第五章-大數(shù)定律-中心極限定理

第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理問(wèn)題1擲一顆均勻的正六面體的骰子,出現(xiàn)幺點(diǎn)的概率是1/6,在擲的次數(shù)比較少時(shí),出現(xiàn)幺點(diǎn)的頻率可能與1/6相差得很大.但是在擲的次數(shù)很多時(shí),出現(xiàn)幺點(diǎn)的頻率接近1/6幾乎是必然的.§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理即大量測(cè)量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性。這就是大數(shù)定律所闡述的內(nèi)容。測(cè)量的經(jīng)驗(yàn)就是：?jiǎn)栴}2：測(cè)量一個(gè)工件時(shí)，由于測(cè)量具有誤差，為什么以各次的平均值來(lái)作為測(cè)量的結(jié)果？而且只要測(cè)量的次數(shù)足夠多，總可以達(dá)到要求的精度？這兩個(gè)例子說(shuō)明：

在大量隨機(jī)現(xiàn)象中,不僅看到了隨機(jī)事件的頻率具有穩(wěn)定性,而且還看到大量測(cè)量值的平均結(jié)果也具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性就是本章所要討論的大數(shù)定律的客觀背景。即,無(wú)論個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果如何,或者它們?cè)谶M(jìn)行過(guò)程中的個(gè)別特征如何,大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果實(shí)際上與每一個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無(wú)關(guān),并且?guī)缀醪辉偈请S機(jī)的了。

大數(shù)定律以確切的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了這種規(guī)律性,并論證了它成立的條件,即從理論上闡述了這種大量的、在一定條件下的、重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的規(guī)律性即穩(wěn)定性.第五章大數(shù)定律及中心極限定理§1大數(shù)定律（Lawof

BigNumbers）大數(shù)定律的定義切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽定律§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義1a是一個(gè)常數(shù)；若對(duì)任意想想：數(shù)列的收斂性定義，比較數(shù)列與隨機(jī)變量序列

收斂性的區(qū)別。一、定義意思是:,當(dāng)而意思是:當(dāng)a時(shí),Yn落在內(nèi)的概率越來(lái)越大.§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理0依概率收斂的性質(zhì)：第五章大數(shù)定律及中心極限定理定義2§1大數(shù)定律定理1(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)X1,X2…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,各有數(shù)學(xué)期望E(X1),E(X2),…及方差D(X1),D(X2),…并且對(duì)于所有k=1,2,…都有D(Xk)<ι,其中ι是與k無(wú)關(guān)的常數(shù),則任給ε>0,有隨機(jī)變量的算術(shù)平均值隨機(jī)變量期望的算術(shù)平均值將比較密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近.它與數(shù)學(xué)期望之差,當(dāng)時(shí)n→∞,依概率收斂到0.這就是大數(shù)定律.切比雪夫定理為這一定律作出了精確的數(shù)學(xué)公式.切比雪夫定理說(shuō)明:在定理的條件下,當(dāng)n充分大時(shí),n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度是很小的.這意味,經(jīng)過(guò)算術(shù)平均后得到的隨機(jī)變量§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（切比雪夫Chebyshev大數(shù)定律的特殊情形）

且具有相同的數(shù)學(xué)期望及方差，這說(shuō)明：在定理成立的條件下，n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值，當(dāng)n無(wú)限增加時(shí)，將幾乎變成一個(gè)常數(shù)?！?大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理由切比雪夫不等式得：證：第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理3（伯努利Bernoulli大數(shù)定律）證：令§1大數(shù)定律即，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無(wú)限增加時(shí),事件A的頻率依概率收斂于它的概率P(A).切比雪夫定理的一個(gè)推論：第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理2有該定理給出了頻率的穩(wěn)定性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義?！?大數(shù)定律§1大數(shù)定律第五章大數(shù)定律及中心極限定理注：伯努利大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況。定理4（辛欽大數(shù)定律）且具有數(shù)學(xué)期望比較辛欽大數(shù)定律與切比雪夫大數(shù)定律條件的差別及強(qiáng)弱。是不完全相同的.這些結(jié)果可以看作是服從同一分布并且期望值為μ的n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1,X2…Xn的試驗(yàn)數(shù)值。由定理4可知,當(dāng)n充分大時(shí),取這一定理使算術(shù)平均值的法則有了理論依據(jù).假使要測(cè)量某一個(gè)物理量μ,在不變的條件下重復(fù)測(cè)量n次,得到的觀測(cè)值作為的μ近似值,可以認(rèn)為所發(fā)生的誤差是很小的,即對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)變量X進(jìn)行n次獨(dú)立觀察,則所有觀察結(jié)果的算術(shù)平均數(shù)依概率收斂于隨機(jī)變量的期望值.大數(shù)定律告訴我們兩個(gè)結(jié)論:對(duì)于同一隨機(jī)變量X的隨機(jī)變量序列1.隨機(jī)變量的算術(shù)平均值2.隨機(jī)事件的頻率第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理棣莫佛-拉普拉斯定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)第五章大數(shù)定律及中心極限定理在實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的。而其中每一個(gè)別因素在總的影響中所起的作用都是微小的。這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。這種現(xiàn)象就是中心極限定理的客觀背景。正態(tài)分布在隨機(jī)變量的各種分布中,占有特別重要的地位.在某些條件下,即使原來(lái)并不服從正態(tài)分布的一些獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的和的分布,當(dāng)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)無(wú)限增加時(shí),也是趨于正態(tài)分布的.中心極限定理是討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類(lèi)定理?！?中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理一、定義§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理1（獨(dú)立同分布的中心極限定理(Levy-Lindeberg)）中心極限定理說(shuō)明了正態(tài)分布的重要地位，它也是統(tǒng)計(jì)學(xué)中處理大樣本時(shí)的重要工具。二、中心極限定理（CentralLimitTheorem）在一般情況下,很難求出n個(gè)隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)，根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n充分大時(shí)，可以通過(guò)正態(tài)分布給出其近似的分布?！?中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2（李雅普諾夫定理）(Liapunov定理)則服從中心極限定理，即：

這個(gè)定理的實(shí)際意義是:如果一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象由眾多的隨機(jī)因素所引起,每一因素在總的變化里起著不顯著的作用,就可以推斷,描述這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量近似的服從正態(tài)分布.由于這些情況很普遍,所以有相當(dāng)多一類(lèi)隨機(jī)變量遵從正態(tài)分布,從而正態(tài)分布成為概率統(tǒng)計(jì)中最重要的分布.這個(gè)定理對(duì)離散的和連續(xù)的隨機(jī)變量都適用.§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理定理2表明，在定理的條件下，隨機(jī)變量第五章大數(shù)定律及中心極限定理由定理1有結(jié)論成立。定理3（棣莫佛-拉普拉斯定理）(DeMoivre--Laplace)證明：由二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系知其中相互獨(dú)立且都服從于兩點(diǎn)分布，且§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理推論：說(shuō)明：這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率

計(jì)算方法。定理（拉普拉斯定理）（1）局部極限定理：當(dāng)n→∞時(shí)（2）(積分極限定理)：當(dāng)n→∞時(shí)二項(xiàng)分布的近似分布§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例1車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床，它們獨(dú)立地工作著，開(kāi)工率為0.6,開(kāi)工時(shí)耗電各為1千瓦，問(wèn)供電所至少要供給這個(gè)車(chē)間多少電力才能以99.9%的概率保證這個(gè)車(chē)間正常生產(chǎn)。設(shè)至少要供給這個(gè)車(chē)間r千瓦電才能以99.9%的概率保證這個(gè)車(chē)間正常生產(chǎn)。由題意有解：記某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù)為X，則X~B(200,0.6).第五章大數(shù)定律及中心極限定理即供給141千瓦電就能以99.9%的概率保證這個(gè)車(chē)間正常生產(chǎn)。§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理用頻率估計(jì)概率時(shí)誤差的估計(jì)：由棣莫佛-拉普拉斯定理知§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理第一類(lèi)問(wèn)題是第二類(lèi)問(wèn)題是問(wèn)最少應(yīng)做多少次試驗(yàn)？這時(shí)只需求滿(mǎn)足下式的最小的n,第三類(lèi)問(wèn)題是用這個(gè)關(guān)系式可解決許多計(jì)算問(wèn)題?！?中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例2今從良種率為1/6的種子中任取6000粒，問(wèn)能以0.99的概率保證在這6000粒種子中良種所占的比例與1/6的差的絕對(duì)值不超過(guò)多少？相應(yīng)的良種粒數(shù)在哪個(gè)范圍內(nèi)？解：由棣莫佛-拉普拉斯定理（第三類(lèi)問(wèn)題）第五章大數(shù)定律及中心極限定理故近似地有§2中心極限定理§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理良種粒數(shù)X的范圍為§2中心極限定理第五章大數(shù)定律及中心極限定理例3系統(tǒng)由100個(gè)相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個(gè)部件的損壞率為0.1。系統(tǒng)要正常工作，至少有85個(gè)部件正常工作，求系統(tǒng)正常工作的概率。解：由棣莫佛-拉普拉斯定理有則X~B(100,0.1)。則整個(gè)系統(tǒng)能正常工作當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)X是損壞的部件數(shù)，一生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車(chē)承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。例5解：設(shè)最多可裝n箱，保障不超載的概率大于0.977。由中心極限定理有第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理因此最多可裝98

箱，保障不超載的概率大于0.977。第五章大數(shù)定律及中心極限定理§2中心極限定理例.將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解:設(shè) ξk為第k次擲出的點(diǎn)數(shù),k=1,2,…,100,則ξ1,…,ξ100獨(dú)立同分布.由中心極限定理標(biāo)準(zhǔn)化變換(1)直接計(jì)算:(2)的計(jì)算結(jié)果與(1)的相差較大,這是由于n不夠大.一般要求n至少為50,有時(shí)也放寬到n≥30使用.例10部機(jī)器獨(dú)立工作,每部停機(jī)的概率為0.2.求3部機(jī)器同時(shí)停機(jī)的概率解10部機(jī)器中同時(shí)停機(jī)的數(shù)目(2)若用局部極限定理近似計(jì)算:解：例設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈,夜晚每一盞電燈開(kāi)燈的概率都是0.7,而假定開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此獨(dú)立,估計(jì)夜晚同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率.解10000件產(chǎn)品中的廢品數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布,例產(chǎn)品為廢品的概率為P=0.005,求10000件產(chǎn)品中廢品數(shù)不大于70的概率正態(tài)分布和Poisson分布雖然都是二項(xiàng)分布的極限分布,但Poisson分布以n→∞,同時(shí)p→0,np→λ為條件,而正態(tài)分布則只要求n→∞這一條件.一般說(shuō)來(lái),對(duì)于n很大,p(或q)很小的二項(xiàng)分布(np≤5)用正態(tài)分布來(lái)近似計(jì)算不如用Poisson分布計(jì)算精確.解設(shè)ξ為500發(fā)炮彈命中飛機(jī)的炮彈數(shù)目(1)用二項(xiàng)分布公式計(jì)算:例每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01,求500發(fā)炮彈命中5發(fā)的概率(2)用Poisson公式計(jì)算,直接查附表一可得:P5(5)≈0.175467(3)用拉普拉斯局部極限定理計(jì)算:下面用三種方法計(jì)算并加以比較:例在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問(wèn)：(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元，賠償金至多可設(shè)為多少？于是由中心極限定理(1)P{η<0}=P{1000012-1000ξ<0}解：設(shè)ξ表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則ξ~B(n,p),其中n=10000，p=0.6%，設(shè)η表示保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)，

η=1000012-1000ξ=1P{ξ120}1

(7.75)=0;=P{ξ≥120}P{η>60000}=P{1000012-aξ>60000}=P{ξ60000/a}0.9;（2）設(shè)賠償金為a元，則令由中心極限定理,上式等價(jià)于小結(jié)