第11章動(dòng)量定理

第十一章動(dòng)量定理1質(zhì)心的位置坐標(biāo)：1、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心內(nèi)力與外力（1）質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表征質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布情況的一個(gè)重要概念。xzyCiCxCyCzCxiyizi與重心坐標(biāo)相似。Omi§11-1動(dòng)量與沖量2質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念，質(zhì)心比重心具有更廣泛的力學(xué)意義。在重力場中，質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心與重心的位置重合。可采用靜力學(xué)確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。位置求法概念明確（1）質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心3（2）質(zhì)點(diǎn)系的外力與內(nèi)力所考察的質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的力。所考察的質(zhì)點(diǎn)系以外的物體作用于該質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的力。外力：內(nèi)力：對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，內(nèi)力系對任一點(diǎn)（或軸）的主矩恒等于零。即：m1m24動(dòng)量是度量物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱程度的一個(gè)物理量。例：槍彈：速度大，質(zhì)量??；2、動(dòng)量（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量：質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。瞬時(shí)矢量（狀態(tài)量）方向與速度相同單位是kgm/s。船：速度小，質(zhì)量大。5設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn) ，則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與其質(zhì)心速度的乘積。(2)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量：動(dòng)量系的主矢剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，對于單個(gè)剛體：6剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)系，對于單個(gè)剛體：OCCCr

各個(gè)剛體質(zhì)量為m，求其動(dòng)量。71Cvr例題：曲柄連桿機(jī)構(gòu)：OA以

轉(zhuǎn)動(dòng)＝常量，OA=AB=l,曲柄OA及連桿AB都是勻質(zhì)桿,質(zhì)量各為m,滑塊B的質(zhì)量也為m。求當(dāng)=45o時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量。ABP解：OAB45曲柄OA：滑塊B：連桿AB：質(zhì)量m質(zhì)量m質(zhì)量m2Cvr=45o─xyC1C28例如，推動(dòng)車子時(shí)，較大的力用較短的時(shí)間，與較小的力用較長的時(shí)間，可得到同樣的速度。（1）常力：3．沖量力與其作用時(shí)間的乘積稱為力的沖量。沖量表示力在其作用時(shí)間內(nèi)對物體作用的累積效應(yīng)的度量。（包括大小和方向的變化）元沖量：沖量：（2）變力：過程量等于各分力沖量的矢量和。沖量的單位：同動(dòng)量（3）合力的沖量：9§11－2動(dòng)量定理1、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力。（在某一時(shí)間間隔內(nèi)，動(dòng)量的增量等于力在該時(shí)間內(nèi)的沖量）微分形式：（動(dòng)量的微分等于力的元沖量）積分形式：注意：當(dāng)v1＝0時(shí)，不可以說動(dòng)量等于沖量。101、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理微分形式：積分形式：投影形式：若，則常矢量，質(zhì)點(diǎn)作慣性運(yùn)動(dòng)。具體計(jì)算用投影形式：若，則常量，質(zhì)點(diǎn)沿x軸的運(yùn)動(dòng)是慣性運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量守恒112．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理對整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系：對質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)i，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量（微分）等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。12質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的微分等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有外力元沖量的矢量和。在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力在同一時(shí)間間隔內(nèi)的沖量的矢量和。-積分形式?微分形式

設(shè)t0＝0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量為；在t時(shí)刻動(dòng)量為，則2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

13-積分形式?微分形式2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理

具體計(jì)算用投影形式：只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，內(nèi)力不能改變整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但可以引起系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的傳遞。14O2eO1xym1gm2gv例11-1電動(dòng)機(jī)外殼固定在水平基礎(chǔ)上，定子和外殼的質(zhì)量為m1，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m2，定子和機(jī)殼質(zhì)心O1，轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2，O1O2＝e角速度為常量。求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力。15解:研究對象：受力分析：運(yùn)動(dòng)分析：建立坐標(biāo)系如圖定子質(zhì)心O1速度為零。轉(zhuǎn)子作圓周運(yùn)動(dòng)例11-1已知：m1，m2，O1O2＝e，＝常量。求基礎(chǔ)的水平及鉛直約束力。O2eO1電機(jī)外殼、定子和轉(zhuǎn)子）如圖vFyM0m1gm2gFxxy利用動(dòng)量定理：系統(tǒng)的動(dòng)量：解得：約束力偶用以后所學(xué)的知識求！轉(zhuǎn)子質(zhì)心O2的速度16O2eO1xym1gm2gv分析結(jié)果：稱為靜約束力電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的約束力稱動(dòng)約束力。電機(jī)不轉(zhuǎn)時(shí)Fx＝0Fy＝(m1+m2)g方向:動(dòng)約束力-靜約束力=附加動(dòng)約束力附加動(dòng)約束力：方向:將會(huì)引起電機(jī)和基礎(chǔ)的振動(dòng)。173．質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定律如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的主矢恒等于零如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力主矢在某一坐標(biāo)軸上的投影恒等于零。內(nèi)力雖不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量，但是可改變質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。18質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的實(shí)例：在靜止水面上有一只不動(dòng)的小船，人與船一起組成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系。水的阻力很小略去不計(jì)。當(dāng)人從船頭向船尾走去的同時(shí)，船身一定向相反方向移動(dòng)。在水平方向只有人與船相互作用的內(nèi)力，沒有外力，因此質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量在水平方向保持不變；當(dāng)人獲得向后的動(dòng)量時(shí)，船必須獲得向前的動(dòng)量，以保持總動(dòng)量恒等于零。19當(dāng)火藥在槍膛內(nèi)爆炸時(shí)，作用于子彈的壓力是內(nèi)力，它使子彈獲得向前的動(dòng)量，同時(shí)氣體壓力使槍體獲得向后的動(dòng)量(反座現(xiàn)象)。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒的實(shí)例：子彈與槍體組成質(zhì)點(diǎn)系。在射擊前，動(dòng)量等于零。當(dāng)槍在水平方向沒有外力時(shí)，這個(gè)方向總動(dòng)量恒保持為零。噴氣式飛機(jī)和火箭在不考慮空氣阻力水平飛行時(shí)，都按照動(dòng)量守恒的規(guī)律運(yùn)動(dòng)。20例11—3物塊A可沿光滑水平面自由滑動(dòng)，其質(zhì)量為mA，小球B的質(zhì)量為mB，以細(xì)桿與物塊鉸接，如圖。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0，釋放后，細(xì)桿近似以規(guī)律擺動(dòng)（為已知常數(shù))，求物塊A的最大速度。A21系統(tǒng)水平方向不受外力，沿水平方向動(dòng)量守恒。解：研究對象：物塊和小球。受力分析：例11—3物塊A質(zhì)量為mA，小球B質(zhì)量為mB。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，并有初始擺角0，釋放后，（為已知常數(shù))，求物塊A的最大速度。A運(yùn)動(dòng)分析：物塊平動(dòng)。相對運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)小球合成運(yùn)動(dòng)。絕對運(yùn)動(dòng)：平面曲線在水平方向投影小球絕對速度與圖相反，說明小球向相反方向運(yùn)動(dòng)。計(jì)算代符號牽連運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)022解：例11—3物塊A質(zhì)量為mA，小球B的質(zhì)量為mB。設(shè)桿長為l，質(zhì)量不計(jì)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，初始擺角0，釋放后，細(xì)桿以規(guī)律擺動(dòng)（為已知常數(shù))，求物塊A的最大速度。＝0。當(dāng)t＝90o時(shí)，研究對象：物塊和小球。受力分析：運(yùn)動(dòng)分析：根據(jù)動(dòng)量守恒定律px＝恒量A此時(shí)小球速度向左向右A系統(tǒng)沿水平方向動(dòng)量守恒。而px＝0A＝0，vmax值負(fù)，向右。t＝270o，vr為正，向左。23質(zhì)心的位置坐標(biāo)：1、質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心xzyCiCxCyCzCxiyiziOmi§12-3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在重力場，質(zhì)心與重心重合。離開重力場，重心沒有意義，而質(zhì)心坐標(biāo)永遠(yuǎn)不變。質(zhì)心在動(dòng)力學(xué)有著重要意義。24質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程為——任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)COBA例11-4已知:為常量,均質(zhì)桿OA

=AB

=，兩桿質(zhì)量皆為，滑塊B

質(zhì)量。求:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程,軌跡,系統(tǒng)動(dòng)量。xy設(shè)t=0，OA水平，則＝t。消去t得軌跡方程解:質(zhì)心一般不在某個(gè)物體上，而是空間的某一特定點(diǎn)。25沿x，y軸的投影:系統(tǒng)動(dòng)量的大小為:系統(tǒng)動(dòng)量的方向與質(zhì)心速度的方向一致，沿軌跡切線。OBA例11-4已知:為常量,均質(zhì)桿OA

=AB

=，兩桿質(zhì)量皆為，滑塊B

質(zhì)量。求:質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程,軌跡,系統(tǒng)動(dòng)量。xyC解:求系統(tǒng)動(dòng)量262、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理將代入到質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，得若質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量不變或質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量與加速度的乘積，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。投影形式：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程）27由于剛體或剛體系統(tǒng)的質(zhì)心易于確定，常用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來解決剛體（系統(tǒng)）的動(dòng)力學(xué)問題。1）已知外力求質(zhì)心運(yùn)動(dòng)2）已知運(yùn)動(dòng)求力（尤其是約束反力）28說明：與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程形式相似，但應(yīng)用更廣泛。在探討一些理論問題和結(jié)決實(shí)際問題時(shí)簡單明了。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)量定理的另一種表現(xiàn)形式。放在水平面的靜止圓盤，受力偶作用如何運(yùn)動(dòng)？圓盤質(zhì)心不動(dòng)，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，與力偶的作用位置無關(guān)。29只有外力才能改變質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng),內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，但可以改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。擴(kuò)大了質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)用范圍。對于任意一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，無論它作什么形式的運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可以看成為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，并設(shè)想把整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量都集中在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上，所有外力也集中作用在質(zhì)心這個(gè)點(diǎn)上。說明：從動(dòng)輪主動(dòng)輪m30解:研究對象：受力分析：運(yùn)動(dòng)分析：建立坐標(biāo)系如圖整個(gè)機(jī)構(gòu)只畫水平方向受力利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：Fx質(zhì)心x坐標(biāo)xy最大水平約束力解得DCBbA

F例11-5已知：AB＝r，質(zhì)量m1，ω＝常量，滑槽連桿活塞總質(zhì)量為m2,質(zhì)心在點(diǎn)C

，恒力F。求A處最大水平約束力Fx。31利用動(dòng)量定理：系統(tǒng)的動(dòng)量：DCBbA

FxyFx設(shè)t=0時(shí)AB水平，討論B點(diǎn)速度：AB質(zhì)心速度：另解:研究對象—受力分析—運(yùn)動(dòng)分析—坐標(biāo)系滑槽連桿活塞質(zhì)心速度：32質(zhì)心位置守恒。質(zhì)心在x軸的位置坐標(biāo)保持不變。質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心沿x方向速度不變