第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束§8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)§8.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)§8.4冪級(jí)數(shù)§8.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)

§8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一般地，對(duì)于給定的數(shù)列稱機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義8.1機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1解該級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束綜上討論,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2解因?yàn)閺亩鴻C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3證明利用不等式可得從而推出機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)8.1證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束性質(zhì)8.2證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由例1和例2可知，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束性質(zhì)8.3證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束性質(zhì)8.4機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

對(duì)于收斂級(jí)數(shù)，可以對(duì)它的項(xiàng)任意加括號(hào)，但要注意不能改變相關(guān)項(xiàng)的次序.注意1注意2

加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂，不能推得原級(jí)數(shù)收斂（即性質(zhì)的逆命題不一定成立）.收斂，且和為零，但原級(jí)數(shù)發(fā)散的.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束性質(zhì)8.5證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

（2）一般項(xiàng)趨于零只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件，而非充分條件.注意（1）如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§8.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束各項(xiàng)都非負(fù)的級(jí)數(shù)，通常稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定義各項(xiàng)都非正的級(jí)數(shù)，通常稱為負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù).正項(xiàng)級(jí)數(shù)、負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)統(tǒng)稱為保號(hào)級(jí)數(shù).即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列單調(diào)增加.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.1證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.2證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2解因?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.3機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.3表明，

無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與否最終取決于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)趨于零的速度，即無(wú)窮小量階的大小.例2中，方法：通過(guò)無(wú)窮小量（或無(wú)窮大量）的等價(jià)關(guān)系,進(jìn)而利用已知級(jí)數(shù)的斂散性判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4解

因?yàn)槔?解因?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.4證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6解由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7解

由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.5證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8解因?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.6證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9解

因?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§8.3任意項(xiàng)級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義8.2例如，機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.7證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1解由于機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.8證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義8.3例3解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意定理8.8的逆命題不成立,例如，發(fā)散.綜上,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束綜上,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別應(yīng)注意1.一般項(xiàng)是否趨于零，

對(duì)于保號(hào)級(jí)數(shù)，可采用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法判別;若不趨于零，則可判定級(jí)數(shù)發(fā)散;若趨于零，則需作進(jìn)一步判定.2.級(jí)數(shù)的符號(hào)特征.對(duì)于任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，則可采用上述任意項(xiàng)級(jí)數(shù)判別步驟進(jìn)行.3.注意各種判別法使用的范圍和特點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

§8.4冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)四、泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意兩者是不同的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解例2機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明定理8.9機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.10機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)定理8.11定理8.12機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)得就是說(shuō)函數(shù)f(x)在其收斂域內(nèi)能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).問(wèn)題:2.展開(kāi)式是否唯一?3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?等式反過(guò)來(lái)寫(xiě)即為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理8.13機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)是唯一的,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束以上方法稱為直接展開(kāi)法2.3.1.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.間接展開(kāi)法：

根據(jù)唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換、四則運(yùn)算、恒等變形、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等方法，求展開(kāi)式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11解注意機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束以下結(jié)論可以使用：則有逐項(xiàng)求積公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束從而例12解因?yàn)闄C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例14解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)