第八章配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)

第八章配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)又稱混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)，其目的是合理地選擇少量試驗(yàn)點(diǎn)，通過(guò)一些不同配比的試驗(yàn)，得到指標(biāo)與成分百分比之間的回歸方程，并進(jìn)一步探討組成與指標(biāo)之間的內(nèi)在規(guī)律，方法主要有：?jiǎn)渭冃胃褡狱c(diǎn)設(shè)計(jì)、單純形重心設(shè)計(jì)、配方均勻設(shè)計(jì)。8.1配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)約束條件混料約束條件可以表示為：1如果產(chǎn)品含有三種成分，其比例分別為x1、x2、x3，則試驗(yàn)指標(biāo)y與x1、x2、x3之間的三元二次回歸方程可以表示為：8.2單純形配方設(shè)計(jì)8.2.1單純形的概念回歸方程沒(méi)有了常數(shù)項(xiàng)和二次項(xiàng)，只有一次項(xiàng)和交互項(xiàng)。第八章配方試驗(yàn)設(shè)計(jì)2單純形是指在一定空間中最簡(jiǎn)單的圖形，它是n維空間中n+1個(gè)點(diǎn)的集合所形成的最簡(jiǎn)單封閉幾何圖形，如二維空間的單純形為一個(gè)正三角形，三維空間的單純形是一個(gè)正四面體，n維空間的單純形有n+1個(gè)頂點(diǎn)。若單純形中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，則稱這種單純形為正規(guī)單純形。例如組分?jǐn)?shù)m=3的配方試驗(yàn)，各組分百分比xj(j=1,2,3)只能取在二維正規(guī)單純形——等邊三角形上：A(1,0,0)x1B(0,1,0)x2C(0,0,1)x3FA′B′C′38.2單純形配方設(shè)計(jì)等邊三角形的高為1，三角形內(nèi)任一點(diǎn)F到三邊的距離之和為1。三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別代表單一組分的混料，三條邊上的點(diǎn)表示對(duì)應(yīng)兩頂點(diǎn)純組分的二元混合物，F(xiàn)A′代表F點(diǎn)的x1，F(xiàn)B′和FC′分別代表F點(diǎn)的x2、x3。8.2.2單純形配方設(shè)計(jì)的回歸模型m種組分的d次多項(xiàng)式回歸模型如下：①一次式（d＝1）48.2單純形配方設(shè)計(jì)A(1,0,0)x1B(0,1,0)x2C(0,0,1)x3FA′B′C′②二次式（d＝2）8.2.3單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)1.單純形格子點(diǎn)的表示{m，d}表示正規(guī)單純形頂點(diǎn)數(shù)為m（也就是組分?jǐn)?shù)為m），階數(shù)為d（即每邊的等分?jǐn)?shù)）的格子點(diǎn)集。58.2單純形配方設(shè)計(jì)比如三頂點(diǎn)正規(guī)單純形的四階格子點(diǎn)集記為{3，4}。{m，d}格子點(diǎn)集中共有個(gè)點(diǎn)，正好與回歸方程中待估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)相等，所以單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)是飽和設(shè)計(jì)。常用單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)與m、d之間的關(guān)系見(jiàn)書P146表9－1。2.單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的確定（1）無(wú)約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)無(wú)約束配方設(shè)計(jì)中，每種組分xj可以在0~1范圍內(nèi)變化，其取值與階數(shù)d有關(guān)，為1/d的倍數(shù)，即：68.2單純形配方設(shè)計(jì)無(wú)約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)自然變量與規(guī)范變量相等，即xj=zj，不必區(qū)分規(guī)范變量與自然變量。單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表可參考書P228附錄9。（2）有約束單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)混料組分除了受下式約束外：還受其他約束條件限制：78.2單純形配方設(shè)計(jì)有上下界約束的配方試驗(yàn)其試驗(yàn)空間是正規(guī)單純形內(nèi)的一個(gè)凸幾何體，如m=3的有上下界約束的混料試驗(yàn)區(qū)間如下：88.2單純形配方設(shè)計(jì)z2a3x1x2x3z1z3a1a2在選用單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)前，應(yīng)將自然變量轉(zhuǎn)化為規(guī)范變量：98.2單純形配方設(shè)計(jì)這里只介紹有下界約束的單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)，因?yàn)榇藭r(shí)試驗(yàn)范圍為原正規(guī)單純形內(nèi)的一個(gè)規(guī)則單純形（如右圖所示），所以仍可使用單純形設(shè)計(jì)。aj為各自然變量對(duì)應(yīng)的最小值（下界）：3.單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)基本步驟(1)明確試驗(yàn)指標(biāo)，確定混料組分(2)選擇單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表，進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)根據(jù)配方試驗(yàn)中的組分?jǐn)?shù)m和所確定的階數(shù)d，選擇相應(yīng)的{m，d}單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表。設(shè)計(jì)表中的數(shù)值為規(guī)范變量zj，然后據(jù)此計(jì)算出自然變量xj的取值，并列出試驗(yàn)方案。(3)回歸方程的建立根據(jù)單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)表選擇相應(yīng)的回歸模型，直接將每號(hào)試驗(yàn)的編碼及試驗(yàn)結(jié)果代入對(duì)應(yīng)的回歸模型，就可求出各回歸系數(shù)。108.2單純形配方設(shè)計(jì)(4)最優(yōu)配方的確定根據(jù)回歸方程以及有關(guān)約束條件，通過(guò)Excel中的“規(guī)劃求解”工具，可以預(yù)測(cè)最佳的試驗(yàn)指標(biāo)值及其對(duì)應(yīng)zj的最佳取值，將其轉(zhuǎn)換成自然變量，就可得到最優(yōu)配方。(5)回歸方程的回代如果各組分xj無(wú)約束，則不需要轉(zhuǎn)換，如果各組分xj有下界約束，需將y與zj的回歸方程轉(zhuǎn)換成y與xj的回歸方程。具體例子見(jiàn)書P148~149例9－1。118.2單純形配方設(shè)計(jì)P148~149例9－1{3，2}單純形格子點(diǎn)設(shè)計(jì)方案及試驗(yàn)結(jié)果：試驗(yàn)號(hào)z1z2z3評(píng)分y1234561001/21/200101/201/200101/21/26.55.57.58.56.85.4128.2單純形配方設(shè)計(jì)由1＃試驗(yàn)得：由2＃試驗(yàn)得：由3＃試驗(yàn)得：由4＃試驗(yàn)得：由5＃試驗(yàn)得：由6＃試驗(yàn)得：138.2單純形配方設(shè)計(jì)通過(guò)Excel規(guī)劃求解可知z1=0.55，z2=0.45，z3=0時(shí)y取得最大值8.525，即x1=0.495，x2=0.405，x3=0.1時(shí)y取得最大值8.525。8.2.4單純形重心設(shè)計(jì)1、單純形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案的確定單純形重心設(shè)計(jì)就是將試驗(yàn)點(diǎn)安排在單純形的重心上。148.2單純形配方設(shè)計(jì)m維的單純形重心設(shè)計(jì)共有2m-1個(gè)重心，即試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)為2m-1個(gè)。單純形重心設(shè)計(jì)方案的確定可以直接參考單純形重心設(shè)計(jì)表（見(jiàn)書P228~229附錄10）。具體例子見(jiàn)書P150~151例9－2。15試驗(yàn)號(hào)x1x2x3x4y試驗(yàn)號(hào)x1x2x3x4y1234567810000.50.50.5001000.5000.5001000.500.50001000.501.825.428.638.54.93.123.73.49101112131415000.330.330.3300.250.500.330.3300.330.2500.50.3300.330.330.250.50.500.330.330.330.2537.410.722.02.42.511.10.88.2單純形配方設(shè)計(jì)將上表中的15個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入上式即可得到相應(yīng)的偏回歸系數(shù)，從而得到如下的回歸方程：168.2單純形配方設(shè)計(jì)8.3配方均勻設(shè)計(jì)單純形配方設(shè)計(jì)雖然簡(jiǎn)單，但是試驗(yàn)點(diǎn)在試驗(yàn)范圍內(nèi)的分布并不十分均勻，而且試驗(yàn)邊界上的試驗(yàn)點(diǎn)過(guò)多，為了克服上述缺點(diǎn)，可以運(yùn)用配方均勻設(shè)計(jì)。配方均勻設(shè)計(jì)表可參考書P229~239附錄11。配方均勻設(shè)計(jì)表規(guī)定了每號(hào)試驗(yàn)中每種組分的百分比，這些試驗(yàn)點(diǎn)均勻地分散在試驗(yàn)范圍內(nèi)，用配方均勻設(shè)計(jì)表安排好試驗(yàn)后，獲得試驗(yàn)指標(biāo)yi的值。由于配方均勻設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)分布比較均勻，所以試驗(yàn)結(jié)果的分析可用直觀分析法直接選用其中最好的試驗(yàn)點(diǎn)作為最優(yōu)配方。也可利用“試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸分析”章節(jié)的知識(shí)建立回歸方程，然后利用Excel“規(guī)劃求解”工具由回歸方程確定最優(yōu)178.2單純形配方設(shè)計(jì)配方及對(duì)應(yīng)的指標(biāo)值。注意：利用回歸分析法分析配方均勻設(shè)計(jì)結(jié)果，在選擇配方均勻設(shè)計(jì)表時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)多于回歸方程系數(shù)的個(gè)數(shù)。具體例子見(jiàn)書P153例9－3。188.3配方均勻設(shè)計(jì)試驗(yàn)號(hào)x1x2y試驗(yàn)號(hào)x1x2y123456780.8170.6840.5920.5170.4520.3940.3420.2930.0550.1790.3400.0480.2010.3840.5920.1188.5089.4649.9359.40010.6809.7489.69810.23891011121314150.2470.2040.1630.1240.0870.0510.0170.3260.5570.8090.2040.4560.7270.0339.8099.7328.9339.9719.8818.89210.139三元二次回歸方程應(yīng)該如下：通過(guò)變量代換，可利用多元線性回歸方程的建立方式得到具體的回歸方程。也可以利用Excel中回歸工具建立回歸方程，利用規(guī)劃求解得到最優(yōu)化的試驗(yàn)方案。198.3配方均勻設(shè)計(jì)利用回歸工具建立回歸方程：20利用Excel建立回歸方程21利用Excel建立回歸方程22利用Excel建立回歸方程23利用Excel建立回歸方程24利用Excel建立回歸方程25利用Excel建立回歸方程26利用Excel建立回歸方程回歸方程高度顯著，其R＝0.90027利用Excel建立回歸方程利用Excel規(guī)劃求解工具尋找最優(yōu)化的試驗(yàn)方案：28利用Excel規(guī)劃求解尋找最優(yōu)化方案29利用Excel規(guī)劃求解尋找最優(yōu)化方案30利用Excel規(guī)劃求解尋找最優(yōu)化方案31利用Excel規(guī)劃求解尋找最優(yōu)化方案32利用Excel規(guī)劃求解尋找最優(yōu)化方案33利