第八章無窮級數

機動目錄上頁下頁返回結束§8.1常數項級數的概念與性質§8.2正項級數§8.4冪級數§8.3任意項級數第八章無窮級數

§8.1常數項級數的概念和性質一、常數項級數的概念二、級數的基本性質機動目錄上頁下頁返回結束一、常數項級數的概念機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束一般地，對于給定的數列稱機動目錄上頁下頁返回結束定義8.1機動目錄上頁下頁返回結束例1解該級數的前n項部分和為機動目錄上頁下頁返回結束綜上討論,機動目錄上頁下頁返回結束例2解因為從而機動目錄上頁下頁返回結束例3證明利用不等式可得從而推出機動目錄上頁下頁返回結束例4解機動目錄上頁下頁返回結束二、級數的基本性質性質8.1證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束性質8.2證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束由例1和例2可知，機動目錄上頁下頁返回結束性質8.3證明機動目錄上頁下頁返回結束性質8.4機動目錄上頁下頁返回結束

對于收斂級數，可以對它的項任意加括號，但要注意不能改變相關項的次序.注意1注意2

加括號后的級數收斂，不能推得原級數收斂（即性質的逆命題不一定成立）.收斂，且和為零，但原級數發(fā)散的.機動目錄上頁下頁返回結束性質8.5證明機動目錄上頁下頁返回結束

（2）一般項趨于零只是級數收斂的必要條件，而非充分條件.注意（1）如果級數的一般項不趨于零,則級數發(fā)散;因此這個級數發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結束

§8.2正項級數機動目錄上頁下頁返回結束各項都非負的級數，通常稱為正項級數.定義各項都非正的級數，通常稱為負項級數.正項級數、負項級數統(tǒng)稱為保號級數.即正項級數的部分和數列單調增加.機動目錄上頁下頁返回結束定理8.1證明機動目錄上頁下頁返回結束定理8.2證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例1解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例2解因為機動目錄上頁下頁返回結束例3解機動目錄上頁下頁返回結束定理8.3機動目錄上頁下頁返回結束證明機動目錄上頁下頁返回結束定理8.3表明，

無窮級數收斂與否最終取決于級數一般項趨于零的速度，即無窮小量階的大小.例2中，方法：通過無窮小量（或無窮大量）的等價關系,進而利用已知級數的斂散性判別.機動目錄上頁下頁返回結束例4解

因為例5解因為機動目錄上頁下頁返回結束定理8.4證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例6解由于機動目錄上頁下頁返回結束例7解

由于機動目錄上頁下頁返回結束定理8.5證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例8解因為機動目錄上頁下頁返回結束定理8.6證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例9解

因為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結束

§8.3任意項級數機動目錄上頁下頁返回結束定義8.2例如，機動目錄上頁下頁返回結束定理8.7證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例1解由于機動目錄上頁下頁返回結束例2解機動目錄上頁下頁返回結束定理8.8證明機動目錄上頁下頁返回結束定義8.3例3解機動目錄上頁下頁返回結束注意定理8.8的逆命題不成立,例如，發(fā)散.綜上,機動目錄上頁下頁返回結束例4證明機動目錄上頁下頁返回結束例5解機動目錄上頁下頁返回結束綜上,機動目錄上頁下頁返回結束常數項級數收斂性的判別應注意1.一般項是否趨于零，

對于保號級數，可采用正項級數判別法判別;若不趨于零，則可判定級數發(fā)散;若趨于零，則需作進一步判定.2.級數的符號特征.對于任意項級數，則可采用上述任意項級數判別步驟進行.3.注意各種判別法使用的范圍和特點.機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結束

§8.4冪級數一、函數項級數的概念二、冪級數及其收斂性三、冪級數的基本性質四、泰勒級數及其應用機動目錄上頁下頁返回結束一、函數項級數的概念機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束注意兩者是不同的函數.機動目錄上頁下頁返回結束二、冪級數及其收斂性機動目錄上頁下頁返回結束例1解機動目錄上頁下頁返回結束解例2機動目錄上頁下頁返回結束例3解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束證明定理8.9機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束定理8.10機動目錄上頁下頁返回結束證明機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例4解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例5解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束三、冪級數的基本性質定理8.11定理8.12機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例6解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例7解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束四、泰勒級數及其應用求下列冪級數的和函數得就是說函數f(x)在其收斂域內能展開成冪級數.問題:2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數?等式反過來寫即為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束定理8.13機動目錄上頁下頁返回結束逐項求導任意次,得泰勒系數是唯一的,機動目錄上頁下頁返回結束例8解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例9解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束以上方法稱為直接展開法2.3.1.機動目錄上頁下頁返回結束4.間接展開法：

根據唯一性,利用常見展開式,通過變量代換、四則運算、恒等變形、逐項求導、逐項積分等方法，求展開式.機動目錄上頁下頁返回結束例10解機動目錄上頁下頁返回結束例11解注意機動目錄上頁下頁返回結束以下結論可以使用：則有逐項求積公式機動目錄上頁下頁返回結束從而例12解因為機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例13解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束例14解機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束作業(yè)機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁