀不隨時(shí)間而變。第二節(jié)連續(xù)性方程（equationofcontinuity）1、連續(xù)性方程（equationofcontinuity）在時(shí)間

t

內(nèi),通過S2面的流體體積流出S1S2段通過S1面的流體體積進(jìn)入S1S2段S2S1(

t0)S1v1t質(zhì)量m1=1S1v1

tS2v2

t質(zhì)量m2=2S2v2

t2.質(zhì)量流量（massflowrate）m1=m2上式叫做流體作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)的連續(xù)性方程單位時(shí)間內(nèi)通過截面的流體質(zhì)量稱為質(zhì)量流量，用M表示連續(xù)性方程又稱為質(zhì)量流量守恒定律。M=ρSv單位:kg·s-11S1v1=

2

S2v2

Sv=M（constant）3.體積流量（volumetricflowrate）不可壓縮的流體，1=

2

Sv=Q（constant）S1v1=S2v2

上式為不可壓縮的流體的連續(xù)性方程。適用于不可壓縮的流體的穩(wěn)定流動(dòng)。Q表示單位時(shí)間內(nèi)通過流管內(nèi)任一截面的流體積，稱為體積流量，簡(jiǎn)稱流量。當(dāng)流體的實(shí)際流體時(shí)，由于在同一截面處中心和邊緣部分的流速不同，截面速度用平均速度。單位：m3·s-1在同一流管的任一截面處，截面積和速度的乘積不變，上式是連續(xù)性方程的一種特殊形式，又稱為體積流量守恒。S1v1=S2v2Sv=Q（constant）上式表明，截面積與流速成反比。對(duì)于不可壓縮的流體，不僅質(zhì)量守恒，體積流量也守恒。流管粗處，流速小，流線稀疏，S0，v0S1，v1S2，v2Sn，vnQ=S0v0=S1v1+S2v2+…+Snvn當(dāng)流管有n條分支時(shí)，連續(xù)性方程為流管細(xì)處，流速大，流線密集。應(yīng)用連續(xù)性方程解釋血流速度的變化規(guī)律主動(dòng)脈毛細(xì)血管大動(dòng)脈小動(dòng)脈靜脈腔靜脈速度速度30cm·s-15cm·s-11mm·s-1

18cm2

3cm2

900cm2面積主動(dòng)脈毛細(xì)血管腔靜脈第三節(jié)伯努利方程及其應(yīng)用

2.3

Bernoulli'sequationanditsapplication一、伯努利方程（Bernoulli'sequationanditsapplications）伯努利方程（Bernoulli'sequation）

任意選取流體段S1S2作為研究對(duì)象x:y:P1,v1,S1,h1

P2,v2,S2,h2該流體段受力有：重力(gravity)：外力(externalforce)：x端處的壓力為F1y端處的阻力為F2F1=P1S1與v的方向一致F2=P2S2與v的方向相反作功為0經(jīng)過時(shí)間t內(nèi)（t

0）x端移動(dòng)距離為v1△tA1=F1v1

ty端移動(dòng)距離為v2

tA2=F2v2t為正為負(fù)xy段流體移動(dòng)到xy位置F1作的功W1為F2作功為A2為=P1S1v1t

=P2S2v2t

外力作的總功為：A=A1+A2

機(jī)械能的增量

ES1v1

t=S2v2

t=VA=E

=P1S1v1

t+P2S2

v2

t=P1V-P2VE=E2-E1體積V中的質(zhì)量為mE=E2-E1將W和E代入W=△E得到

動(dòng)能重力勢(shì)能壓強(qiáng)能令或單位體積的動(dòng)能叫做動(dòng)壓強(qiáng)（dynamicalpressure），簡(jiǎn)稱動(dòng)壓?jiǎn)挝惑w積的壓強(qiáng)能稱為靜壓強(qiáng)（staticpressure），簡(jiǎn)稱靜壓或壓強(qiáng)。單位體積的重力勢(shì)能稱為位壓強(qiáng)（potentialpressure），簡(jiǎn)稱位壓=m/V表示流體的密度得伯努利方程2.方程適用條件（appliedconditionsofBernoulli'sequation）：伯努利方程表明:①理想流體的穩(wěn)定流動(dòng)；②同一細(xì)流管的各個(gè)截面或同一流線上的各點(diǎn)。

理想流體在給定的流管中作穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，單位體積的動(dòng)能、單位體積的重力勢(shì)能和單位體積的壓強(qiáng)能三者可以互相轉(zhuǎn)換，但其總和保持恒定不變。例:設(shè)流量為0.12m3s-1的水（理想流體）流過如圖所示的管子。B點(diǎn)比A點(diǎn)高2m，A點(diǎn)的截面積為100cm2，壓強(qiáng)為2×105Nm-2。B點(diǎn)的截面積為60cm2。求兩點(diǎn)的流速和點(diǎn)B的壓強(qiáng)。解：選取通過A點(diǎn)的平面作為參考平面hA=0，hB=2m根據(jù)連續(xù)性方程由伯努利方程可得3.水平管中的伯努利方程（Bernoulli'sequationappliedtohorizontaltube）水平管結(jié)論：流管粗處流速小、壓強(qiáng)大；流管細(xì)處流速大、壓強(qiáng)小。h1=h2伯努利方程變成計(jì)示壓強(qiáng)(gaugepressure)P=P-P0=ghh為管中液柱高度絕對(duì)壓強(qiáng)P與氣體的壓強(qiáng)P0的差值叫做計(jì)示壓強(qiáng)，即二、伯努利方程的應(yīng)用（ApplicationofBernoulli′sequation）1.空吸作用(suction)在管子很狹窄處，當(dāng)流速很大時(shí)，可能出現(xiàn)壓強(qiáng)小于大氣壓，此時(shí)狹窄處具有吸入外界液體或氣體的作用的現(xiàn)象叫做空吸作用。如噴霧器、水流抽氣機(jī)等2.流量計(jì)（flow-meter）S1v1=S2v2流管中1點(diǎn)的流速v1為流管中的流量Q為①測(cè)量液體的流速和流量（measurementofspeedandflow-rateofliquid）hP1-P2=g(h1-h2)=ghh為兩液柱的高度差h=h1-h2液體的流量Q為②測(cè)量氣體的流速和流量（measurementofgaseousspeedandflow-rate）=ghP1=P0+

gh1P2=P0

-

gh2P1-P2=g(h1+h2)為U型管中的液體的密度流速流量3.流速計(jì)（currentmeter）A1A2①測(cè)液體流速（speedofliquidsmeasured）流體在A2處受阻,形成流速為零的“滯止區(qū)”。流管的速度vA1處的流速v1v1=vA2處的流速v2v2=0動(dòng)壓強(qiáng)在A2處全部轉(zhuǎn)化成了靜壓強(qiáng)。h是兩管中液柱的高度差

A1A2A1A2v是管中液體的速度。將L1和L2管的組合體叫做皮托管（Pitottube）②測(cè)氣體流速（speedofgasesmeasured）為氣體密度為U形管中液體密度4.虹吸管（siphon）用于排出不能傾斜的容器中的液體的管道叫做虹吸管。hA（1）流體流速（velocityoffluid）選取A點(diǎn)D點(diǎn)為考察點(diǎn)PA=PD=P0SAvA=SBvBSA>>SBvA<<vB（2）壓強(qiáng)與高度的關(guān)系(relationbetweenpressureandheight)

在虹吸管中，選取B、C兩點(diǎn)作為研究對(duì)象高處的壓強(qiáng)較小，而低處的壓強(qiáng)則較大。

vB=vC

hC

hB

選擇A、B兩點(diǎn)作為研究對(duì)象vA

<<vBPA=P0hAhB

PB=0時(shí)，有最大值只有液體才能通過B點(diǎn)從虹吸管中流出。對(duì)水而言，

hB–hA=10m例1：水（理想流體）在截面不同的水平管中作定常流動(dòng)，出口處的截面積為管的最細(xì)處的3倍，若出口處的流速為2ms-1，問最細(xì)處的壓強(qiáng)為多少？若在此最細(xì)處開一小孔，水會(huì)不會(huì)流出來。解：3S1=S2由S1v1=S2v2得S1v1=3S1v2v1=6m·s-1=3S1×2出口處的壓強(qiáng)=8.53×10-4Pa若在此最細(xì)處開一小孔，水不會(huì)流出來。

P2=P0

例2.：如圖所示，兩個(gè)很大的開口容器B和F，盛有相同的液體，由容器B底部接一水平管子，水平管的較細(xì)部分C處連接到一豎直的E管，并使E管下端插入容器F的液體內(nèi)。假設(shè)液體是理想流體做穩(wěn)定流動(dòng)。如果管C處的橫截面積是D的一半，并設(shè)管的D處比容器B內(nèi)的液面低h。求E管中液體上升的高度H。解：根據(jù)題意SD=2SC，vC=2vD利用伯努利方程可得vD為對(duì)C管和D管的出口處的伯努利方程為PD=P0對(duì)C點(diǎn)PC=P0

-

gH

=P0

-3ghH=3h第四節(jié)粘性流體、層流、湍流

2.4viscousFluid\laminarflow\Turbulentflow一、牛頓粘性定律（Newtonviscositylaw）1.層流（laminarflow）實(shí)際流體流動(dòng)時(shí)的分層流動(dòng)狀態(tài)稱為層流，又稱為片流（穩(wěn)定流動(dòng)）2.粘性力（viscousforce）流體作層流時(shí)，相鄰兩層之間存在著切向的相互作用力，叫做粘性力或內(nèi)摩擦力3.速度梯度（velocitygradient）

FF表示流體沿x方向，在x的距離內(nèi)的平均流速變化率表示x處的流層的流速沿x方向的變化率，稱為x方向的速度梯度。

x0時(shí)v+vv，速度梯度的大小反映了在x方向，相鄰流層的流速變化快慢的程度。粘性流體在層流時(shí)，越靠近軸心處的速度梯度越小，越靠近管壁處的速度梯度越大。4.牛頓粘性定律(Newtonianviscouslaw)FS牛頓粘滯定律FFS為相鄰兩層接觸面積為x處的速度梯度5.粘滯系數(shù)（viscouscoefficient）在牛頓粘性定律中的比例系數(shù)稱為粘滯系數(shù)，它表示流體的粘性程度，因而又稱為粘度（viscosity）表示流體流動(dòng)時(shí)，單位面積上單位速度梯度具有的粘滯力的SI單位：粘滯系數(shù)與物質(zhì)的種類有關(guān)，與溫度有關(guān)液體的隨溫度的升高面降低，氣體的隨溫度的升高而升高。pa·s專用單位P（泊）1Pa·s=10P液體溫度(oC)粘滯系數(shù)(×10-3Pas)液體溫度(oC)粘滯系數(shù)(×10-5Pas)水01.792空氣01.71201.005201.82400.6561002.17酒精01.77氫氣200.88201.192511.3蓖麻油17.51225.0氦氣201.96血漿30122.7甲烷201.10血清371.0~1.4二氧化碳201.47370.9~1.23202.7表2-1一些液體的粘滯系數(shù)二、湍流、雷諾數(shù)（turbulentflow/Reynoldnumber）

1.湍流(Turbulentflow)流體雜亂無章的紊亂流動(dòng)稱為湍流（非穩(wěn)定流動(dòng)）

A2.雷諾數(shù)（Reynoldnumber）

Re<1000,層流Re>1500,湍流1000<Re<1500,流動(dòng)狀態(tài)不穩(wěn)定3.層流和湍流的不同（thedifferencebetweenthelaminarflowandtheturbulentflow)（1）層流速度小，流線形狀不隨時(shí)間而變，（2）湍流消耗的能量比層流大。湍流速度大，各層之間混雜，內(nèi)摩擦力急劇增大，克服這些內(nèi)摩擦力作功時(shí)要消耗較大的能量。（3）湍流有聲，湍流速度大，流線形狀要隨時(shí)間而變。層流無聲。三、粘性流體的伯努利方程（Bernoullisequationofviscousfluids）w為單位體積的流體從流管截面x流到截面y時(shí)因克服內(nèi)摩擦力作功所損失的能量

=+w=在等粗的水平流管中h1=h2v1=v2粘性流體的伯努利方程變?yōu)镻1=P2+w

w

=P1-P2P1、P2是長(zhǎng)為L(zhǎng)兩端的壓強(qiáng)沿著流體流動(dòng)的方向，壓強(qiáng)降低P1>P2減小的壓強(qiáng)為克服流體流動(dòng)時(shí)的內(nèi)摩擦力而作的功。粘性流體流動(dòng)時(shí)，在水平管的兩端或任意兩個(gè)截面之間必須存在著壓強(qiáng)差。否則就不能流動(dòng)。四、泊肅葉定律

（Poiseuille’slaw）1.泊肅葉定律（Poiseuille’slaw）

泊肅葉研究血液流動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)液體在等粗的圓管中做穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，液體的流量Q維德曼從理論上推導(dǎo)得到上式的比例系數(shù)為/8，上式變?yōu)?/p>

圖所示的是粘性液體在粗細(xì)均勻的水平圓管中作層流時(shí)的是流體的粘滯系數(shù)在粗細(xì)均勻的水平圓管內(nèi)作層流的粘性流體，流體流經(jīng)長(zhǎng)為L(zhǎng)、半徑為R的水平圓管時(shí)，流速隨半徑變化的關(guān)系P1、P2是長(zhǎng)為L(zhǎng)兩端的壓強(qiáng)。

將泊肅葉公式變換成表示單位長(zhǎng)度的壓強(qiáng)差或壓強(qiáng)降落，叫做壓力梯度對(duì)于一定的管道和一定的流體，是一個(gè)常數(shù)。如果能量集中在某些局部位置，這時(shí)的能量損失叫做局部能量損失。表示單位長(zhǎng)度壓強(qiáng)差相等，也表示單位體積的流體在單位長(zhǎng)度上損失的能量相同。這種能量損失叫做沿程能量損失。如彎管處，截面積突變處等的能量損失。例：

如圖所示裝置中，在等截面水平管上安裝等距離的豎直細(xì)管，其液面高度可表示該截面處的壓強(qiáng)，當(dāng)水平管中的流速為v時(shí)，求水槽液面高度h為。解：對(duì)1點(diǎn)和2點(diǎn)的粘性流體的伯努利方程=h1=H，v1=0，h2=0，v2=v，P1=P2=P012hH12hH單位長(zhǎng)度損失的能量為流體在整個(gè)4a長(zhǎng)的管損失的能量為當(dāng)h=5cm，v=1m·s-1，時(shí)（g=10m·s-2）五、斯托克斯定律

1.斯托克斯定律(Stoke’sLaw)為流體的粘滯系數(shù)f=6vR2.收尾速度（terminalvelocity）半徑為r的球形物體在粘滯系數(shù)為的流體中以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，除了受到的阻力f外，還要受到重力和浮力的作用。當(dāng)合力為零的速度叫做收尾速度或沉降速度。R為球體的半徑v為球體的運(yùn)動(dòng)速度fvR三個(gè)力阻力fF浮力G重力f+F-G=0v稱為收尾速度或沉降速度（sedimentationvelocity），f=6vRF=4R3

/3G=4R3/3為物體的密度為流體的密度1.下列各種情況的流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是：（b）答案（a）A；（b）D；（a）A.理想流體穩(wěn)定流動(dòng)；B.實(shí)際流體穩(wěn)定流動(dòng)；C.實(shí)際流體的湍流；D.流體靜止討論實(shí)際流體穩(wěn)定流動(dòng)時(shí)，斜虛線能否出現(xiàn)（b）的情形，為什么？（b）（a）2.水在粗細(xì)均勻的虹吸管中流動(dòng)時(shí)，圖中1，2，3，4點(diǎn)的壓強(qiáng)關(guān)系是：答案：CA.P1=P4>P2>P3；B.P1>P2=P3>P4；C.P1=P4>

P2=

P3；D.P1>P2>P3>P4。????12342.如圖所示，粘滯流體在等粗水平圓管中作穩(wěn)定流動(dòng)，流動(dòng)的方向向右。ABCD是上下兩面與流速方向平行的小液片，設(shè)小液片上下兩面所受的粘滯力分別為FAB與FCD,則BA.FAB向左，F(xiàn)CD向右，F(xiàn)CD=FAB；B.FAB向左，F(xiàn)CD向右，F(xiàn)CD<FAB；C.FAB向右，F(xiàn)CD向左，F(xiàn)CD=FAB；D.FAB向右，F(xiàn)CD向左，F(xiàn)CD>

FAB。ABCD答案：B3.一圓形開口容器，高70cm，截面積為600cm2，儲(chǔ)滿清水。如容器底部有一個(gè)1cm2的小孔，求該容器的水流完需要的時(shí)間t。12H已知：容器高H=70cm=0.70m容器橫截面積S1=600cm2=6.00×10-4m2

小孔的面積S2=1cm2=1.0×